在前面各章所研究的振動(dòng)問題都屬于線性振動(dòng)理論的范疇，因此描述系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)的微分方程為線性微分方程，這是作了若干簡(jiǎn)化處理(亦即線性化處理)后得到的數(shù)學(xué)模型。線性振動(dòng)理論可以解決很多工程實(shí)際問題，但是，有些振動(dòng)現(xiàn)象不能用線性理論來預(yù)言或解釋。這時(shí)就提出了非線性振動(dòng)問題。第八章

非線性振動(dòng)簡(jiǎn)介實(shí)際上，幾乎所有的振動(dòng)問題都是非線性的，因此將非線性系統(tǒng)振動(dòng)問題簡(jiǎn)化為線性系統(tǒng)振動(dòng)

問題應(yīng)當(dāng)謹(jǐn)慎。以后將會(huì)看到，非線性系統(tǒng)的某

些運(yùn)動(dòng)性質(zhì)和現(xiàn)象，在線性系統(tǒng)中是不能出現(xiàn)的，其主要表現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：疊加原理不適用于非線性振動(dòng)系統(tǒng)在線性振動(dòng)系統(tǒng)中非常有效的疊加原理不適用于非線性振動(dòng)系統(tǒng)。對(duì)于非線性振動(dòng)系統(tǒng)，不能應(yīng)用疊加原理。也就是說，非線性振動(dòng)系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)的解不等于每個(gè)激勵(lì)獨(dú)立作用時(shí)解的疊加。(2)當(dāng)恢復(fù)力為非線性時(shí)固有頻率是振幅的函數(shù)在線性系統(tǒng)中，固有頻率與初始條件、振幅無關(guān)；在非線性系統(tǒng)中，固有頻率與振幅有關(guān)。一般來說，對(duì)于硬彈簧的硬式非線性振動(dòng)系統(tǒng)，固有頻率隨振幅的增大而增加；而對(duì)于軟彈簧的軟式非線性系統(tǒng)，固有頻率隨振幅的增大而減小。當(dāng)振幅減小時(shí)，振動(dòng)周期隨振幅的減小而減小，則為硬式非線性系統(tǒng)；若振動(dòng)周期隨振幅的減小而增大，則為軟式非線性系統(tǒng)；若振動(dòng)周期不隨振幅大小而變化則為線性振動(dòng)系統(tǒng)。(3)非線性振動(dòng)系統(tǒng)的共振特性不同于線性振動(dòng)系統(tǒng)的共振特性非線性振動(dòng)系統(tǒng)的共振特性，即振幅與頻率關(guān)系特性(幅頻特性)和相位與頻率的關(guān)系特性(相頻特性)與線性振動(dòng)系統(tǒng)有本質(zhì)的區(qū)別：①非線性振動(dòng)系統(tǒng)的共振導(dǎo)致振幅的多值性，從而導(dǎo)致了跳躍現(xiàn)象；而線性振動(dòng)系統(tǒng)的共振無此現(xiàn)象。②在簡(jiǎn)諧干擾力作用下的非線性振動(dòng)系統(tǒng)的共振現(xiàn)象中有穩(wěn)定區(qū)與不穩(wěn)定區(qū)。共振特性的兩次跳躍之間的線段是不穩(wěn)定的，而其它部分的線段是穩(wěn)定的。對(duì)于線性振動(dòng)系統(tǒng)，當(dāng)阻尼為正時(shí)，振動(dòng)通常是穩(wěn)定的。當(dāng)阻尼為零時(shí)，且僅在共振條件下振動(dòng)是不穩(wěn)定的。③非線性振動(dòng)系統(tǒng)不僅存在主共振，還存在次諧波共振和超諧波共振。當(dāng)激振頻率W

接近于系統(tǒng)固有頻率w

的整數(shù)倍(例如等于固有頻率的3倍，即w

=W

/3)時(shí)，該系統(tǒng)將出現(xiàn)振幅較大的而頻率等于固有頻率的次諧波共振；而當(dāng)激振頻率W

接近系統(tǒng)固有頻率w

的幾分之一(例如1/3，即w

=3W

)時(shí)，則該系統(tǒng)將出現(xiàn)振幅較大的其頻率等于固有頻率的超諧波共振。而線性振動(dòng)系統(tǒng)只存在主共振。(4)強(qiáng)迫非線性振動(dòng)系統(tǒng)的振動(dòng)有滯后與跳躍現(xiàn)象對(duì)于硬式非線性系統(tǒng)，如果保持激勵(lì)的幅值不變，而緩慢地增加激振頻率，振動(dòng)系統(tǒng)的振幅將會(huì)逐漸增大，當(dāng)增加至最大值時(shí)，將會(huì)出現(xiàn)降幅跳躍，隨后振幅將逐漸減小。反之，逐漸減小振動(dòng)頻率，振幅將逐漸增大，增至某一點(diǎn)之后，又會(huì)出現(xiàn)增幅跳躍，此后振幅將逐漸減小。這種跳躍現(xiàn)象在線性振動(dòng)系統(tǒng)中是不可能出現(xiàn)的。另外，返回過程的跳躍總是落后于前進(jìn)過程的跳躍。這種現(xiàn)象，稱為滯后現(xiàn)象，這種滯后現(xiàn)象在線性振動(dòng)系統(tǒng)中也是不會(huì)出現(xiàn)的。(5)

強(qiáng)迫振動(dòng)系統(tǒng)有超諧波響應(yīng)和次諧波響應(yīng)在簡(jiǎn)諧激勵(lì)作用下的非線性系統(tǒng)，其強(qiáng)迫振動(dòng)不一定是簡(jiǎn)諧振動(dòng)，其響應(yīng)的波形通常由各次諧波組成，這些波形除了與激勵(lì)頻率相同的諧波外，還含有頻率為激振頻率的倍數(shù)頻率成分，從而形成次諧波振動(dòng)和超諧波振動(dòng)。次諧波振動(dòng)和超諧波振動(dòng)在性質(zhì)上有兩點(diǎn)不同，即:①超諧波響應(yīng)在一般的非線性系統(tǒng)中或多或少地存在，而次諧波響應(yīng)則只在一定條件下才能產(chǎn)生。②當(dāng)系統(tǒng)中存在阻尼時(shí)，阻尼將影響超諧波振動(dòng)的振幅；對(duì)于次諧波振動(dòng)，只要阻尼大于某一定值，就會(huì)阻止次諧波振動(dòng)的出現(xiàn)。由于存在次諧波與超諧波振動(dòng)，非線性系統(tǒng)共振頻率的數(shù)目將多于系統(tǒng)的自由度數(shù)目。(6)

多個(gè)簡(jiǎn)諧激勵(lì)作用下的組合振動(dòng)非線性振動(dòng)系統(tǒng)的振動(dòng)在多個(gè)簡(jiǎn)諧激勵(lì)作用下會(huì)產(chǎn)生組合振動(dòng)。非線性振動(dòng)系統(tǒng)不僅會(huì)出現(xiàn)頻率為激振頻率的倍數(shù)頻率成分的振動(dòng)，而且還會(huì)出現(xiàn)頻率等于兩個(gè)激振頻率之和或之差的組合頻率的振動(dòng)。在某些情況下，組合頻率的振動(dòng)較其他頻率的振動(dòng)要多得多，顯然，這要比線性振動(dòng)系統(tǒng)的振動(dòng)豐富和復(fù)雜得多。(7)

存在頻率俘獲現(xiàn)象在線性振動(dòng)系統(tǒng)中，如果同時(shí)存在兩個(gè)頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，則當(dāng)這兩個(gè)頻率比較接近時(shí)，會(huì)產(chǎn)生拍振。兩個(gè)頻率相差越小，拍振周期越大。當(dāng)兩個(gè)頻率相等時(shí)，拍振才消失，兩個(gè)振動(dòng)就合成為一個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)。在非線性振動(dòng)系統(tǒng)中，則不如此。例如，自激振動(dòng)系統(tǒng)以某一頻率自振時(shí)，若受到另一頻率，且和這一相接近的激勵(lì)的作用，則只出現(xiàn)一個(gè)頻率的振動(dòng)，即兩個(gè)頻率進(jìn)入同步，這一現(xiàn)象稱為“頻率俘獲”。能產(chǎn)生頻率俘獲現(xiàn)象的頻帶，稱為頻率俘獲區(qū)域。非線性振動(dòng)現(xiàn)象(例如跳躍，次諧波共振和超諧波共振等)的存在是眾所周知的。這些振動(dòng)十分劇烈足以引起悲劇性的后果。由于非線性振動(dòng)問題的復(fù)雜性，非線性振動(dòng)微分方程的求解要比線性微分方程的求解困難得多，至今仍沒有統(tǒng)一的解法，僅有極少數(shù)的非線性振動(dòng)方程可求得精確解，因此，只能用定性方法、近似解法和數(shù)值解法求解。對(duì)于非線性問題的研究包括定性理論和定量理論兩個(gè)方面，本章僅簡(jiǎn)單介紹一個(gè)自由度非線性振動(dòng)系統(tǒng)的定性方法和定量方法的基本知識(shí)。在定性方法中首先介紹相平面法，然后再介紹穩(wěn)定性的概念和極限環(huán)的概念。在定量方法中，主要介紹各種漸近的解析方法，其中包括基本攝動(dòng)法和各種奇異攝動(dòng)法。奇異攝動(dòng)法又包括林斯泰特(Lindstedt)法，平均法和KBM法?；?8.1-2)8.1

非線性振動(dòng)系統(tǒng)的分類及實(shí)例mx

+

F

(x,

x)=

P(t

)式中F是x,的x

非線性函數(shù)。mx

+

F

(x,

x,t

)=

0(8.1-1)使振動(dòng)系統(tǒng)產(chǎn)生非線性的原因很多，但其中

主要的是由非線性彈性力和非線性阻尼力所構(gòu)成。單自由度非線性系統(tǒng)的微分方程的一般形式為1.

非線性彈性力構(gòu)成非線性彈性力有如下三種情況：材料非線性、幾何非線性和分段線性。（1）材料非線性當(dāng)彈性元件(比如各種類型的金屬彈簧)的材料應(yīng)力超過比例極限，則應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系不再是線性關(guān)系。在這種情況下，彈性元件的恢復(fù)力與變形不再為線性關(guān)系，彈性力是位移的非線性函數(shù)。圖8.1-1這種非線性函數(shù)大致可分為兩類：①若曲線的斜率隨位移的增加而增加，則稱此種彈簧為硬特性彈簧，此種非線性為硬特性非線性；②若曲線的斜率隨位移的增加而減小，則稱為軟特性彈簧和軟特性非線性，如圖

8.1-1所示。F

(x)=

kx

–

ex3(8.1-3)如其運(yùn)動(dòng)范圍不太大，可以略去高次項(xiàng)，則非線性彈性力近似地表示為式中kx表示線性彈性力，x3

表示非線性彈性力，通常要比kx小，可以視為對(duì)線性項(xiàng)的修正，“–”號(hào)表示硬、軟非線性特性，正號(hào)表示硬特性，負(fù)號(hào)表示軟特性。（2）分段線性在工程中有些非線性系統(tǒng)，由分段線性的彈簧構(gòu)成。例如車輛懸置采用主彈簧和副彈簧；振動(dòng)機(jī)械(如振動(dòng)篩和振動(dòng)輸送機(jī)等)采用分組彈簧形成非線性振動(dòng)。圖8.1-2給出了這種非線性彈性的模型。圖8.1-2(a)當(dāng)‰x‰>x0時(shí)，第二組彈簧開始接觸并參加工作，因而使剛度增加，得到了硬特性，如圖8.1-2(a)所示。這就構(gòu)成了如圖8.1-2所示的分段線性彈性表示的非線性彈性的近似模型。當(dāng)‰x‰>F0/k1

時(shí)，第二組彈簧開始與第一組彈簧串聯(lián)工作，因而使剛度減小，得到了軟特性，如圖8.1-2(b)所示。這種非線性恢復(fù)力可以表示為圖8.1-2(b)F

(x)=

k

x

+

(k

-

k

)x

x

￡

x0k2

x

-

(k1

-

k2

)x0

-

x0

?

x2

1

2

0-

x0

￡

x

￡

x0k1

x(8.1-4)圖8.1-3同樣，當(dāng)連接彈簧存在間隙x0和彈簧有預(yù)緊力

F0的非線性彈簧情況也可以用分段線性彈性模型來表示，如圖8.1-3所示。當(dāng)連接彈簧有預(yù)緊力F0時(shí)，如圖8.1-3(b)所示，其非線性恢復(fù)力可以表示為(

)F

+

kx

0F

x

=(x

>

0(x

<

0)-F0

+

kx(8.1-6)0

0(-x0

￡

x

￡

x0當(dāng)連接彈簧存在間隙x0時(shí)，如圖8.1-3(a)所示，其非線性恢復(fù)力可以表示為0(x0

￡

x)F

(x)=

k

(x

-

x0

)k

(x

+

x

)(x

￡

-x)(8.1-5)（3）幾何非線性材料本身仍屬于彈性范圍，但由于幾何構(gòu)造上的安排，導(dǎo)致位移較大，在建立運(yùn)動(dòng)微分方程時(shí)，必須考慮這種位移。所謂位移較大，并不是指量值很大，而是指不計(jì)這種位移時(shí)會(huì)導(dǎo)致分析結(jié)果有很大誤差，甚至使分析結(jié)果毫無意義。由于考慮這種較大位移而使恢復(fù)力與位移的關(guān)系成為非線性函數(shù)，這種非線性稱為幾何非線性。T

=

T0

+

EADe圖8.1-4所示的質(zhì)量m在張緊的具有初張力T0的弦上就是幾何非線性的例子。質(zhì)量m的運(yùn)動(dòng)微分方程為mx

+

Fx

=

0式中Fx

=

2Tsinq圖8.1-4這里E為弦的彈性模量，A為弦的橫截面積，De

=d

l為弦的拉伸應(yīng)變的增加量，d為弦從原長l處由于位移x而產(chǎn)生的伸長，假定弦內(nèi)的張力T與弦的伸長量d成正比。當(dāng)質(zhì)量m產(chǎn)生位移x時(shí)，由幾何關(guān)系可得222xld-d

=

l2

+

x2

-l1sinq

==

x

1+

xl

l2

+

x2

x

x

1

x

21

x

2

x

21

x

21

x

2De

=

l

=

=

1-

+

?

1-

l

2

l

l

2

l1+

l

-1

=1+

2

l

+-1

?

2

l

此時(shí)弦內(nèi)的張力T為22l

2EAT

=

T0

+

EADe

?

T0

+

x于是可得到系統(tǒng)近似的運(yùn)動(dòng)微分方程0=

0

l

x

3x

+

(EA

-

T

)

0

l2Tmx

+(8.1-7)

l

x

3

?

0

x

+

(EA

-T0

)l2T2

l

1

x

2

l

x

Fx

=

2T

sinq

=

2T

1

-恢復(fù)力Fx為（這里忽略x/l三次方以上的項(xiàng)）同式(8.1-3)比校，不難發(fā)現(xiàn)對(duì)于通常彈性材料，有硬特性非線性，但是，對(duì)于超彈性材料，有可能產(chǎn)生很大的初始應(yīng)變量，使T0/A>E，這樣系統(tǒng)將具有軟特性非線性。A

=s

<，<因E

此非線性項(xiàng)中(EA-T0)>0，系統(tǒng)具有T0圖8.1-5所示的單擺也是幾何非線性的例子，也具有軟特性非線性。圖8.1-5單擺的運(yùn)動(dòng)微分方程為ml

2q

+

mglsinq

=

0即lq

+

g

sin

q

=

0顯然，上式是一個(gè)非線性微分方程。將其中的sinq展成泰勒級(jí)數(shù)，有sinq

=

q

-

1

q

3

+

1

q

5

-3!

5!當(dāng)q角很小時(shí)，可取sinq展開式右端的一項(xiàng)，有q

+

g

q

=

0l這就是以往所做的線性處理。但是當(dāng)q角不是很小，但也不十分大，如不超過1弧度時(shí)，可取sinq展開式中的前兩項(xiàng)，得到3=

0

q

qq

+l

g

-

16(8.1-8)從式(8.1-8)可以看出,單擺屬于具有軟特性的非線性振動(dòng)系統(tǒng)。此時(shí),單擺的運(yùn)動(dòng)不再是簡(jiǎn)諧振動(dòng)了?？梢姡瑥埦o的弦具有硬特性的非線性恢復(fù)力，而單擺具有軟特性的非線性恢復(fù)力。2.

非線性阻尼力振動(dòng)系統(tǒng)中的阻尼問題是一個(gè)復(fù)雜的問題，至今仍不十分清楚阻尼機(jī)理。但可以說，在大多數(shù)的情況下，阻尼力均具有非線性特性。在處理具體問題時(shí)，一般都是在實(shí)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，經(jīng)過一定的簡(jiǎn)化，把阻尼力寫成為運(yùn)動(dòng)參量的某種函數(shù)關(guān)系式，這一工作往往是處理各種工程問題的重要步驟。通常的阻尼基本上可以概括為干摩擦阻尼、結(jié)構(gòu)阻尼和流體阻尼三種類型。mx

+

kx

+

F0sign(x)=

0(8.1-9)式中sign

x

)為符號(hào)函數(shù)，它取決于圓括號(hào)內(nèi)速度x的正負(fù)號(hào)，即sign

(x

)=

-11

(x

>

0(x

<

0)(8.1-10)這是一種本質(zhì)上屬于非線性的情況，而不是對(duì)線性項(xiàng)的一種修正。（1）干摩擦阻尼由于摩擦存在的必然性，相對(duì)運(yùn)動(dòng)的物體之間總要產(chǎn)生的摩擦力。系統(tǒng)受到干摩擦?xí)r，摩擦力假設(shè)由零增至最大值為常數(shù)F0，其方向與速度x相反，運(yùn)動(dòng)方程為圖8.1-6

表示線性彈性恢復(fù)力和干摩擦力形成的滯回環(huán)。圖8.1-6如果當(dāng)m在x=0處開始沿x正方向運(yùn)動(dòng)時(shí)，那么

F x,

x)=

kx

+

F遵0s循ign圖x8).1-6中直線①和②。當(dāng)速度減為零時(shí)，摩擦力改變方向，沿直線③和④，速度由負(fù)變?yōu)榱悖Σ亮υ僖淮胃淖兎较?，沿直線⑤和⑥進(jìn)行形成一個(gè)循環(huán)。（2）結(jié)構(gòu)阻尼實(shí)際上材料在彈性范圍內(nèi)也不是完全彈性的，或多或少地由于在振動(dòng)過程中變形材料本身的內(nèi)摩擦阻尼而消耗一定的能量，這種在材料體積內(nèi)部的內(nèi)摩擦阻尼稱為材料阻尼。精細(xì)的試驗(yàn)結(jié)果表明，在每一次周期振動(dòng)的應(yīng)力循環(huán)中，應(yīng)力和應(yīng)變之間的關(guān)系形成所謂的滯回環(huán)(見圖8.1-7)，滯回環(huán)所圍成的面積是此應(yīng)力循環(huán)中單位體積材料內(nèi)耗散的能量，其多少對(duì)于系統(tǒng)振動(dòng)衰減有決定性的影響。圖8.1-7在各種各樣的阻尼理論中，常常采用的是復(fù)阻尼理論。由于結(jié)構(gòu)總是由部件組成，所有各結(jié)合面處都將產(chǎn)生相對(duì)滑動(dòng)和摩擦，由于連接界面的相對(duì)運(yùn)動(dòng)或表面層的剪切效應(yīng)往往造成能量的另一種耗散形式，這類產(chǎn)生于結(jié)構(gòu)中的干摩擦、潤滑摩擦和表面層的剪切效應(yīng)的阻尼稱為滑移阻尼，由于它與結(jié)構(gòu)形式、制造工藝等很多因素有關(guān)，沒有統(tǒng)一的計(jì)算方法，并且在實(shí)際測(cè)量系統(tǒng)的阻尼時(shí)，也很難區(qū)別哪些屬于材料阻尼，哪些屬于滑移阻尼，所以統(tǒng)稱為結(jié)構(gòu)阻尼。結(jié)構(gòu)阻尼一般都不能單純地看成廣義速度的函數(shù)，還和結(jié)構(gòu)的變形有關(guān)。即應(yīng)同時(shí)與廣義速度和廣義坐標(biāo)有關(guān)，這種類型的非線性力可稱為混合型非線性力。mx

+

kx

+

cx

2sign(x)=

0(8.1-11)（3）流體阻尼系統(tǒng)在氣體或液體中振動(dòng)必然遇到流體阻力，這種阻力與介質(zhì)的性質(zhì)、結(jié)構(gòu)形狀、阻抗面積、振動(dòng)的速度等因素有關(guān)。在線性振動(dòng)中把這種阻尼力簡(jiǎn)化為與廣義速度成正比，但當(dāng)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)速度較大或在粘性較大的液體中振動(dòng)時(shí)有時(shí)需要考慮與速度平方成正比的速度平方阻尼。于是具有非線性流體阻尼的運(yùn)動(dòng)微分方程為在工程實(shí)際中，上述阻尼的應(yīng)用十分廣泛，