第01講空間向量及其線性運算【人教A版2019】·模塊一空間向量的概念·模塊二空間向量的線性運算·模塊三共線向量與共面向量·模塊四課后作業(yè)模塊一模塊一空間向量的概念1．空間向量的概念(1)定義：在空間，具有大小和方向的量叫做空間向量．(2)長度或模：向量的大?。?3)表示方法：①幾何表示法：空間向量用有向線段表示；②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起點是A，終點是B，也可記作eq\o(AB,\s\up6(→))，其模記為|a|或|eq\o(AB,\s\up6(→))|.(4)幾類特殊的空間向量名稱定義及表示零向量長度為0的向量叫做零向量，記為0單位向量模為1的向量稱為單位向量相反向量與向量a長度相等而方向相反的向量，稱為a的相反向量，記為－a共線向量(平行向量)如果表示若干空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，那么這些向量叫做共線向量或平行向量．規(guī)定：對于任意向量a，都有0∥a相等向量方向相同且模相等的向量稱為相等向量【注】(1)空間中點的一個平移就是一個向量；(2)數(shù)學中討論的向量與向量的起點無關，只與大小和方向有關，只要不改變大小和方向，空間向量可在空間內任意平移，故我們稱之為自由向量.【考點1空間向量概念的理解】【例1.1】（2023春·高二課時練習）下列命題中為真命題的是（

）A．空間向量AB與BA的長度相等B．將空間中所有的單位向量移到同一個起點，則它們的終點構成一個圓C．空間向量就是空間中的一條有向線段D．不相等的兩個空間向量的模必不相等【解題思路】由于向量的長度與向量的方向無關，相反向量的長度相，由此可判斷AD，將空間所有的單位向量平移到一個起點，則它們的終點構成一個球面，由此可判斷B，由向量與有向線段的關系判斷C.【解答過程】對于A，因為空間向量AB與BA互為相反向量，所以空間向量AB與BA的長度相等，所以A正確，對于B，將空間所有的單位向量平移到一個起點，則它們的終點構成一個球面，所以B錯誤，對于C，空間向量可以用空間中的一條有向線段表示，但空間向量不是有向線段，所以C錯誤，對于D，兩個空間向量不相等，它們的?？赡芟嗟?，也可能不相等，如向量AB與BA的模相等，所以D錯誤，故選：A.【例1.2】（2023春·高二課時練習）給出下列命題：①將空間中所有的單位向量平移到同一個點為起點，則它們的終點構成一個圓；②若空間向量a，?b滿足a=③在正方體ABCD?A1④若空間向量a，b，c滿足a=⑤空間中任意兩個單位向量必相等；其中假命題的個數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【解題思路】根據(jù)空間向量的定義，逐個命題進行判斷即可.【解答過程】對于①，根據(jù)空間向量的定義，空間中所有的單位向量平移到同一個點為起點，則它們的終點構成一個球面，故①為假命題；對于②，向量相等即模相等和方向相同，故②為假命題；對于③，根據(jù)正方體的定義，上下底面的對角線必定相等，結合向量的方向，所以，AC=對于④，根據(jù)向量相等的定義，明顯成立，故④為真命題.對于⑤，向量相等即模相等和方向相同，故空間中任意兩個單位向量必相等是假命題，故⑤為假命題故選：C.【變式1.1】（2023春·高二課時練習）給出下列命題：①兩個空間向量相等，則它們的起點相同，終點也相同；②若空間向量a,b滿足a=b，則a=b；③在正方體ABCD?A1B1C1DA．4 B．3 C．2 D．1【解題思路】由相等向量的定義依次判斷各個選項即可得到結果.【解答過程】對于①，當兩個空間向量起點相同，終點也相同時，這兩個向量必相等；但兩個向量相等，它們的起點和終點都不一定相同，①錯誤；對于②，根據(jù)向量相等的定義，要保證兩個向量相等，不僅模要相等，而且方向還要相同，但②中向量a與b的方向不一定相同，②錯誤；對于③，根據(jù)正方體的性質，在正方體ABCD?A1B1C1D對于④，由向量相等關系可知m=故選：C.【變式1.2】（2023·全國·高二專題練習）下列命題為真命題的是（

）A．若兩個空間向量所在的直線是異面直線，則這兩個向量不是共面向量B．若a=b，則a?C．若向量AB?CD滿足AB>CD，且AB與CDD．若兩個非零向量AB與CD滿足AB+CD=【解題思路】由空間向量的模長、共線、共面等相關概念依次判斷4個選項即可.【解答過程】空間中任意兩個向量必然共面，A錯誤；若a=b，則a?向量不能比較大小，C錯誤；由AB+CD=0可得向量AB與故選：D.模塊二模塊二空間向量的線性運算1．空間向量的線性運算空間向量的線性運算加法a＋b＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))減法a－b＝eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))數(shù)乘當λ>0時，λa＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(PQ,\s\up6(→))；當λ<0時，λa＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(MN,\s\up6(→))；當λ＝0時，λa＝0運算律交換律：a＋b＝b＋a；結合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c，λ(μa)＝(λμ)a；分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb.【注】(1)空間向量的運算是平面向量運算的延展，空間向量的加法運算仍然滿足平行四邊形法則和三角形法則，而且滿足交換律、結合律，這樣就可以自由結合運算，可以將向量合并.(2)向量的減法運算是向量加法運算的逆運算，滿足三角形法則.(3)空間向量加法的運算的小技巧：①首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起點指向末尾向量的終點的向量，因此，求空間若干向量之和時，可通過平移使它們轉化為首尾相接的向量；②首尾相接的若干向量若構成一個封閉圖形，則它們的和為零向量.【考點1空間向量的加減運算】【例1.1】（2023春·江蘇連云港·高二校聯(lián)考期中）正方體ABCD?A1B1CA．C1B B．BC1 C．【解題思路】根據(jù)空間向量的線性運算求解即可.【解答過程】AB+故選：C.【例1.2】（2023春·安徽亳州·高二統(tǒng)考開學考試）在長方體ABCD?A1B1C1D1中，A．AD1 B．OB1 C．【解題思路】利用空間向量的加法法則進行求解.【解答過程】因為O為線段AC的中點，所以AB+所以OA因為長方體ABCD?A1B所以AO+AA故選：C.【變式1.1】（2023秋·江西吉安·高二?？计谀┮阎陂L方體ABCD?A1B1C1DA．3 B．2 C．1 D．?2【解題思路】利用空間向量的運算法則即可求解.【解答過程】依題知，∵AD∴x=?1,y=z=1，∴x+y+z=1．故選：C.【變式1.2】（2023春·高二課時練習）在空間四邊形ABCD中下列表達式化簡結果與AB相等的是（

）A．AC+CD C．AC+CD?【解題思路】根據(jù)空間向量運算求得正確答案.【解答過程】AC+AC+AC+AC+故選：B.【考點2空間向量的線性運算】【例2.1】（2023·全國·高三對口高考）12a+2A．?52a?4c B．?5【解題思路】根據(jù)向量的線性運算求解即可.【解答過程】12故選：C.【例2.2】（2023秋·北京·高二校考期末）如圖，在空間四邊形ABCD中，設E，F(xiàn)分別是BC，CD的中點，則AD+12A．AD B．FA C．AF D．EF【解題思路】利用空間向量的線性運算求得正確結論.【解答過程】因為BC?BD=所以AD+故選：C.【變式2.1】（2023秋·安徽黃山·高二統(tǒng)考期末）如圖，在三棱柱ABC?A1B1C1中，E、F分別是BC、CC1的中點，A．?13ABC．?23AB【解題思路】根據(jù)向量的數(shù)乘及加、減運算求解即可.【解答過程】解：由題意可得：GF====?=?1故選：A.【變式2.2】（2023秋·廣東廣州·高二校考期末）如圖，在平行六面體ABCD?A′B′C′D′中，AC與BD的交點為O，點M在A．?12AB+76ADC．?12AB+56AD【解題思路】根據(jù)平行六面體的幾何特點，結合空間向量的線性運算，即可求得結果.【解答過程】因為平行六面體ABCD?A′B′C′故可得OM=OB+BM=1212AB?AD+2故選：D.【考點3由空間向量的線性運算求參數(shù)】【例3.1】（2023秋·遼寧營口·高二統(tǒng)考期末）平行六面體ABCD?A1B1C1DA．1 B．2 C．3 D．－1【解題思路】根據(jù)平行六面體的性質結合向量的運算即可得出答案.【解答過程】因為平行六面體的六個面均為平行四邊形，則AC=AD+AB，則AC+而AD=BC，AA則AC+即m=2，故選：B.【例3.2】（2023秋·山東泰安·高二?？计谀┤鐖D所示，在平行六面體ABCD?A1B1C1DA．x=?12,y=C．x=?12,y=?【解題思路】根據(jù)空間向量的線性運算即可求解.【解答過程】根據(jù)題意，得；BE==又∵∴x=?故選：A.【變式3.1】（2023春·湖南長沙·高二?？奸_學考試）如圖所示，空間四邊形OABC中，OA=a,OB=b,OC=c，點M在OA上，且A．12,?2C．?23,【解題思路】利用空間向量的線性運算求解即可.【解答過程】MN=所以x=?2故選：C.【變式3.2】（2023春·高二課時練習）如圖所示，平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別在B1B和D1D上，且BE＝13BB1，DF＝23DD1.若EF=xA．﹣1 B．0 C．13 【解題思路】根據(jù)空間向量的加法、減法和數(shù)乘的運算法則即可得解．【解答過程】解：EF=?1=?=?AB∵EF=x∴x＝﹣1，y＝1，z＝13∴x+y+z＝1故選：C．模塊三模塊三共線向量與共面向量1．共線向量(1)空間兩個向量共線的充要條件對于空間任意兩個向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實數(shù)λ，使a＝λb.(2)直線的方向向量在直線l上取非零向量a，我們把與向量a平行的非零向量稱為直線l的方向向量．規(guī)定：零向量與任意向量平行，即對任意向量a，都有0//a.(3)共線向量定理的用途：①判定兩條直線平行；②證明三點共線.【注】：證明平行時，先從兩直線上取有向線段表示兩個向量，然后利用向量的線性運算證明向量共線，進而可以得到線線平行，這是證明平行問題的一種重要方法；證明三點共線問題，通常不用圖形，直接利用向量的線性運算即可，但一定要注意所表示的向量必須有一個公共點.2．共面向量(1)共面向量如圖，如果表示向量a的有向線段eq\o(OA,\s\up6(→))所在的直線OA與直線l平行或重合，那么稱向量a平行于直線l.如果直線OA平行于平面α或在平面α內，那么稱向量a平行于平面α.平行于同一個平面的向量，叫做共面向量．(2)向量共面的充要條件如果兩個向量a，b不共線，那么向量p與向量a，b共面的充要條件是存在唯一的有序實數(shù)對(x，y)，使p＝xa＋yb.(3)共面向量定理的用途：①證明四點共面；②證明線面平行.【考點1向量共線的判定及應用】【例1.1】（2023·江蘇·高二專題練習）如圖所示，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，點E在A1D1上，且A1E【解題思路】把EF,FB用基底A1【解答過程】證明：

連接EF，F(xiàn)B．∵EF===2FB==3∴EF=23又EF∩FB=F，∴E，F(xiàn)，B三點共線．【例1.2】（2023·江蘇·高二專題練習）已知O、A、B、C、D、E、F、G、H為空間的9個點（如圖所示），并且OE=kOA，OF=kOB，OH=kOD，【解題思路】根據(jù)題意，由向量的線性運算可得EG=k【解答過程】∵OE=kOA，OFEG=kOD∴AC因為AC、EG無公共點，故AC//【變式1.1】（2023春·高二課時練習）設e1,e2是空間兩個不共線的非零向量，已知AB=2【解題思路】利用空間向量的線性運算，結合共線向量定理，列式計算作答.【解答過程】因為BC=e1+3e又A，B，D三點共線，于是AB=λBD，即2e因此2=?λk=4λ，解得k=?8所以實數(shù)k的值是?8.【變式1.2】（2023春·高二課時練習）如圖，已知O,A,B,C,D,E,F,G,H為空間的9個點，且OE=kOA，OF=kOB，OH=kOD，求證：（1）AC//（2）OG=k【解題思路】（1）由題意，EG=EH+m（2）由題意，OG=OE+【解答過程】證明：（1）EG=k(=k∴AC//（2）OG=【考點2向量共面的判定及應用】【例2.1】（2023春·高一課時練習）如圖所示，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，M、N、P、Q分別為【解題思路】通過證明向量MQ、MN、MP共面來證得M,N,P,Q四點共面.【解答過程】令D1A1=a所以MN=12MQ=設MQ=λλMN則12μ?λ=?則MQ=2MN+MP．所以向量MQ、所以M、N、P、Q四點共面．【例2.2】（2023春·高一課時練習）已知A,B,M三點不共線，對于平面ABM外的任意一點O，判斷在下列各條件下的點P與點A,B,M是否共面．(1)OB+(2)OP=4【解題思路】（1）根據(jù)空間向量的共面定理及推論，即可求解；（2）根據(jù)空間向量的共面定理及推論，即可求解；【解答過程】（1）解：因為A,B,M三點不共線，可得A,B,M三點共面，對于平面ABM外的任意一點O，若OB+即OP=又因為13+13+（2）解：因為A,B,M三點不共線，可得A,B,M三點共面，對于平面ABM外的任意一點O，若OP=4OA?根據(jù)空間向量的共面定理，可得點P與A,B,M不共面．【變式2.1】（2023春·高二課時練習）已知E，F(xiàn)，G，H分別是空間四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA的中點，求證：(1)E，F(xiàn)，G，H四點共面；(2)BD∥平面EFGH.【解題思路】（1）要證E，F(xiàn)，G，H四點共面，只需證明向量EG，EF，EH共面，結合向量的線性運算及共面向量定理證明即可；（2）由向量共線結合線面平行的判定定理證明．【解答過程】（1）如圖，連接EG，BG．因為EG＝EB＋BG＝EB＋12(BC＋BD)＝EB＋BF＋EH＝EF＋EH由向量共面的充要條件可知，向量EG，EF，EH共面，又EG，EF，EH過同一點E，從而E，F(xiàn)，G，H四點共面．（2）因為EH＝AH－AE＝12AD－12AB＝12(AD又E，H，B，D四點不共線，所以EH∥BD，又EH?平面EFGH，BD?平面EFGH，所以BD∥平面EFGH．【變式2.2】（2023春·高二課時練習）已知A，B，C三點不共線，對平面ABC外的任一點O，若點M滿足OM=(1)判斷MA,(2)判斷點M是否在平面ABC內.【解題思路】（1）根據(jù)空間向量的線性運算，結合平面向量基本定理證明即可；（2）根據(jù)（1）結合平面向量的基本定理判斷即可.【解答過程】（1）由題知OA+∴OA?即MA=∴MA,（2）由（1）知，MA,MB,∴M，A，B，C四點共面，從而點M在平面ABC內.模塊四模塊四課后作業(yè)1．（2023春·高二課時練習）在平行六面體ABCD?A1B1CA．1個 B．2個C．3個 D．4個【解題思路】由圖形及相等空間向量定義可得答案.【解答過程】由圖，與向量AD大小相等，方向相同的向量有A1故選：C.2．（2023春·高二課時練習）下列命題中，正確的是（

）.A．若a≠b，則a≠b C．若a=b，則a=b 【解題思路】根據(jù)向量模長的定義以及向量的定義即可逐一判斷.【解答過程】對于A;比如a=(0,0,1),b=(1,0,0),a對于B;向量的模長可以有大小之分，但是向量不可以比較大小，所以B錯誤；對于C;向量相等，則其模長相等，方向相同，故C正確；對于D；若a=(0,0,1),b=(1,0,0)，a故選：C.3．（2023春·甘肅金昌·高二?？计谥校┫铝兴膫€命題中為真命題的是（

）A．已知A，B，C，D，E是空間任意五點，則ABB．若兩個非零向量AB與DC滿足AB=DC，則四邊形C．若分別表示兩個空間向量的有向線段所在的直線是異面直線，則這兩個向量可以是共面向量D．對于空間的任意一點O和不共線的三點A，B，C，若OP=xOA+yOB+zOCx,y,z∈R，則P【解題思路】根據(jù)空間向量的運算，即可判斷A項；根據(jù)已知可推得AB=DC，且AB//DC，即可判斷B項；根據(jù)空間向量可以平移，即可得出C項；當且僅當x+y+z=1時，P，A，B，C四點共面，可知D項錯誤.【解答過程】對于A，因為AB+對于B，因為AB=DC，所以AB=DC，且所以四邊形ABCD是平行四邊形，不一定是菱形，故B項錯誤；對于C，因為空間向量可以平移，將空間任意兩個向量平移到同一起點時，則這兩個向量可以是共面向量，故C項正確；對于D，對于空間的任意一點O和不共線的三點A，B，C，若OP=xOA+yOB+zOCx,y,z∈R，當且僅當x+y+z=1時，P故選：C.4．（2023秋·河北石家莊·高二校考期末）如圖，已知空間四邊形ABCD的對角線為AC，BD，設G是CD的中點，則AB+12A．AG B．CG C．BC D．1【解題思路】根據(jù)空間向量的線性運算即可.【解答過程】G是CD的中點,所以AB故選：A.5．（2023·上?！ば？寄M預測）設A、B、C、D為空間中的四個點，則“AD=AB+A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充要條件 D．既非充分也非必要條件【解題思路】根據(jù)共面的性質，結合空間向量的加法和減法的幾何意義、充分性、必要性的定義進行判斷即可.【解答過程】由AD=當“A、B、C、D四點在同一條直線上時，

A,B,C,D四點不共圓，若A、B、C、D四點共圓，當ABCD是矩形時，此時AC，BD為圓的直徑,滿足AD=AB+AC，而當ABCD不是矩形時，顯然AC，故選:D.6．（2023春·江蘇無錫·高一?？计谥校┮阎臻g向量a，b，且AB=a+2b，A．A、B、C B．B、C、D C．A、B、D D．A、C、D【解題思路】根據(jù)向量共線判斷三點共線即可．【解答過程】解：BD=2(a又AB與BD過同一點B，∴A、B、D三點共線．故選：C．7．（2023秋·廣西防城港·高二統(tǒng)考期末）如圖，設O為平行四邊形ABCD所在平面外任意一點，E為OC的中點，若OE=12OD+xA．?2 B．0 C．?1 D．3【解題思路】根據(jù)向量的線性運算的幾何表示，得出OE=【解答過程】∵E為OC的中點，∴OE∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴DC∴OE∵OE∴x=12，∴x+y=0，故選：B.8．（2023春·高一課時練習）下面關于空間向量的說法正確的是（

）A．若向量a,b平行，則B．若向量a,b所在直線是異面直線，則C．若A，B，C，D四點不共面，則向量AB，CD不共面D．若A，B，C，D四點不共面，則向量AB，AC，AD不共面【解題思路】利用平行向量的意義判斷A；利用空間共面向量的意義判斷BCD作答.【解答過程】向量a,b平行，可以通過平移將空間中任意兩個向量平移到一個平面內，因此空間任意兩個向量都是共面的，BC錯誤；顯然AB，AC，AD是空間中有公共端點A，但不共面的三條線段，所以向量AB，AC，AD不共面，D正確.故選：D.9．（2023·全國·高二專題練習）若空間中任意四點O，A，B，P滿足OP=mOA+nA．P∈AB B．P?ABC．點P可能在直線AB上 D．以上都不對【解題思路】由已知化簡可得AP=n【解答過程】因為m＋n＝1，所以m＝1－n，所以OP=(1?n)OA+n即AP=nAB，所以AP與又AP，AB有公共起點A，所以P，A，B三點在同一直線上，即P∈AB.故選：A.10．（2023春·江蘇宿遷·高二?？茧A段練習）已知向量e1，e2不共線，AB=e1+eA．AB與AC共線 B．AB與CD共線C．A，B，C，D四點不共面 D．A，B，C，D四點共面【解題思路】根據(jù)平面向量共線定理及推論依次判斷各個選項即可.【解答過程】對于A，∵12≠18，∴不存在實數(shù)λ，使得AB=λAC對于B，∵AC=2e1+8e2，又11≠1?13，∴不存在實數(shù)λ，使得AB=λCD成立，對于C、D，若A，B，C，D四點共面，則有AD=x∴x+2y=3x+8y=?5，即x=17故A，B，C，D四點共面，C錯誤，D正確.故選：D.11．（2023·江蘇·高二專題練習）如圖所示，已知ABCD?A（1）與BB1（2）與BC1（3）與BA【解題思路】根據(jù)相等向量、相反向量和平行向量的概念求解，（1）根據(jù)平行六面體的側棱都平行且相等和向量相等的定義寫出；（2）連接AD1，因為D1C1//AB（3