高等數(shù)學(xué)(下冊)考試試卷(一)

一、填空題(每小題3分，共計(jì)24分)

22

1、z=A/logfl(x+y)(a>0)的定義域?yàn)镈=。

2、二重積分口皿/+p2)公6的符號為。

lxl+l_yl<l

3、由曲線y=lnx及直線x+y=e+l,y=1所圍圖形的面積用二重積分表示

為，其值為。

4、涮線L的參數(shù)方程表示為「=9W》<夕),則弧長元素右=_________。

[y=-⑺

5、設(shè)曲面￡為/+y2=9介于z=0及z=3間的部分的外側(cè)，則

|j(x2+y2+l)ds=。

6、微分方程電=上+tan上的通解為______________。

dxxx

7、方程y(4)-4y=0的通解為。

8、級數(shù)52---的和為。

二、選擇題(每小題2分，共計(jì)16分)

1、二元函數(shù)[=/(x,y)在(與,%)處可微的充分條件是()

(A)/(x,y)在(%,%))處連續(xù):

(B)f：(x,y),火(x,y)在(x。,%)的某鄰域內(nèi)存在；

(C)M一工&,九心一(x°,y°)Ay當(dāng)&Ax)?+如)2-o時(shí),是無窮?。?/p>

(D)=.一然乎'。的7&。，)‘。肉_"

2、設(shè)〃=才(二)+^(2),其中/具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則x坐+y咨等于()

yxdxdy

(A)x+y；(B)x；(C)y；(D)0。

3、設(shè)O：/+/+/4i,zZ0,則三重積分/=JJJzdV等于()

Q

￡￡.

(A)4￡2d0d(p^r3sin(pcos(pdr；

(B)J"呵。r2sincpdr；

(C)g喔d”r3sincos(pdr；

(D)「de，：/sincos(pdr。

4、球面V+y2+z2=4/與柱面，+/=2磔所圍成的立體體積V=()

r—『2。cos?/^

(A)4『d8/yJ4a~-r~dr；

JoJo

r-p2acos。IZZ-

(B)何。"4aidr；

『。。/

(C)8rp—def2cosrd4屋Z一戶dr；

JoJo

-

f-r2acos。I；Z

(D)］加夕［)rY4cr-廠dr0

5、設(shè)有界閉區(qū)域D由分段光滑曲線L所圍成，L取正向，函數(shù)P(x,y),Q(x,y)在D

卜.具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則，Pdx+Qdy=()

(A)I，年一爭公辦；

卡dyox

?N噂_%"也；

#oxdy

6、下列說法中錯(cuò)誤的是()

(A)方程孫"'+2>"+/},=0是三階微分方程；

(B)方程y@+x^=ysinx是一階微分方程；

dxdx

(C)方程(，+2xy3)dx+(y2+3x2y2)dy=0是全微分方程;

(D)方程生+=區(qū)是伯努利方程。

dx2x

7、已知曲線y=y(x)經(jīng)過原點(diǎn)，且在原點(diǎn)處的切線與直線2x+y+6=0平亍，而y(x)

滿足微分方程y"—2y'+5y=0,則曲線的方程為)，=()

(A)-exsin2x；(B)e'(sin2x-cos2x)；

x

(C)(cos2^-sin2x)；(D)esin2xo

8、設(shè)lim〃〃“=0,則￡〃〃()

71—>00n=l

(A)收斂；(B)發(fā)散；(C)不一定；(D)絕對收斂。

三、求解下列問題(共計(jì)15分)

1、(7分)設(shè)f,g均為連續(xù)可微函數(shù)。u=/(x,xy),v=g(x+xy^),

dudu

求一?

dxdy

2、(8分)設(shè)M(X/)=I'',f(z)dz.o

*dxQt

四、求解下列問題(共計(jì)15分。

1、計(jì)算/=|e~y2dy?(7分)

2、計(jì)算/=。］(/+>2)3/,其中Q是由％2+>2=2z,z=l及z=2所圍成的空間

C

閉區(qū)域(8分。

五(13分)計(jì)算/=《二二當(dāng)，其中L是xoy面上的任一條無重點(diǎn)且分段光滑不經(jīng)過

L*x2+y2

原點(diǎn)。(0,0)的封閉曲線的逆時(shí)針方向。

六(9分)設(shè)對任意x,y,/(x)滿足方程〃x+y)=，且/(0)存在，求/(x)。

七(8分)求級數(shù)'(-1)"號言一的收斂區(qū)間。

高等數(shù)學(xué)(下冊)考試試卷(二)

一、填空題(每小題3分，共計(jì)24分)

1、設(shè)2sin(x+2y—3z)=x+2y-3z,則包+邑=___。

dxdy

3-^9+xy

2、lim---------=______。

10盯

>'->0

f2^2x

3、設(shè)/=Idx\f(x,y)dy,交換積分次序后，1=________

JOJx

22

4、設(shè)/(，，)為可微函數(shù)，且"0)=0,則lim--jJ/(7^+yW

571廣產(chǎn)+%

5、設(shè)乙為取正向的圓周/+y2=4,則曲線積分

+V)dx+(2ye*—x)dy-

—?—?—>―,—?

6>設(shè)A=(x?+yz)i+ly?+xz)，+(產(chǎn)+孫)憶，則d?A=

7、通解為)，=4/+0。-2、的微分方程是

-1,-7TWXV。

8>設(shè)f(x)=<，則它的Fourier展開式中的a=_______

1,0<X<71

二、選擇題(每小題2分，共計(jì)16分°

xy2，2八

1、設(shè)函數(shù)/(x,y)=?/+y4，則在點(diǎn)(0,0)處()

0,x2+y2=Q

(A)連續(xù)且偏導(dǎo)數(shù)存在：(B)連續(xù)但偏導(dǎo)數(shù)不存在；

(C)不連續(xù)但偏導(dǎo)數(shù)存在；(D)不連續(xù)且偏導(dǎo)數(shù)不存在。

2、設(shè)〃(x,y)在平面有界區(qū)域D上具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且滿足

d2u..pd2ud2u..

----工0及-+—7=0,

dxdydx7~dy~

則()

(A)最大值點(diǎn)和最小值點(diǎn)必定都在D的內(nèi)部；

(B)最大值點(diǎn)和最小值點(diǎn)必定都在D的邊界上；

(C)最大值點(diǎn)在D的內(nèi)部，最小值點(diǎn)在D的邊界匕

(D)最小值點(diǎn)在D的內(nèi)部，最大值點(diǎn)在D的邊界上。

3、設(shè)平面區(qū)域D：(X—2產(chǎn)+(y—61,若人=JJ(x+y)2do■,八=JJ(x+y))b

DD

則有()

(A)/,</2;(B)/]=/,；(C)/,>/2;(D)不能比較。

4、設(shè)。是由曲面z=孫,y=x,x=1及z=0所圍成的空間區(qū)域，則^xy2dxdydz

=()

11

(A)(B)—(D)

361362363364

x=(p(t)

5、設(shè)/(x,y)在曲線弧乙上有定義且連續(xù)〃的參數(shù)方程為1"(a<?</?),

、y=w(t)

其中0。),“⑺在[a,0上具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且*'2?)+/2⑺/0,則曲線積

分，/(x,y)ds=()

(A)￡fWwQ))dt；(B)J；fo'?⑴+展2(t)dt；

(C)￡7(9(f)"(f))Jd)+〃"(f)力;(D)，/(*“),”?))力。

6、設(shè)2是取外側(cè)的單位球面/+y2+z2=i,則曲面積分

^xdydz+ydzdx+zdxdy=()

s

(A)0；(B)2萬；(C)7T；(D)4;r。

7、下列方程中，設(shè)必，乃是它的解，可以推知弘+%也是它的解的方程是()

(A)y'+p(x)y+q(x)=0；(B)y"+p(x)y'+q(x)y=0；

(C)y"+p(x)y'+q(x)y=f(x)；(D)y"+p(x)y'+q(x)=0。

8、設(shè)級數(shù)五%為一交錯(cuò)級數(shù)，則()

n=]

(A)該級數(shù)必收斂；(B)該級數(shù)必發(fā)散；

(C)該級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散；(D)若%―0(〃-0),則必收斂。

三、求解下列問題(共計(jì)15分)

1、(8分)求函數(shù)〃=ln(x+Jy?+z?)在點(diǎn)A(0,1,0)沿A指向點(diǎn)B(3,-2,2)

的方向的方向?qū)?shù)。

2、(7分)求函數(shù)/(%,〉)=1)，(4一1->)在由直線工+曠=6廣=0,》=0所圍成的閉

區(qū)域D上的最大值和最小值。

四、求解下列問題(共計(jì)15分)

1、(7分)計(jì)算/=JJJ----------y,其中。是由x=0,y=0,z=0&x+y+z=l

所圍成的立體域。

2、(8分)設(shè)/(x)為連續(xù)函數(shù)，定義尸⑺=0上2+/(/+>2)]4，

C

其中。={(x,y,z)10<z<h,x2+y2<t2],求也。

dt

五、求解下列問題(15分)

1、(8分)求/=f(exsiny-my)dx+(excosy-m)dy,其中L是從A(a,0)經(jīng)

JL

y=\Jax-x2到O(0,0)的弧。

2、(7分)計(jì)算/=JJ/dydz+y2dzdx+z2dxdy,其中E是尤？+=z"。Wz?

z

的外側(cè)。

六(15分)設(shè)函數(shù)e(x)具有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，并使曲線積分

Jj3d(x)-2Q(X)+xe2x]ydx+(p'(x)dy與路徑無關(guān)，求函數(shù)夕(九)。

高等數(shù)學(xué)(下冊)考試試卷(三)

一、填空題(每小題3分，共計(jì)24分)

1、設(shè)力，貝廷=______。

Jxz&

2、函數(shù)/(x,y)=xy+sin(x+2y)在點(diǎn)(0,0)處沿1=(1,2)的方向?qū)?shù)

得|(o,o)=-------0

3、設(shè)Q為曲面z=l—――y2,z=()所圍成的立體，如果將三重積分

/=Jj,(x,y,z)小化為先對z再對y最后對x三次積分，則1=。

4、設(shè)/(x,y)為連續(xù)函數(shù)，則/=1呼一LJJ/(x,y)dcr=,其中

D:x2+y2<t2.

5、^(x2+y2)ds-,其中L:x?+。

6、設(shè)Q是一空間有界區(qū)域，其邊界曲面3Q是山有限塊分片光滑的曲面所組成，如果

函數(shù)P(x,y,z)，Q(x,y,z)，R(x,y,z)在。上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則三重積分與

第二型曲面積分之間有關(guān)系式：,該關(guān)系

式稱為公式。

7、微分方程)，"—6)，'+9〉=/一6了+9的特解可設(shè)為>*=o

8、若級數(shù)ZT—發(fā)散，則po

M=1〃

二、選擇題(每小題2分，共計(jì)16分)

1、設(shè)/伍力)存在，則lim，"+"力)一""一"')=()

XTOx

(A)/；(〃/)；(B)0；(C)2f"(a,h)；(D)；f；(a,b)。

2、設(shè)z=x)',結(jié)論iE確的是()

(A)三上〉0；(B)止上=0；

dxdydydxdxdydydx

(C)-^--^<0；(D)三上

。0。

dxdydydxdxdydydx

3、若/(x,y)為關(guān)于x的奇函數(shù),積分域D關(guān)于y軸對稱，對稱部分記為以孫,/(x,y)

在D上連續(xù)，則y)da=()

D

(A)0；(B)2jj/(x,y)db；(C)4^f(x,y)da；(D)2。

5。2

4、設(shè)。：x2+y2+z2</?2,則C+/)如/,收=()

Q

QQ

5

(A)_成'；(B)-TTR-,(C)/IRS;(D)--7rR5O

331515

5、設(shè)在xoy面內(nèi)有一分布著質(zhì)量的曲線L,在點(diǎn)(x,y)處的線密度為夕(蒼y),則曲線

弧上的重心的x坐標(biāo)x為()

1

(A)x=瓦￡+3)'"；(B)xy)dx；

ML

(C)x=y)ds；(D)xxds,其中M為曲線弧工的質(zhì)量。

6、設(shè)E為柱面/+y2=1和x=0,y=(),z=l在第一卦限所圍成部分的外側(cè)，則

21

曲面積分可yzdxdy+xzdydz+xydxdz=()

z

(A)0；(B)4(D)70

7、方程了一2y'=/⑴的特解可設(shè)為()

x

(A)A,若/(x)=l；(B)Aef若/(x)=〃；

(C)Ax4+Bx3+Cx2+Dx+E,^/(x)=x2-2x；

(D)x(Asin5x+Bcos5x),若/(x)=sin5x。

—1—TTKXVO

8、設(shè)/(x)=《'一，則它的Fourier展開式中的明等于()

10<x4萬

2i4

(A)—[l-(-l)/f]；(B)0；(C)_L；(D)—o

n兀n7vn兀

三、(12分)設(shè)y=/(x,f),f為由方程F(x,y,t)=Q確定的的函數(shù)，其中具

有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求%。

四、(8分)在橢圓/+4y2=4上求一點(diǎn)，使其到直線2x+3y—6=0的距離最短。

五、(8分)求圓柱面/+y2=2y被錐面z=和平面Z=0割下部分的面積A。

六、(12分)計(jì)算/=JJ孫Z公沖，其中E為球面x2+y2+z2=\的xN0,yN0部分

的外側(cè)。

七(10分)設(shè)"(cosx)=i+sin2s,求/(X)。

d(cosx)

八(10分)將函數(shù)/(x)=ln(l+x+x2+x3)展開成龍的舞級數(shù)。

高等數(shù)學(xué)(下冊)考試試卷(四)

一、填空題(每小題3分，共計(jì)24分)

1、由方程型+正+y2+/=&所確定的隱函數(shù)7=z(x,y)在點(diǎn)(1,0,-1)處

的全微分dz=。

2、橢球面/+2)，2+322=6在點(diǎn)(1,1,1)處的切平面方程是。

3、設(shè)D是由曲線y=/,y=x+2所圍成，則二重積分/=Jj(l+x2)dxdy=。

D

4、設(shè)。是由/+y2=4,7=0,%=4所圍成的立體域，則三重積分

I=jj1(x2+y2)dv=。

5、設(shè)E是曲面z="/+y2介于z=0,z=l之間的部分,則曲面積分

I=jj(x2+y2)ds=。

(x+y+z=0

7、已知曲線y=y(x)上點(diǎn)M(0,4)處的切線垂直于直線x-2y+5=0,且y(x)滿足微

分方程y"+2y'+y=0,則此曲線的方程是。

8、設(shè)/(x)是周期T=2;r的函數(shù)，則“X)的Fourier系數(shù)為。

二、選擇題(每小題2分，共計(jì)16分)

1、函數(shù)z=arcsin2+J石的定義域是()

x

(A){(x,y)l|%|<|y|,x#0}；(B){(x,y)I|x|>|y|,x0)；

(C){(x,y)I|x|>y>O,xwo}U{(x,y)Ix<y<O,x^0}；

(D){(x,y)Ix>0,y>0}U{(x,y)Ix<0,y<0}?

2、已知曲面z=4-/一/在點(diǎn)p處的切平面平行于平面2x+2y+z-l=0，則點(diǎn)

P的坐標(biāo)是()

(A)(1,-1,2)；(B)(-1,1,2)；(C)(1,1,2)；(D)(-1,-1,2)。

3、若積分域D是由曲線y=/及y=2—所圍成，則()

D

(A)￡dx^yf(x,y)dy,(B)￡dx^_^f(x,y)dy；

(C)￡dyj￡j(x,y)dx；(D)J；dyJ：/(x,y)dx。

4、設(shè)Q]:x2+y2+z2</?2,z>0;2222

Q2:X+y4-Z</?,x>0,y>0,z>0,則

有()

(A)IjjxJv=4JJ卜??；(B)jjjydv=4jjjydv；

a

jjpv=4jjpv?

(C)^xyzdv=4jJ卜"du；(D)

a%*%

5、設(shè)Z為由曲面2=Jx2+y2及平面Z=1所圍成的立體的表面,則曲面積分

22

j|(x+y)ds=()

/AX1+V26

(A)------n;(B)(C)——71；(D)0a

2I2

6、設(shè)Z是球面+/+/=/表面外側(cè)，則曲面積分

W^dydz+y3dzdx+z^dxdy=()

￡

12212<4</、125

(A)—兀a；(B)—7Tci；(C)—Kci；(D)----na

5555

7、一曲線過點(diǎn)(e,l),且在此曲線上任一點(diǎn)〃(x,y)的法線斜率々=-一業(yè)—，則

x4-yInx

此曲線方程為()

xx

(A)y=—+xln(lnx)；(B)y=—+xlnx；

ee

x

(C)y=+xln(lnx)；(D)y=—+In(lnx)o

e

8、幕級數(shù)￡(〃+l)x"的收斂區(qū)間為()

/l=l

(A)(-1,1)；(B)(-oo,+oo)；(C)(-1,1)；(D)[-1,1]?

三、（1。分）已知函數(shù)i，=W（'）+xg（￡）,其中/,g具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，求

yx

Q-Ud-u小

X—的值。

dx2-dxdy

四、（1。分）證明：曲面盯Z=c3（c〉0）上任意點(diǎn)處的切平面與三坐標(biāo)面所圍成立體的

體積為一定值。

五、（14分）求拋物面Z=4+/+y2的切平面萬，使得萬與該拋物面間并介于柱面

（x-l）2+y2=1內(nèi)部的部分的體積為最小。

六、（10分）計(jì)算/=j（e*siny+y）dx+（excosy-x）dy,其中L為y=-y/4-x2

由A（2,0）至B（—2,0）的那一弧段。

七、（8分）求解微分方程y"+上<2=o。

i-y

8n

八、（8分）求哥級數(shù)的和函數(shù)S（x）。

M〃

高等數(shù)學(xué)（下冊）考試試卷（五）

一、填空題（每小題3分，共計(jì)24分）

1、設(shè)z=/（x,y）是由方程z—y—x+xezr'T=0所確定的二元函數(shù)，則

dz~O

2、曲線〈）一—在點(diǎn)（1,1,1）處的切線方程是______________。

[2x-3y+5z-4=0

3、設(shè)O是由V+V+F4i,則三重積分口卜因小=。

4、設(shè)/（x）為連續(xù)函數(shù)，。，機(jī)是常數(shù)月.a>0,將二次積分「辦]'，"5嘰/。）公

化為定積分為O

5、曲線積分L.Pdx+Qdy與積分路徑L(A8)無關(guān)的充要條件為。

6、設(shè)Z為z=y]a2-x2-y2,貝Ujj(x2+y2+z2)ds=。

s

7、方程y'+3y=e2t的通解為o

8、設(shè)級數(shù)￡樂收斂，“發(fā)散，則級數(shù)￡(%+/)必是。

n=ln=ln=l

二、選擇題(每小題2分，共計(jì)16分)

-2

(x,y)W(0,0)

1、設(shè)/(x,y)=|x~j+y2,在點(diǎn)(o,0)處，

0,(x,y)=(0,0)

下列結(jié)論()成立。

(A)有極限，且極限不為0；(B)不連續(xù)；

(C)/；(0,0)=/；(0,0)=0；(D)可微。

2、設(shè)函數(shù)z=/(x,y)有裝=2,月./(x,0)=l,/'、*,0)=x,則/(x,y)=()

Sy

(A)l-孫+y2；(B)1+xy+y2；(C)1-x2y-vy2；(D)l-^-x2y+y2o

3、設(shè)D：l<x2+y2<4,/在D上連續(xù)，則JJ/Qi+)也在極坐標(biāo)系中等

D

于()

(A)2兀J；tf(r)dr；(B)2^rf(r2)dr；

22

(C)2叫J#/⑺⑹；(D)2^[￡<f(r)Jr-￡rf(r)Jr]o

4、設(shè)Q是由x=0,y=0,z=0及x+2y+z=l所圍成，則三重積分

JJJV(x,y,z)dv=()

C

,\-y,_

flr——fl-x-2y

(A)￡JxJo2dz￡xf(x,y,Z)dy；

flflrl-x-2y

(B)￡Jx￡dyJoxf(x,y,z)dz；

1-X_

flp----rI-x-2y

(C)￡jx￡2t/y￡xf(x,y,z)dz；

(D)￡dxJ；dy￡xf(x,y,z)dz。

5、設(shè)2是由元=0,y=0,z=0,x=ly=l,z=1所圍立體表面的外側(cè)，則曲面積分

<^xdydz+ydzdx+zdxdy=()

z

(A)0；(B)1；(03；(D)2o

6、以下四結(jié)論正確的是()

(A)JJJ(x2+y2+z2)dv=—7Va5；

x2+y2+z2^a2

(B)JjQ?+y2+z2ks=44〃4；

x2^y2+z2=a2

(C)有(x2+y24-z2)dxdy=4/ra4；

/+)，2+/=/外側(cè)

(D)以上三結(jié)論均錯(cuò)誤。

7、設(shè)g(x)具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，g(0)=l。并設(shè)曲線積分fyg(x)tanxdx-gMdy

JL

與積分路徑無關(guān)，則『'/ygOOtanxdx-gOOdy=(

)

J(0,0)

72V2V2(D)

(A)——71;(B)-----71；(C)——71；一旦*

2288

8、級數(shù)的和等于()

071-1

M=1N

(A)2/3；(B)1/3；(C)1；(D)3/2。

三、求解下列問題(共計(jì)15分)

.…八、丫：dudu

1、(8分)設(shè)1a〃=x，求—,------o

dxdy8z

2、(7分)設(shè)〃=/(±,2),/具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求成。

yz

四、求解下列問題(共計(jì)15分)

1、(8分)計(jì)算/=|?產(chǎn)(X)+"()')%,其中O：/+y2

<R2?

2、(7分)計(jì)算/=JJJ(x+y+z+l)dv，其中。：/+/+72<氏2。

C

五、(15分)確定常數(shù)幾，使得在右半平面x>0上，

J/2xy（x4+y2pdx—x2（/+y2）%y與積分路徑無關(guān)，并求其一個(gè)原函數(shù)“（元田。

14-Y

六、（8分）將函數(shù)一了展開為x的哥級數(shù)。

七、（7分）求解方程y"-6y'+9y=0。

高等數(shù)學(xué)（下冊）考試試卷（六）

一、填空題（每小題3分，共計(jì)24分）

1、設(shè)/（》+乂2）=，一/，則/（x,y）=。

X

2、設(shè)/（x,y,z）=/+2）"+3z?+xy+3x-2y-6z,則grah（1,1,1）=

3、設(shè)/=￡dxj；/（x,y）dy,交換積分次序后，則1=。

4、設(shè)。：0WxWa;04y〈b;04zWc,則三重積分^xyzdv=。

5、設(shè)曲面￡的方程為2=2（羽）0,口,〉）€0,則Z的面積元素為ds=

222

6、設(shè)2為X+%+/1,內(nèi)側(cè)，則積分<^xdydz+ydzdx+zdxdy

7、設(shè)月,乃，乃是y"+p（x）y'+q（x）y=/（x）的三個(gè)不同的解，且%,二不是常

為一為

數(shù)，則該方程的通解為），=O

8、函數(shù)y=」^關(guān)于x的第級數(shù)展開式為。

二、選擇題（每小題2分，共計(jì)16分）

1、設(shè)函數(shù)/（x,y）滿足方程2=駕及條件/（x，2x）=x，f：（x,2x）=x2

dxdy

貝心x,2x）=（）

2、二元函數(shù)/（x,y）在點(diǎn)。0，先）處的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)《（項(xiàng)）,比）,￡；（%,打）存在是

/（x,y）在該點(diǎn)連續(xù)的（）

（A）充分條件非必要條件；（B）必要條件非充分條件；

（C）充分必要條件；（D）既非充分條件又非必要條件。

3、由/+/=尺2及/+/=相所圍成的立體的表面積$=（）

(A)16(B)8

HR2-X2R

(C)4(D)4」。公「目而丁6。

4、設(shè)區(qū)域D={(x,y)lW+M?l},D是D在第一象限部分。/(x,y)在D上連續(xù),

等式JJ/(x，y)db=4jj/(x,y)dcr成立的充分條件是()

D。|

(A)f(-x,-y)=f(x,y')；(B)f(-x,-y)=-f(x,y)；

(C)f{-x,y)=f(-x,-y)=/(x,y)；

(D)f(-x,y)=f(x,-y)=-f(x,y)。

5、設(shè)上是圓周/+/=一2%的正向，則曲線積分g(x3—y)dx+(X—y3)dy

=()

3

(A)一27；(B)0；(C)-7T；(D)2萬。

2

6、設(shè)E為錐面z=卜+1被柱面x2+y2=2x所截下的部分，則積分

I-|j(^4->>4+y2z2-x2z2+i)<V.v=()

s

(A)71；(B)-〃；(C)叵兀；(D)-y/27To

7、靡了=彳的經(jīng)過點(diǎn)(0,1)且在此點(diǎn)與直線丁=3》+1相切的積分曲線為()

1313

(A)y=—x+x+1；(B)y=-x4-CjX+c2；

8、若之一，收斂(a>0),則。的范圍為()

?=iln(n+1)

(A)(0,1)；(B)(1,2);(C)(l,+oo)；(D)(0,+8)。

三、(10分)設(shè)/Q,,v)可微，試證曲面尸(匕烏,竺2)=0上任一點(diǎn)處的切平面都經(jīng)過

z-cZ-C

某個(gè)定點(diǎn)(其中。，瓦C均為常數(shù))。

四、(10分)求"x,y)=(X—1)2+(>—2)2+1在區(qū)域o={(x,y)|/+/2?2()}上的最

大值和最小值。

五、(8分)計(jì)算/=da,其中D是由曲線y=?,直線y=x和y=2圍成。

六、(12分)計(jì)算/=*"dx+ady,其中工是1+二+二=i的外側(cè)。

222

I(x+y+Z)^a-b-c

七、(10分)將/(x)=「araan"dx展開為x的1級數(shù)。

JoX

八、(10分)求解方程xdy+2y(Iny-lnx)dx=O。

高等數(shù)學(xué)(下冊)考試試卷(七)

一、填空題(每小題3分，共計(jì)24分)

1、u=ln(x2+y2+嚴(yán))在知(1,一1,2)處的梯度為8"/”|的=。

1d2

2、設(shè)［=上/(孫)+)4。+>),/、°具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則z三______o

xoxdy

22

3、設(shè)D:/+y2?相，則H+。

22

4、設(shè)2：3+'=1,其周長為“，則曲線積分，J2xy+3x2+4y2)ds=

5、設(shè)/(x)是周期T=2的函數(shù)，它在(一1,1)上定義為

2,-l<x<0

/(x)=1R，則/(x)的Fourier級數(shù)在x=1處收斂于___________

x,0<x<1

6、設(shè)第級數(shù)的收斂半徑為3,則幕級數(shù)向的收斂區(qū)間為

n=0M=1

7、方程y'+ytanx=cosx的通解為。

8、方程y〃—4y=0的通解為。

二、選擇題(每小題2分，共計(jì)16分)

1、設(shè)函數(shù)/(x,y)在點(diǎn)(0,0)附近有定義，且￡’(0,0)=3,/；(0,0)=1,則

()成立。

(A)dz\{00)=3dx+dy

（B）曲面z=/（x,y）在點(diǎn)（0,0,f（0,0））處的法向量為（3,1,1）；

（C）曲線「一/"'））在點(diǎn)（0,0,f（0,0））處的切向量為（1,0,3）；

y=0

（D）曲線「一,0'））在點(diǎn)（0,0,f（0,0））處的切向量為（3,0,1）。

y=0

2、曲線=—產(chǎn)的所有切線中與平面z+2y+x=4平行的切線（）

z=『

（A）只有一條；（B）只有兩條；（C）至少有三條；（D）不存在。

3、設(shè)D是xoy面上以（1,1）,（-1,1）和（一1,一1）為頂點(diǎn)的三角形區(qū)域,

D1是D在第?一象限內(nèi)的部分，則二重積分“（盯+cosxcosy）dxdy=（）

(A)2jjcosxsinydxdy；(B)2^xydxdy；

o,

(C)4^xydxdy：(D)0o

已知f步為某個(gè)函數(shù)的全微分，則

(A)-l；(B)0；(C)1；(D)2o

若Za“（x—1）"在x=—1收斂，則此級數(shù)在x=2處（

（A）條件收斂；（B）絕對收斂；（C）發(fā)散；（D）收斂性不能確定。

6、設(shè)J(x)=<、/s(x)=U+COS"乃X,Xe(-00,4-00)

2—2尤,y2<x<\2H=o

其中%=2

（A）1/2；（B）-1/2；（C）3/4；（D）-3/40

7、下列函數(shù)組中線性無關(guān)的是（）

(A)x,x+l,x-l；(B)0,x,x2,x

(D)e『e2T

8、已知孫〃+y'=4x的一個(gè)特解為一,對應(yīng)齊次方程xy〃+<=0有一個(gè)特解為

Inx,則原方程的通解為（）

22

（A）c,lnx+c2+x；（B）c,\nx+c2x+x；

v1v2

(C)c}lnx+c2e+x；(D)c1lnx+c2e~4-xo

三、求解下列問題（共計(jì)15分）

1*2+v2

1、（7分）計(jì)算lim—。

x->。:y

-o11l/1+x2+?y2

2、（8分）設(shè)/具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，z=—求它,它。

/（廠一廠）dxdy

四、求解下列問題（共計(jì)15分）

1、（7分）計(jì)算/=J：dx，y^X+ydy。

2、（8分）證明：拋物面z=l+/+y2上任一點(diǎn)處的切平面與曲面z=x2+y2所圍

成的立體的體積為?定值。

五、（13分）驗(yàn)證（2盯2+x+2）dx+（2/y—/+3）力是某二元函數(shù)a（x,y）的全微分,

求出并計(jì)算/=/（2孫?+工+2）力；+（2，丁一），2+3）dy。

六、（8分）利用Gauss公式計(jì)算積分/=+2xz~dzdx+3y2zdxdy,

其中曲面￡為拋物面［=4一X2-），2被2=0所截下部分下側(cè)。

七、（9分）設(shè)函數(shù)/（f）在［0,+8）上連續(xù)，且滿足關(guān)系式

/。)