河北省保定市高碑店鄧莊鄉(xiāng)中學2022年高三數(shù)學理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.歐拉公式（i為虛數(shù)單位）是由瑞士著名數(shù)學家歐拉發(fā)明的，它將指數(shù)函數(shù)的定義域擴大到復數(shù)，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，它在復變函數(shù)論里占有非常重要的地位，被譽為“數(shù)學中的天橋”，根據(jù)歐拉公式可知，表示的復數(shù)在復平面中位于（

）A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限參考答案：Be2i=cos2+isin2，其對應(yīng)點為（cos2，sin2），由＜2＜π，因此cos2＜0，sin2＞0，∴點（cos2，sin2）在第二象限，故e2i表示的復數(shù)在復平面中位于第二象限．2.已知函數(shù)，則（

）A.0 B.1009 C.2018 D.2019參考答案：B由，所以函數(shù)的圖像關(guān)于點成中心對稱圖形，所以，所以.試題立意：本小題考查函數(shù)奇偶性、函數(shù)值等基礎(chǔ)知識；意在考查運算求解能力和轉(zhuǎn)化與化歸思想.3.（4）下面是關(guān)于公差的等差數(shù)列的四個命題：

其中的真命題為（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：D4.以下四圖，都是同一坐標系中三次函數(shù)及其導函數(shù)的圖象，其中一定不正確的序號是（

） A.③④

B.①②

C.②③

D.②④參考答案：A略5.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入n的值為6，則輸出s的值為（）A．105 B．16 C．15 D．1參考答案：C【考點】循環(huán)結(jié)構(gòu)．【分析】本循環(huán)結(jié)構(gòu)是當型循環(huán)結(jié)構(gòu)，它所表示的算式為s=1×3×5×…×（2i﹣1），由此能夠求出結(jié)果．【解答】解：如圖所示的循環(huán)結(jié)構(gòu)是當型循環(huán)結(jié)構(gòu)，它所表示的算式為s=1×3×5×…×（2i﹣1）∴輸入n的值為6時，輸出s的值s=1×3×5=15．故選C．6.已知函數(shù)，若，且，則的最小值為（

）（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：D略7.y=sin（x﹣）的圖象的一個對稱中心是（）A．（﹣π，0） B．（，0） C．（，0） D．（﹣，0）參考答案：D【考點】正弦函數(shù)的圖象．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)．【分析】由條件利用正弦函數(shù)的圖象的對稱性，得出結(jié)論．【解答】解：對于函數(shù)y=sin（x﹣），令x﹣=kπ，k∈Z，可得它的圖象的對稱中心為（kπ+，0），k∈Z．令k=﹣1，可得它的圖象的一個對稱中心為（﹣，0），故選：D．【點評】本題主要考查正弦函數(shù)的圖象的對稱性，屬于基礎(chǔ)題．8.“對任意的正整數(shù)n，不等式都成立”的一個充分不必要條件是（

）A. B. C. D.或參考答案：B【分析】原不等式等價于，當時，，，成立，當時，，要使成立，只需成立，即，由此求得原不等式成立的充要條件，從而可以從選項中確定出原不等式成立的充分不必要條件.【詳解】原不等式等價于，當時，，，成立，當時，，要使成立，只需成立，即，由，知最小值為，所以，所以或是原不等式成立的充要條件，所以是原不等式成立的充分不必要條件，故選B.【點睛】該題考查的是有關(guān)充分不必要條件的問題，涉及到的知識點有恒成立問題對應(yīng)參數(shù)的取值范圍的求解，充分不必要條件的定義與選取，在解題的過程中，正確求出充要條件對應(yīng)參數(shù)的范圍是解題的關(guān)鍵.9.已知復數(shù)z滿足（1+i）z=（1﹣i）2，則z的共軛復數(shù)的虛部為（）A．2 B．﹣2 C．﹣1 D．1參考答案：D【考點】復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算．【專題】計算題；方程思想；數(shù)學模型法；數(shù)系的擴充和復數(shù)．【分析】把已知等式變形，利用復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡，求出，則答案可求．【解答】解：由（1+i）z=（1﹣i）2，得．∴，∴z的共軛復數(shù)的虛部為1．選D．【點評】本題考查復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查了共軛復數(shù)的概念，是基礎(chǔ)題．10.已知平面向量a，b滿足a與b的夾角為，則“m=1”是“”的（

）

A．充分不必要條件

B．必要不充分條件

C．充要條件

D．既不充分也不必要條件參考答案：C略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知數(shù)列{an}滿足：（），若，則

.參考答案：試題分析：因,故當時,,,即時,,即,所以;當時,,,即時,可得,不成立,所以,應(yīng)填.考點：分段數(shù)列的通項及運用．12.設(shè)抽測的樹木的底部周長均在區(qū)間[80，130]上，其頻率分布直方圖如圖所示，則在抽測的60株樹木中，有

株樹木的底部周長小于100cm.

參考答案：2413.長方體的8個頂點都在球的球面上，為的中點，，異面直線與所成角的余弦值為，且四邊形為正方形，則球的直徑為

.參考答案：4或試題分析：由于，因此就是異面直線與所成的角，即，設(shè)，則，，由余弦定理得，解得或．，所以或，此即為球的直徑．考點：長方體與外接球．【名師點睛】在長方體或正方體中其對角線就是外接球的直徑，因此本題實質(zhì)就是求長方體的對角線長，從而只要求得三棱長即可．對其他的組合體的外接球要注意應(yīng)用公式求解．14.若函數(shù)在點(1,1)處的切線方程為，則實數(shù)a=_________.參考答案：-1【分析】利用導數(shù)的幾何意義求出曲線在點處的切線斜率為,從而可得結(jié)果.【詳解】因為函數(shù)的導數(shù)為,所以在點處的切線斜率為,

又因為在點處的切線方程為,

所以,

解得，故答案為.【點睛】本題主要考查利用導數(shù)求切線斜率，屬于基礎(chǔ)題.應(yīng)用導數(shù)的幾何意義求切點處切線的斜率，主要體現(xiàn)在以下幾個方面：(1)已知切點求斜率,即求該點處的導數(shù)；(2)己知斜率求參數(shù)或切點即解方程；(3)巳知切線過某點(不是切點)求切點,設(shè)出切點利用求解.15.在中，角所對的邊分別為．若，的面積，則的值為_____________．參考答案：

考點：余弦定理

16.已知集合A={x|x2＜3x+4，x∈R}，則A∩Z中元素的個數(shù)為 ．參考答案：4【考點】交集及其運算．【專題】計算題．【分析】解一元二次不等式求出A，再根據(jù)交集的定義求出A∩Z，從而得出結(jié)論．【解答】解：集合A={x|x2＜3x+4，x∈R}={x|﹣1＜x＜4}，∴A∩Z={0，1，2，3}，故A∩Z中元素的個數(shù)為4，故答案為4．【點評】本題主要考查集合的表示方法，一元二次不等式的解法，兩個集合的交集的定義和求法，屬于基礎(chǔ)題．17.從一堆蘋果中任取了20只，并得到它們的質(zhì)量（單位：克）數(shù)據(jù)分布表如下：分組頻數(shù)12310

1則這堆蘋果中，質(zhì)量不小于120克的蘋果數(shù)約占蘋果總數(shù)的

％．參考答案：答案：70解析：由表中可知這堆蘋果中，質(zhì)量不小于120克的蘋果數(shù)為:故約占蘋果總數(shù)的.三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知x，yR，且|x＋y|≤，|x－y|≤，求證：|x＋5y|≤1．參考答案：19.（本小題滿分12分）已知數(shù)列的前項和為，對一切正整數(shù)，點都在函數(shù)的圖像上，且過點的切線的斜率為．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前項和；（3）設(shè)，等差數(shù)列的任一項，其中是中的最小數(shù)，，求的通項公式.參考答案：解：（1）點都在函數(shù)的圖像上，,當時，…………………2分

當時，滿足上式，所以數(shù)列的通項公式為…3分

（2）由求導可得過點的切線的斜率為，.…………………4分.①由①×4，得②………………5分①-②得：…………..7分

（3）,.又，其中是中的最小數(shù)，……………..8分是公差是4的倍數(shù)，….9分又，,解得ｍ＝27.….10分所以，設(shè)等差數(shù)列的公差為，則………11分

，所以的通項公式為…12分20.選修4－1：幾何證明選講如圖：四邊形是邊長為的正方形，以為圓心，為半徑的圓弧與以為直徑的圓交于點，連接并延長交于點（1）求證：是的中點（2）求線段的長參考答案：（1）連接

因為是邊長為的正方形所以

即是的中點----------------------5分（2）由為圓的直徑，易得------------10分略21.已知函數(shù)．（I）求函數(shù)f（x）的周期和最小值；（II）在銳角△ABC中，若f（A）=1，，，求△ABC的面積．參考答案：考點：兩角和與差的正弦函數(shù)；平面向量數(shù)量積的運算；二倍角的余弦；三角函數(shù)的周期性及其求法．專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)．分析：將函數(shù)解析式第一項利用二倍角的正弦函數(shù)公式化簡，后兩項提取，利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡，整理后再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化為一個角的正弦函數(shù)，（I）找出ω的值，代入周期公式即可求出函數(shù)的最小值正周期；由正弦函數(shù)的值域即可求出函數(shù)的最小值；（II）由第一問確定的函數(shù)解析式及f（A）=1，得到關(guān)系式，根據(jù)A為三角形的內(nèi)角，利用特殊角的三角函數(shù)值求出A的度數(shù)，再利用平面向量的數(shù)量積運算法則化簡而?=，得到||?||的值，再由sinA的值，利用三角形的面積公式即可求出三角形ABC的面積．解答：解：f（x）=2sinxcosx+（2cos2x﹣1）=sin2x+cos2x=2sin（2x+），（Ⅰ）∵ω=2，∴T==π；∵﹣1≤sin（2x+）≤1，即﹣2≤2sin（2x+）≤2，∴f（x）的最小值為﹣2；（Ⅱ）∵f（A）=2sin（2A+）=1，∴sin（2A+）=，∵0＜A＜π，∴2A+=，即A=，而?=||?||cosA=，∴||?||=2，則S△ABC=||?||sinA=．點評：此題考查了二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，三角函數(shù)的周期性及其求法，正弦函數(shù)的定義域與值域，平面向量的數(shù)量積運算法則，以及三角形的面積公式，熟練掌握公式及法則是解本題的關(guān)鍵．22.（本小題滿分12分）如圖，在三棱柱中，底面，，E、F分別是棱的中點.（Ⅰ）求證：AB⊥平面AA1C1C；（Ⅱ）若線段上的點滿足平面//平面，試確定點的位置，并說明理由；（Ⅲ）證明：⊥A1C.參考答案：（I）底面，

，

-------------------------2分

，，

面.

--------------------------4分（II）面//面，面面，面面，

//，

---------------------------7分

在中是棱的中點，

是線段的中點.

---------------------------8分（III）三棱柱中

側(cè)面是菱形，，

--------------------------------9分

由（1）可得，

，

面，