中學(xué)《數(shù)學(xué)》專項試題04-《勾股定理》解答題、應(yīng)用題重點題型分類中學(xué)《數(shù)學(xué)》專項試題04-《勾股定理》解答題、應(yīng)用題重點題型分類PAGEPAGE1中學(xué)《數(shù)學(xué)》專項試題04-《勾股定理》解答題、應(yīng)用題重點題型分類專題04《勾股定理》解答題、應(yīng)用題重點題型分類專題簡介：本份資料專攻《勾股定理》中"旋轉(zhuǎn)問題”、"關(guān)于翻折問題”、"關(guān)于最短性問題”、"關(guān)于勾股定理在實際中的應(yīng)用”、"勾股定理與分類討論”選擇、填空重點題型;適用于老師給學(xué)生作復(fù)習(xí)培訓(xùn)時使用或者考前刷題時使用.考點1：旋轉(zhuǎn)問題方法點撥：對于條件較為分散而題中又含公共頂點相等的邊(一般是相鄰的邊)時,常采用旋轉(zhuǎn)法,將分散條件集中到一個三角形中去.1．如圖,△ABC中,∠BAC=90°,AC=2,AB=,△ACD是等邊三角形.(1)求∠ABC的度數(shù).(2)以點A為中心,把△ABD順時針旋轉(zhuǎn)60°,畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形.(3)求BD的長度.2．如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,有一Rt△ABC,且A(－1,3),B(－3,－1),C(－3,3),已知△A1AC1是由△ABC旋轉(zhuǎn)得到的．(1)請寫出旋轉(zhuǎn)中心的坐標(biāo)是,旋轉(zhuǎn)角是度;(2)以(1)中的旋轉(zhuǎn)中心為中心,分別畫出△A1AC1順時針旋轉(zhuǎn)90°、180°的三角形;(3)設(shè)Rt△ABC兩直角邊BC＝a、AC＝b、斜邊AB＝c,利用變換前后所形成的圖案證明勾股定理．3．在△ABC中,∠C=90°,AC=BC=2,將一塊三角板的直角頂點放在斜邊AB的中點P處,將此三角板繞點P旋轉(zhuǎn),三角板的兩直角邊分別交射線AC、CB與點D、點E,圖①,②,③是旋轉(zhuǎn)得到的三種圖形．(1)觀察線段PD和PE之間的有怎樣的大小關(guān)系,并以圖②為例,加以說明;(2)△PBE是否構(gòu)成等腰三角形．若能,指出所有的情況(即求出△PBE為等腰三角形時CE的長,直接寫出結(jié)果);若不能請說明理由．4．已知△ABC中,∠C=90°,AB=10,AC=6,點O是AB的中點,將一塊直角三角板的直角頂點與點O重合并將三角板繞點O旋轉(zhuǎn),圖中的M、N分別為直角三角板的直角邊與邊AC、BC的交點．(1)如圖①,當(dāng)點M與點A重合時,求BN的長．(2)當(dāng)三角板旋轉(zhuǎn)到如圖②所示的位置時,即點M在AC上(不與A、C重合),①猜想圖②中、、、之間滿足的數(shù)量關(guān)系式,并說明理由．②若在三角板旋轉(zhuǎn)的過程中滿足CM=CN,請你直接寫出此時BN的長．考點2：關(guān)于翻折問題方法點撥：(1)標(biāo)已知、標(biāo)問題,明確目標(biāo)在哪個三角形中,設(shè)適當(dāng)?shù)奈粗獢?shù)x;(2)利用折疊找全等;(3)將已知邊和未知邊(用含x的代數(shù)式表示)轉(zhuǎn)化到同一三角形中表示出來;(4)利用勾股定理列方程、解方程、得解.1．如圖,在平行四邊形ABCD中,點P為邊AB上一點,將△CBP沿CP翻折,點B的對應(yīng)點B'恰好落在DA的延長線上,且PB'⊥AD,若CD＝3,BC＝4．(1)求證：∠DCB′＝90°;(2)求BP的長度．2．在正方形ABCD中,過點A引射線AH,交邊CD于點H(點H與點D不重合)．通過翻折,使點B落在射線AH上的點G處,折痕AE交BC于E,延長EG交CD于F．(感知)(1)如圖①,當(dāng)點H與點C重合時,猜想FG與FD的數(shù)量關(guān)系,并說明理由．(探究)(2)如圖②,當(dāng)點H為邊CD上任意一點時,(1)中結(jié)論是否仍然成立?請說明理由．(應(yīng)用)(3)在圖②中,當(dāng)DF=3,CE=5時,直接利用探究的結(jié)論,求AB的長．3．如圖,長方形ABCD中,AB＝8,BC＝6,P為AD上一點,將△ABP沿BP翻折至△EBP,PE與CD相交于點O,且OE＝OD,求AP的長．4．已知：如圖,在四邊形中,,,將沿直線翻折,點恰好落在邊上點處.(1)求證：;(2)求的長.5．如圖所示,在矩形ABCD中,AB=CD=5,BC=AD=3.(1)如圖①,E、F分別為CD、AB邊上的點,將矩形ABCD沿EF翻折,使點A與點C重合,設(shè)CE=x,則DE=(用含x的代數(shù)式表示),CD′=AD=3,在Rt△CD′E中,利用勾股定理列方程,可求得CE=.(2)如圖②,將△ABD沿BD翻折至△A′BD,若A′B交CD于點E,求此時CE的長;(3)如圖③,P為AD邊上的一點,將△ABP沿BP翻折至△A′BP,A′B、A′P分別交CD邊于E.

F,且DF=A′F,請直接寫出此時CE的長.考點3：關(guān)于最短性問題方法點撥：(1)分別畫出立體圖形和對應(yīng)的平面展開圖;(2)制作實體模型;(3)歸納出所在直角三角形的兩直角邊的一般性規(guī)律,并記錄在平面圖或模型上.1．如圖：一個圓柱的底面周長為16cm,高為6cm,BC是上底面的直徑,一只螞蟻從點A出發(fā),沿著圓柱的側(cè)面爬行到點C,求螞蟻爬行的最短路程(要求畫出平面圖形)．2．如圖,圓柱的高為16cm,底面半徑為4cm,在圓柱下底面的A點處有一只螞蟻,它想吃到上底面上與A點相對的B點處的食物,問：螞蟻至少要爬行多少路程才能食到食物?(的值取3)3．如圖,臺階階梯每一層高,寬,長,一只螞蟻從點爬到點,最短路程是多少?4．將沿AD折疊,使點C剛好落在AB邊上的點E處．展開如圖1．(操作觀察)(1)圖1中,,．①則_______;②若,則_______;(理解應(yīng)用)(2)如圖2,若,試說明：;(拓展延伸)(3)如圖3,若,點G為AC的中點,且．點P是AD上的一個動點,連接PG、PC．求的最小值．5．(背景介紹)勾股定理是幾何學(xué)中的明珠,充滿著魅力．千百年來,人們對它的證明趨之若鶩,其中有著名的數(shù)學(xué)家,也有業(yè)余數(shù)學(xué)愛好者．向常春在1994年構(gòu)造發(fā)現(xiàn)了一個新的證法．(小試牛刀)把兩個全等的直角三角形△ABC和△DAE如圖1放置,其三邊長分別為a,b,c．顯然,∠DAB＝∠B＝90°,AC⊥DE．請用a,b,c分別表示出梯形ABCD,四邊形AECD,△EBC的面積：S梯形ABCD＝,S△EBC＝,S四邊形AECD＝,再探究這三個圖形面積之間的關(guān)系,它們滿足的關(guān)系式為,化簡后,可得到勾股定理．(知識運(yùn)用)如圖2,河道上A,B兩點(看作直線上的兩點)相距200米,C,D為兩個菜園(看作兩個點),AD⊥AB,BC⊥AB,垂足分別為A,B,AD＝80米,BC＝70米,現(xiàn)在菜農(nóng)要在AB上確定一個抽水點P,使得抽水點P到兩個菜園C,D的距離和最短,則該最短距離為米．(知識遷移)借助上面的思考過程,請直接寫出當(dāng)0＜x＜15時,代數(shù)式的最小值＝．6．探究一：如圖1,已知AB=BD,AB⊥BC,∠C=90°,E和F分別是BD和CD上的動點,且BE=DF,△ABE與△BDF全等嗎?若全等,請說明理由．探究二：如圖2,一只螞蟻從一個長為6,寬為5,高為3的長方形頂點A從表面爬行到另一個頂點B,請問爬行的最短距離的平方的值是．探究三：如圖3,等邊三角形ADC中,邊長為4,高為AF,AE=CD,求(BD+CE)2的最小值．考點4：關(guān)于勾股定理在實際中的應(yīng)用方法點撥：在解決勾股定理應(yīng)用問題時,關(guān)鍵是把實際問題中的量轉(zhuǎn)化到直角三角形的三邊中,把實際問題中的數(shù)值轉(zhuǎn)化為直角三角形的三邊長.1．滑梯的示意圖如圖所示,左邊是樓梯,右邊是滑道,立柱,垂直于地面,滑道的長度與點到點的距離相等,滑梯高,且,求滑道的長度．2．如圖,一艘船正以海里/小時的速度向正東航行,在A處看小島C在船北偏東60°,繼續(xù)航行1小時到達(dá)B處,此時看見小島C在船的北偏東30°．(1)求小島C到航線AB的距離．(2)已知以小島C為中心周圍20海里內(nèi)為我軍導(dǎo)彈部隊軍事演習(xí)的著彈危險區(qū),問這艘船繼續(xù)向東航行,是否有進(jìn)入危險區(qū)的可能?3．勾股定理是幾何學(xué)中的明珠,它充滿魅力,在現(xiàn)實世界中有著廣泛的應(yīng)用．請嘗試應(yīng)用勾股定理解決下列問題：一架2.5m長的梯子AB斜靠在一豎直的墻AO上,這時BO為0.7m．如果梯子的頂端A沿墻下滑0.4m,那么梯子底端B在水平方向上滑動了多少米?4．滑撐桿在懸窗中應(yīng)用廣泛．如圖,某款滑撐桿由滑道,撐桿、組成,滑道固定在窗臺上．懸窗關(guān)閉或打開過程中,撐桿、的長度始終保持不變．當(dāng)懸窗關(guān)閉時,如圖①,此時點與點重合,撐桿、恰與滑道完全重合;當(dāng)懸窗完全打開時,如圖②,此時撐桿與撐桿恰成直角,即,測量得,撐桿,求滑道的長度．5．我市《道路交通管理條例》規(guī)定：小汽車在城市街道上的行駛速度不得超過60km/h．如圖,一輛小汽車在一條城市街道上沿直道行駛,某一時刻剛好行駛到車速檢測點A正前方30m的C處,2秒后又行駛到與車速檢測點A相距50m的B處．請問這輛小汽車超速了嗎?若超速,請求出超速了多少?6．臺風(fēng)是一種自然災(zāi)害,它以臺風(fēng)中心為圓心在周圍上百千米的范圍內(nèi)形成極端氣候,有極強(qiáng)的破壞力．如圖所示,有一臺風(fēng)中心沿東西方向由A向B移動,已知點C為一海港,且點C與直線上的兩點A,B的距離分別為：,以臺風(fēng)中心為圓心周圍以內(nèi)為受影響區(qū)域．(1)請計算說明海港C會受到臺風(fēng)的影響;(2)若臺風(fēng)的速度為,則臺風(fēng)影響該海港持續(xù)的時間有多長?考點5：勾股定理與分類討論方法點撥：(1)直角邊、斜邊不確定時,需分類討論;(2)腰、底不確定時,需分類討論;(3)高的位置不確定時,需分類討論.1．如圖,在長方形中,,．延長到點,使,連接．動點從點出發(fā),沿著以每秒1個單位的速度向終點運(yùn)動,點運(yùn)動的時間為秒．(1)的長為;(2)連接,求當(dāng)為何值時,;(3)連接,求當(dāng)為何值時,是直角三角形;(4)直接寫出當(dāng)為何值時,是等腰三角形．2．如圖1所示,已知△ABC中,∠ACB=90°,BC=2,AC=,點D在射線BC上,以點D為圓心,BD為半徑畫弧交AB邊AB于點E,過點E作EF⊥AB交邊AC于點F,射線ED交射線AC于點G．(1)求證：EA=EG;(2)若點G在線段AC延長線上時,設(shè)BD=x,FC=y,求y關(guān)于x的函數(shù)解析式并寫出定義域;(3)聯(lián)結(jié)DF,當(dāng)△DFG是等腰三角形時,請直接寫出BD的長度．3．已知中,,P、Q是邊上的兩個動點,其中點P從點A開始沿方向運(yùn)動且速度為每秒,點Q從點B開始沿方向運(yùn)動,在邊上的運(yùn)動速度是每秒,在邊上的運(yùn)動速度是每秒,它們同時出發(fā),當(dāng)其中一個點到達(dá)終點時,另一個點也隨之停止,設(shè)運(yùn)動時間為t秒．(1)出發(fā)2秒后,求的長．(2)當(dāng)點Q在邊上運(yùn)動時,t為何值時,的面積是面積的．(3)當(dāng)點Q在邊上運(yùn)動時,t為何值時,將周長分為23：25兩部分．4．將銳角為45°的直角三角板MPN的一個銳角頂點P與正方形ABCD的頂點A重合,正方形ABCD固定不動,然后將三角板繞著點A旋轉(zhuǎn),∠MPN的兩邊分別與正方形的邊BC、DC或其所在直線相交于點E、F,連接EF．(1)在三角板旋轉(zhuǎn)過程中,當(dāng)∠MPN的兩邊分別與正方形的邊CB、DC相交時,如圖1所示,請直接寫出線段BE、DF、EF滿足的數(shù)量關(guān)系;(2)在三角板旋轉(zhuǎn)過程中,當(dāng)∠MPN的兩邊分別與正方形的邊CB、DC的延長線相交時,如圖2所示,請直接寫出線段BE、DF、EF滿足的數(shù)量關(guān)系;(3)若正方形的邊長為4,在三角板旋轉(zhuǎn)過程中,當(dāng)∠MPN的一邊恰好經(jīng)過BC邊的中點時,試求線段EF的長．5．如圖,△ABC中,∠C＝90°,BC＝6,∠ABC的平分線與線段AC交于點D,且有AD＝B