S數(shù)學(xué)I試卷第4頁(共13頁)蘇北四市2018屆高三第一次調(diào)研測(cè)試數(shù)學(xué)試題2018.1參考公式：1.柱體的體積公式：，其中是柱體的底面面積，是高．2.圓錐的側(cè)面積公式：，其中是圓錐底面的周長(zhǎng)，是母線長(zhǎng)．一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分．請(qǐng)把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置．1．已知集合，，則▲．2．已知復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則的模為▲．3．函數(shù)的定義域?yàn)椤?．如圖是一個(gè)算法的偽代碼，運(yùn)行后輸出的值為▲．成績(jī)/分0.001頻率組距（第5題）（第17題）0.0030.0040.005a（第4題）5．某地區(qū)教育主管部門為了對(duì)該地區(qū)模擬考試成績(jī)進(jìn)行分析，隨機(jī)抽取了150分到450分之間的1000名學(xué)生的成績(jī)，并根據(jù)這1000名學(xué)生的成績(jī)畫出樣本的頻率分布直方圖(如圖)，則成績(jī)?cè)赱250，400)內(nèi)的學(xué)生共有▲人．6．在平面直角坐標(biāo)系中，已知雙曲線的一條漸近線方程為，則該雙曲線的離心率為▲．7．連續(xù)2次拋擲一顆質(zhì)地均勻的骰子（六個(gè)面上分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6的正方體），觀察向上的點(diǎn)數(shù)，則事件“點(diǎn)數(shù)之積是3的倍數(shù)”的概率為▲．8．已知正四棱柱的底面邊長(zhǎng)為，側(cè)面的對(duì)角線長(zhǎng)是，則這個(gè)正四棱柱的體積是▲．9．若函數(shù)的圖象與直線的三個(gè)相鄰交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別是，，，則實(shí)數(shù)的值為▲．10．在平面直角坐標(biāo)系中，曲線上任意一點(diǎn)到直線的距離的最小值為▲．11．已知等差數(shù)列滿足a1+a3+a5+a7+a9=10，a82-a22=36，則a11的值為▲．12．在平面直角坐標(biāo)系中，若圓上存在點(diǎn)，且點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)在圓上，則的取值范圍是▲．13．已知函數(shù)函數(shù)，則不等式的解集為▲．14.如圖，在中，已知，為邊的中點(diǎn)．若，垂足為，則EB·EC的值為▲．BB（第14題）ADCE二、解答題：本大題共6小題，共計(jì)90分．請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或計(jì)算步驟．15．(本小題滿分14分)在△ABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c，且,.⑴求的值；⑵若，求△ABC的面積.16．（本小題滿分14分）如圖，在直三棱柱中，，，，分別是，的中點(diǎn).求證：⑴；⑵.（第16（第16題）C（第16題）C（第（第16題）C數(shù)學(xué)Ⅱ(附加題)21．【選做題】本題包括A、B、C、D四小題，請(qǐng)選定其中兩小題，并在相應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)作答，若多做，則按作答的前兩小題評(píng)分．解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．A．[選修4-1：幾何證明選講]（本小題滿分10分）ABCDEF(第21－A題)O.如圖，是圓的直徑，弦ABCDEF(第21－A題)O.求證：B．[選修4-2：矩陣與變換]（本小題滿分10分）已知矩陣，，若矩陣，求矩陣的逆矩陣．C．[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]（本小題滿分10分）以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，且在兩種坐標(biāo)系中取相同的長(zhǎng)度單位，建立極坐標(biāo)系，判斷直線（為參數(shù)）與圓的位置關(guān)系．D．[選修4-5：不等式選講]（本小題滿分10分）已知都是正實(shí)數(shù)，且，求證:．出文字說明、證明過程或演算步驟．22．（本小題滿分10分）在正三棱柱中，已知，，，，分別是，和的中點(diǎn)．以為正交基底，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．（第22題）⑵求二面角的余弦值．23．（本小題滿分10分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知平行于軸的動(dòng)直線交拋物線于點(diǎn)，點(diǎn)為的焦點(diǎn)．圓心不在軸上的圓與直線，，軸都相切，設(shè)的軌跡為曲線．⑴求曲線的方程；⑵若直線與曲線相切于點(diǎn)，過且垂直于的直線為，直線，分別與軸相交于點(diǎn)，．當(dāng)線段的長(zhǎng)度最小時(shí)，求的值．?dāng)?shù)學(xué)參考答案與評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分．請(qǐng)把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置．1．2．3．4．5．7506．7．8．9．10．11．12．13．14．二、解答題：本大題共6小題，共計(jì)90分．請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或計(jì)算步驟．15．（1）在中，由，得為銳角，所以，所以，………………2分所以.………………4分…………6分（2）在三角形中,由，所以，………………8分由，…………10分由正弦定理,得，………12分所以的面積.…………14分16．（1）證明：取的中點(diǎn)，連結(jié)因?yàn)榉謩e是的中點(diǎn)，所以且在直三棱柱中，，，又因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以且.…………2分所以四邊形是平行四邊形，所以，………………4分而平面，平面，所以平面.……………………6分（第16題）NMBP（2）（第16題）NMBP又因?yàn)槊?，所以面面，?分又因?yàn)?，所以，面面，，所以面，……?0分又因?yàn)槊?，所以，即，連結(jié)，因?yàn)樵谄叫兴倪呅沃校?，所以，又因?yàn)?，且，面，所以面，…………………?2分而面，所以.……………14分DθABCOE17．（1）設(shè)交于點(diǎn)，過作，垂足為，DθABCOE在中，，，…………2分在中，，…………4分所以，……6分（2）要使側(cè)面積最大，由（1）得：…………8分設(shè)則，由得：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以在時(shí)取得極大值，也是最大值；所以當(dāng)時(shí)，側(cè)面積取得最大值，…………11分此時(shí)等腰三角形的腰長(zhǎng)答：側(cè)面積取得最大值時(shí)，等腰三角形的腰的長(zhǎng)度為．…………14分18．（1）設(shè)橢圓方程為，由題意知：……………2分解之得：，所以橢圓方程為：……………4分（2）若，由橢圓對(duì)稱性，知，所以，此時(shí)直線方程為，……………6分由，得，解得（舍去），…………8分故．…………………10分（3）設(shè)，則，直線的方程為，代入橢圓方程，得，因?yàn)槭窃摲匠痰囊粋€(gè)解，所以點(diǎn)的橫坐標(biāo)，…12分又在直線上，所以，同理，點(diǎn)坐標(biāo)為，，……………14分所以，即存在，使得．………16分19．（1）函數(shù)的定義域?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以………………2分所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減，在區(qū)間單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值為，無極大值；…4分（2）設(shè)函數(shù)上點(diǎn)與函數(shù)上點(diǎn)處切線相同，則所以……6分所以，代入得：………………8分設(shè)，則不妨設(shè)則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，……………10分代入可得：設(shè)，則對(duì)恒成立，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，又所以當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí),……………12分又當(dāng)時(shí)……14分因此當(dāng)時(shí)，函數(shù)必有零點(diǎn)；即當(dāng)時(shí)，必存在使得成立；即存在使得函數(shù)上點(diǎn)與函數(shù)上點(diǎn)處切線相同．又由得：所以單調(diào)遞減，因此所以實(shí)數(shù)的取值范圍是．…………………16分20．（1）證明：若，則當(dāng)(),所以，即，所以，……………2分又由，，得，，即，所以，故數(shù)列是等比數(shù)列．……………4分（2）若是等比數(shù)列，設(shè)其公比為（），當(dāng)時(shí)，，即，得，①當(dāng)時(shí)，，即，得，②當(dāng)時(shí)，，即，得，③②①，得，③②，得，解得．代入①式，得．…………………8分此時(shí)()，所以，是公比為１的等比數(shù)列，故．……………………10分（3）證明：若，由，得，又，解得．…………………12分由，，，，代入得，所以，，成等差數(shù)列，由，得，兩式相減得：即所以相減得：所以所以，……14分因?yàn)?，所以，即?shù)列是等差數(shù)列.………………16分?jǐn)?shù)學(xué)Ⅱ(附加題)參考答案與評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)21．A．證明：連接，因?yàn)闉閳A的直徑，所以，又，則四點(diǎn)共圓，所以．…………5分又△∽△，所以，即，∴．…………10分B．因?yàn)?，……?分所以．………10分C.把直線方程化為普通方程為．……………3分將圓化為普通方程為，即．………………6分圓心到直線的距離，所以直線與圓相切.…………………10分D．證明：因?yàn)椋?分又，所以．…………10分22．（1）因?yàn)?，則，所以，，………2分記直線和所成角為，則，所以直線和所成角的余弦值為．………4分（2）設(shè)平面的法向量為，因?yàn)?，，則，取得：……………6分設(shè)平面的一個(gè)法向量為，因?yàn)?，，則，取得：………8分根據(jù)圖形可知二面角為銳二面角，所以二面角的余弦值為；……10分23．（1）因?yàn)閽佄锞€的方程為，所以的坐標(biāo)為，設(shè)，因?yàn)閳A與軸、直線都相切，平行于軸，所以圓的半徑為，點(diǎn)，則直