湖南省婁底市栗山中學(xué)高三數(shù)學(xué)文期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.《九章算術(shù)》是我國(guó)古代數(shù)學(xué)經(jīng)典名著，它在集合學(xué)中的研究比西方早1千年，在《九章算術(shù)》中，將四個(gè)面均為直角三角形的四面體稱(chēng)為鱉臑，已知某“鱉臑”的三視圖如圖所示，則該鱉臑的外接球的表面積為（）A．200π B．50π C．100π D．π參考答案：B【考點(diǎn)】球內(nèi)接多面體；簡(jiǎn)單空間圖形的三視圖．【分析】幾何體復(fù)原為底面是直角三角形，一條側(cè)棱垂直底面直角頂點(diǎn)的三棱錐，擴(kuò)展為長(zhǎng)方體，長(zhǎng)方體的對(duì)角線的長(zhǎng)，就是外接球的直徑，然后求其的表面積．【解答】解：由三視圖復(fù)原幾何體，幾何體是底面是直角三角形，一條側(cè)棱垂直底面直角頂點(diǎn)的三棱錐；擴(kuò)展為長(zhǎng)方體，也外接與球，它的對(duì)角線的長(zhǎng)為球的直徑：=5該三棱錐的外接球的表面積為：=50π，故選B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三視圖，幾何體的外接球的表面積，考查空間想象能力，計(jì)算能力，是基礎(chǔ)題．2.△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知cosC=，a=1，c=2，則△ABC的面積為（）A． B． C． D．參考答案：A【考點(diǎn)】正弦定理．【分析】由題意cosC=，a=1，c=2，余弦定理求解b，正弦定理在求解sinB，那么△ABC的面積即可．【解答】解：由題意cosC=，a=1，c=2，那么：sinC=，cosC==，解得b=2．由，可得sinB=，那么△ABC的面積=故選A【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了余弦定理，正弦定理的運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題．3.下列函數(shù)中，與函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性均相同的是A． B．C． D．參考答案：B4.奇函數(shù)滿足對(duì)任意都有成立，且，則的值為 （

） A．2

B．4

C．6

D．8

參考答案：D略5.已知一個(gè)三棱柱，其底面是正三角形，且側(cè)棱與底面垂直，一個(gè)體積為的球體與棱柱的所有面均相切，那么這個(gè)三棱柱的表面積是(

) A． B． C． D．參考答案：C考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的側(cè)面積和表面積．專(zhuān)題：計(jì)算題；空間位置關(guān)系與距離．分析：由球的體積可以求出半徑，從而得棱柱的高；由球與正三棱柱的三個(gè)側(cè)面相切，得球的半徑和棱柱底面正△邊長(zhǎng)的關(guān)系，求出邊長(zhǎng)，即求出底面正△的面積；得出棱柱的表面積．解答： 解：由球的體積公式，得πR3=，∴R=1．∴正三棱柱的高h(yuǎn)=2R=2．設(shè)正三棱柱的底面邊長(zhǎng)為a，則其內(nèi)切圓的半徑為：?a=1，∴a=2．∴該正三棱柱的表面積為：3a?2R+2×=18．故選C．點(diǎn)評(píng)：本題考查了球的體積，柱體體積公式的應(yīng)用；本題的解題關(guān)鍵是求底面邊長(zhǎng)，這是通過(guò)正△的內(nèi)切圓與邊長(zhǎng)的關(guān)系得出的．6.將一張邊長(zhǎng)為6cm的紙片按如圖l所示陰影部分裁去四個(gè)全等的等腰三角形，將余下部分沿虛線折疊并拼成一個(gè)有底的正四棱錐(底面是正方形，頂點(diǎn)在底面的射影為正方形的中心)模型，如圖2放置．若正四棱錐的正視圖是正三角形(如圖3)，則正四棱錐的體積是

參考答案：A【知識(shí)點(diǎn)】空間幾何體的三視圖和直觀圖G2：∵圖1中的虛線長(zhǎng)為圖2正四棱錐的底面邊長(zhǎng)，設(shè)為x，

又正四棱錐的正視圖是正三角形，∴正四棱錐的斜高也為x，

由圖1得x+=3，解得x=2，即正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為2，

∴四棱錐的高為，∴四棱錐的體積V=×8×=。【思路點(diǎn)撥】設(shè)正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為x，根據(jù)正四棱錐的正視圖是正三角形，可得正四棱錐的斜高也為x，利用圖1求得x，再求得四棱錐的高．代入棱錐的體積公式計(jì)算．7.已知復(fù)數(shù)z滿足，則z的模為（

）A．20

B．12

C．

D．參考答案：C設(shè)，則由，得，則，解得或，即．

8.若曲線在點(diǎn)P處的切線平行于直線，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為

(

)

A.（1，0）

B．（1，5）

C．（1，－3）

D．（－1，2）參考答案：A略9.執(zhí)行右圖所示的程序框圖，輸出結(jié)果的值是___

．參考答案：1略10.已知x，y∈R，x2+y2+xy=315，則x2+y2﹣xy的最小值是（）A．35 B．105 C．140 D．210參考答案：B【考點(diǎn)】7F：基本不等式．【分析】x，y∈R，x2+y2+xy=315，可得x2+y2=315﹣xy≥2xy，因此xy≤105．即可得出．【解答】解：∵x，y∈R，x2+y2+xy=315，∴x2+y2=315﹣xy，315﹣xy≥2xy，當(dāng)且僅當(dāng)x=y=±時(shí)取等號(hào)．∴xy≤105．∴x2+y2﹣xy=315﹣2xy≥315﹣210=105．故選：B．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.直線與圓相交于兩點(diǎn),若,則的取值范圍是

.參考答案：12.（4分）（2015?麗水一模）設(shè)α，β∈（0，π），且，．則cosβ的值為．參考答案：﹣【考點(diǎn)】：二倍角的正切；兩角和與差的正弦函數(shù)．【專(zhuān)題】：三角函數(shù)的求值．【分析】：由tan的值，利用二倍角的正切函數(shù)公式求出tanα的值大于1，確定出α的范圍，進(jìn)而sinα與cosα的值，再由sin（α+β）的值范圍求出α+β的范圍，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出cos（α+β）的值，所求式子的角β=α+β﹣α，利用兩角和與差的余弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)后，將各自的值代入計(jì)算即可求出值．解：∵tan=，∴tanα==＞1，∴α∈（，），∴cosα==，sinα==，∵sin（α+β）=＜，∴α+β∈（，π），∴cos（α+β）=﹣，則cosβ=cos[（α+β）﹣α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα=﹣×+×=﹣．故答案為：﹣【點(diǎn)評(píng)】：此考查了二倍角的正切函數(shù)公式，同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，以及兩角和與差的余弦函數(shù)公式，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵．13.對(duì)于，以點(diǎn)為中點(diǎn)的弦所在的直線方程是_____．參考答案：試題分析：，圓心為（1,0），故所求直線的斜率為，直線方程為即考點(diǎn)：直線方程14.已知函數(shù)的圖象為雙曲線，在此雙曲線的兩支上分別取點(diǎn)P、Q，則線段PQ長(zhǎng)的最小值為

．參考答案：15.已知不等邊△ABC（三條邊都不相等的三角形）的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，則∠A的弧度數(shù)為

▲

．參考答案：16.執(zhí)行右邊的程序框圖，若輸出的結(jié)果為2，則輸入的x為

。參考答案：-1或417.已知雙曲線的方程為，雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)到一條漸近線的距離為（c為雙曲線的半焦距長(zhǎng)），則雙曲線的離心率e為_(kāi)_________.參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.（本小題滿分12分）設(shè)函數(shù).（Ⅰ）寫(xiě)出函數(shù)的最小正周期及單調(diào)遞減區(qū)間；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最大值與最小值的和為，求的解析式；（Ⅲ）將滿足（Ⅱ）的函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位，縱坐標(biāo)不變橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，再向下平移，得到函數(shù)，求圖像與軸的正半軸、直線所圍成圖形的面積。參考答案：解（Ⅰ），

（2分）

∴.

由，得.

故函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是.

（6分）（2）.

當(dāng)時(shí)，原函數(shù)的最大值與最小值的和，.

（8分）（3）由題意知

（10分）

=1

（12分）19.（13分）函數(shù)，數(shù)列和滿足：，，函數(shù)的圖像在點(diǎn)處的切線在軸上的截距為.（1）求數(shù)列{}的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列的項(xiàng)中僅最小,求的取值范圍；（3）若函數(shù)，令函數(shù)數(shù)列滿足:且證明:.參考答案：(1)，得

是以2為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，故

…………3分(2)，，在點(diǎn)處的切線方程為令得僅當(dāng)時(shí)取得最小值，

∴的取值范圍為

………7分(3)

所以

又因

則

顯然

…………9分

………12分

………13分20.(本小題滿分14分)如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為矩形，平面PAB⊥平面ABCD，PA⊥PB，BP＝BC，E為PC的中點(diǎn)．（1）求證：AP∥平面BDE；（2）求證：BE⊥平面PAC．參考答案：證：（1）設(shè)AC∩BD＝O，連結(jié)OE．因?yàn)锳BCD為矩形，所以O(shè)是AC的中點(diǎn)．因?yàn)镋是PC中點(diǎn)，所以O(shè)E∥AP．

…………4分因?yàn)锳P平面BDE，OE平面BDE，所以AP∥平面BDE．

…………6分（2）因?yàn)槠矫鍼AB⊥平面ABCD，BC⊥AB，平面PAB∩平面ABCD＝AB，所以BC⊥平面PAB．

………8分因?yàn)锳P平面PAB，所以BC⊥PA．因?yàn)镻B⊥PA，BC∩PB＝B，BC，PB平面PBC，所以PA⊥平面PBC．

…………12分因?yàn)锽E平面PBC，所以PA⊥BE．因?yàn)锽P＝PC，且E為PC中點(diǎn)，所以BE⊥PC．因?yàn)镻A∩PC＝P，PA，PC平面PAC，所以BE⊥平面PAC．

…………14分21.（10分）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，BD是⊙O的直徑，AE⊥CD于點(diǎn)E，DA平分∠BDE．（1）證明：AE是⊙O的切線；（2）如果AB=2，AE=，求CD．參考答案：考點(diǎn)： 與圓有關(guān)的比例線段．專(zhuān)題： 幾何證明．分析： （1）首先通過(guò)連接半徑，進(jìn)一步證明∠DAE+∠OAD=90°，得到結(jié)論．（2）利用第一步的結(jié)論，找到△ADE∽△BDA的條件，進(jìn)一步利用勾股定理求的結(jié)果解答： （1）證明：連結(jié)OA，在△ADE中，AE⊥CD于點(diǎn)E，∴∠DAE+∠ADE=90°∵DA平分∠BDC．∴∠ADE=∠BDA∵OA=OD∴∠BDA=∠OAD∴∠OAD=∠ADE∴∠DAE+∠OAD=90°即：AE是⊙O的切線（2）在△ADE和△BDA中，∵BD是⊙O的直徑∴∠BAD=90°由（1）得：∠DAE=∠ABD又∵∠BAD=∠AED∵AB=2求得：BD=4，AD=2∴∠BDA=∠ADE=∠BDC=60°進(jìn)一步求得：CD=2故答案為：（1）略（2）CD=2點(diǎn)評(píng)： 本題考查的知識(shí)點(diǎn)：證明切線的方法：連半徑，證垂直．三角形相似的判定，勾股定理的應(yīng)用．22.（本小題滿分10分）