第七章彎曲變形

§1梁的撓度和轉(zhuǎn)角§2梁的撓曲線近似微分方程§3積分法計(jì)算梁的變形§4疊加法計(jì)算梁的變形剛度條件§5簡(jiǎn)單超靜定梁回顧：彎曲內(nèi)力——在外力作用下，梁的內(nèi)力沿軸線的變化規(guī)律。彎曲應(yīng)力——在外力作用下，梁內(nèi)應(yīng)力沿橫截面高度的分布規(guī)律。

本章:彎曲變形——在外力作用下，梁在空間位置的變化規(guī)律。研究彎曲變形的目的1）剛度計(jì)算；2）解簡(jiǎn)單的超靜定梁。一、撓曲線：

在平面彎曲的情況下，梁變形后的軸線在彎曲平面內(nèi)成為一條曲線，這條曲線稱為撓曲線。

性質(zhì)：連續(xù)、光滑、彈性、極其平坦的平面曲線。三、轉(zhuǎn)角：

橫截面繞中性軸轉(zhuǎn)過的角度。用“”表示。qq二、撓度：橫截面形心沿垂直于軸線方向的位移。用“y”表示。撓曲線y=y（x）……撓曲線方程

撓度向下為正；向上為負(fù)。θ=θ(x)……轉(zhuǎn)角方程。

由變形前的橫截面轉(zhuǎn)到變形后，順時(shí)針為正；逆時(shí)針為負(fù)。四、撓度和轉(zhuǎn)角的關(guān)系

撓曲線為一條平坦的曲線.qqMAB＝MCD＝0MBC＝const答案D五、撓曲線的特征：光滑連續(xù)曲線(1)FA＝0,FB＝0MCD＝const答案DABCD光滑連續(xù)曲線(2)撓曲線近似微分方程的近似性——忽略了“Fs”以及對(duì)變形的影響。

使用條件：彈性范圍內(nèi)工作的細(xì)長(zhǎng)梁。結(jié)論：撓曲線近似微分方程——

在所設(shè)的坐標(biāo)系內(nèi)（見圖）：x軸向右為正，y軸向下為正。在正彎矩作用下，梁是下凸的，在此情況下，；在負(fù)彎矩作用下，梁是上凸的，。

步驟：（EI為常量）1、根據(jù)荷載分段列出彎矩方程M（x）。2、根據(jù)彎矩方程列出撓曲線的近似微分方程并進(jìn)行積分。3、根據(jù)彎曲梁變形的邊界條件和連續(xù)條件確定積分常數(shù)。邊界條件：§7-3用積分法計(jì)算梁的變形FalAB連續(xù)條件：（1）固定支座處：撓度等于零、轉(zhuǎn)角等于零。（2）固定鉸支座和可動(dòng)鉸支座處：撓度等于零。（3）在彎矩方程分段處：一般情況下左、右的兩個(gè)截面撓度相等、轉(zhuǎn)角相等。4、確定撓曲線方程和轉(zhuǎn)角方程。5、計(jì)算任意截面的撓度、轉(zhuǎn)角；撓度的最大值、轉(zhuǎn)角的最大值。邊界條件：FalAB連續(xù)條件：思考題：列出圖示結(jié)構(gòu)的邊界條件和連續(xù)條件。邊界條件：連續(xù)條件：邊界條件：連續(xù)條件：例：求圖示懸臂梁自由端的撓度及轉(zhuǎn)角(EI=常數(shù)）。解：a)建立坐標(biāo)系并寫出彎矩方程b)寫出微分方程并積分c)應(yīng)用位移邊界條件求積分常數(shù)x=0,y=0;θ=0d)確定撓曲線、轉(zhuǎn)角方程e)自由端的撓度及轉(zhuǎn)角解：a)建立坐標(biāo)系并寫出

彎矩方程b)寫出微分方程并積分c)應(yīng)用位移邊界條件求積分常數(shù)x=0,y=0;x=L,y=0.

例：求分布載荷簡(jiǎn)支的最大撓度和最大轉(zhuǎn)角(EI=常數(shù)）xCql/2ql/2d)確定撓曲線和轉(zhuǎn)角方程e)最大撓度及最大轉(zhuǎn)角c)應(yīng)用位移邊界條件求積分常數(shù)x=0,y=0;x=L,y=0.

xCql/2ql/2解：a)建立坐標(biāo)系并寫出彎矩方程b)寫出微分方程并積分左側(cè)段（0≤x1≤a）：右側(cè)段（a≤x2≤L）：例：求圖示梁的跨中的撓度和轉(zhuǎn)角（EI=常數(shù)）

FlABC左側(cè)段右側(cè)段（a≤x2≤L）：c)應(yīng)用位移邊界條件和連續(xù)條件求積分常數(shù)x=0,y=0;x=L,y=0.

x1=x2

=a，y1=y2

；y'1

=y'2FlABCe)跨中點(diǎn)撓度及兩端端截面的轉(zhuǎn)角d)

確定撓曲線和轉(zhuǎn)角方程兩端支座處的轉(zhuǎn)角——FlABC討論：1、此梁的最大撓度和最大轉(zhuǎn)角。

左側(cè)段：

右側(cè)段：當(dāng)a＞b時(shí)——當(dāng)a＞b時(shí)——最大撓度發(fā)生在AC段最大撓度一定在左側(cè)段當(dāng)a＞b時(shí)——最大撓度發(fā)生在AC段梁跨中的撓度為：

2、a=b時(shí)此梁的最大撓度和最大轉(zhuǎn)角。FlABC

現(xiàn)在來討論跨中撓度和最大撓度之間的誤差。顯然，當(dāng)F作用點(diǎn)移至跨中時(shí)，最大撓度就是跨中撓度，其誤差為零。F作用點(diǎn)越靠近支座B，兩者的誤差就越大?，F(xiàn)考慮誤差最大時(shí)，即F作用點(diǎn)就在近支座B處，上面式中b→0。b2為高階小量，可忽略不計(jì)，兩式為：

FlABC

梁上有分布載荷，集中力與集中力偶。彎矩：彎矩的疊加原理----

梁在幾個(gè)載荷共同作用下的彎矩值，等于各載荷單獨(dú)作用下的彎矩的代數(shù)和?！?-4用疊加法計(jì)算梁的變形

一、疊加法計(jì)算梁的變形1）梁在簡(jiǎn)單載荷作用下?lián)隙?、轉(zhuǎn)角應(yīng)為已知或有變形表可查；

2）疊加法適用于求梁個(gè)別截面的撓度或轉(zhuǎn)角值。1、前提條件：彈性、小變形。2、疊加原理：各荷載同時(shí)作用下，梁任一截面的撓度或轉(zhuǎn)角，等于各荷載分別單獨(dú)作用下同一梁同一截面撓度或轉(zhuǎn)角的代數(shù)和。3、疊加法的特征：

例：疊加法求A截面的轉(zhuǎn)角和C截

面的撓度.解、a)載荷分解如圖b)由梁的簡(jiǎn)單載荷變形表，

查簡(jiǎn)單載荷引起的變形。FaABa=FaABa+aABac)疊加FaABa=FaABa+aABa例：求圖示梁C截面的撓度。解：1、載荷分解如圖2、查梁的簡(jiǎn)單載荷變形表3、疊加l/2ABl/2+l/2ABl/2=l/2ABl/2例：求圖示梁B截面的撓度（EI已知）。解：1)結(jié)構(gòu)分解如圖2)查梁的簡(jiǎn)單載荷變形表3)疊加ABla+ABqala=B例求圖示組合梁C截面的撓度和D截面的轉(zhuǎn)角。解：1）載荷分解及變形計(jì)算將原梁分解成如圖b,c所示。2）求C截面撓度3）求D截面轉(zhuǎn)角例懸臂梁ABC受力如圖所示。試用疊加法求解：1）載荷分解將原梁設(shè)想為由圖所示的b，c，d，e所組成。AB部分受均布載荷q及在B截面受到集中力

和集中力偶的作用，其剛度為2EI。BC部分可看作受均布載荷作用的懸臂梁，其剛度為EI。2）計(jì)算

4）計(jì)算3）計(jì)算

5）計(jì)算例：拐桿如圖，A處為一軸承，允許桿在軸承內(nèi)自由轉(zhuǎn)動(dòng)，但不能上下移動(dòng)，已知：E=210Gpa，G=0.4E，求B截面的垂直位移。分析：B點(diǎn)的垂直位移由：

AB段彎曲和CA桿扭轉(zhuǎn)而引起。FByB1FBACCMA=FLAByB2F例、用疊加法求圖示等截面直梁A、D、E（BC之中點(diǎn)）點(diǎn)的撓度。解：結(jié)構(gòu)和載荷分解如圖。

E（1）（2）Fq=F/aF（4）FDCa（3）FFaFq=F/a例:用疊加法求AB梁上E處的撓度.

解:1)分解2)位移計(jì)算a.B點(diǎn)位移b.E點(diǎn)位移二、梁的剛度條件

校核剛度：

設(shè)計(jì)截面尺寸三、剛度計(jì)算

確定外載荷在土建工程中，一般只對(duì)梁的撓度加以控制，控制范圍在內(nèi)。

在機(jī)械工程中，對(duì)撓度和轉(zhuǎn)角都要控制，撓度控制在：轉(zhuǎn)角控制在：其中[]稱為許用轉(zhuǎn)角；[δ/L]稱為許用撓跨比。

例懸臂梁AB受力如圖所示。材料的許用應(yīng)力，彈性模量E=210MPa，梁的許用撓度，試選工字鋼的型號(hào)。解（1）按強(qiáng)度條件選擇截面

所需的抗彎截面系數(shù)：選用20a號(hào)工字鋼，其幾何特性：

（2）剛度校核梁的最大撓度發(fā)生在自由端，其值為：

因?yàn)?，所以剛度不滿足要求。由得選用32a號(hào)工字鋼，其幾何特性為：因它均滿足強(qiáng)度條件和剛度條件，故選用32a號(hào)工字鋼。

F2ABCDF2ABCDF2Ba

CABL

a

CMF2ABCF1D=++=F2=2KNABL=400mma=0.1mCF1=1KND200mm例：下圖為一空心圓桿，內(nèi)外徑分別為：d=40mm、D=80mm，桿的E=210GPa，工程規(guī)定C點(diǎn)的[δ]=,B點(diǎn)的[]=0.001弧度,試校核此桿的剛度.利用疊加求復(fù)雜載荷下的變形=++圖1圖2圖3F1F2F2F2=2KNABL=400mma=0.1mCF1=1KND200mmABCD2BaCF2ABLaCM校核剛度剛度足夠

由梁在簡(jiǎn)單荷載作用下的變形表和前面的變形計(jì)算可看出：梁的撓度和轉(zhuǎn)角除了與梁的支座和荷載有關(guān)外還取決于下面三個(gè)因素：材料——梁的位移與材料的彈性模量

E成反比；截面——梁的位移與截面的慣性矩

I成反比；跨長(zhǎng)——梁的位移與跨長(zhǎng)

L的n次冪成正比。三、提高梁剛度的措施1、增大梁的抗彎剛度（EI）

2、調(diào)整跨長(zhǎng)和改變結(jié)構(gòu)

（同提高梁的強(qiáng)度的措施相同.）3、預(yù)加反彎度（預(yù)變形與受力時(shí)梁的變形方向相反，目的起到一定的抵消作用）

不同類的材料，“E”和“G”都相差很多（鋼E=200GPa,銅E=100GPa）,故可選用不同類的材料以達(dá)到提高剛度的目的。但是改換材料，其原料費(fèi)用也會(huì)隨之發(fā)生很大的改變！注意：

同類的材料，“E”值相差不多，“”相差較大，故換用同類材料只能提高強(qiáng)度，不能提高剛度。C由平衡方程可以解出全部未知數(shù)靜定問題平衡方程數(shù)=未知數(shù)?！?-5簡(jiǎn)單超靜定梁二個(gè)平衡方程，三個(gè)未知數(shù)。平衡方程數(shù)<未知數(shù)超靜定問題去掉多余約束而成為：

形式上的靜定結(jié)構(gòu)——基本靜定基=CCC靜定問題1、用多余約束反力代替多余約束（取靜定基，原則：便于計(jì)算）2、在多余約束處根據(jù)變形協(xié)調(diào)條件列出變形的幾何方程3、把物理?xiàng)l件代入幾何方程列出力的補(bǔ)充方程求出多余反力。

5、計(jì)算梁的內(nèi)力、應(yīng)力、強(qiáng)度、變形、剛度。解超靜定的步驟——(靜力、幾何、物理?xiàng)l件)4、根據(jù)靜力平衡條件，解出超靜定梁的其它所有支座反力。超靜定梁C靜定基=C例：求圖示梁的約束反力，并繪內(nèi)力圖。

解：一、解除多約束（B處支座）以多余約束RB來代替，基本靜定梁的受力形式見圖a所示。二、建立變形協(xié)調(diào)方程，求出多余約束反力。先將圖a受力形式分解成單獨(dú)荷載下的受力形式（圖b、c）。即：

①

變形協(xié)調(diào)方程為：其中：

①

代入①中得：

解出：

三、由靜力平衡方程解出其余的約束反力四、繪內(nèi)力圖

例圖示靜不定梁，等截面梁AC的抗彎剛度EI，拉桿BD的抗拉剛度EA，在F力作用下，試求BD桿的拉力和截面C的撓度。Fl/2l/2ABCDl1、選擇基本靜定梁。解：Fl/2l/2ABC2、列出變形協(xié)調(diào)條件。解得：3、在基本靜定梁上由疊加法求

。在F力單獨(dú)作用下：在力單獨(dú)作用下：Fl/2l/2ABC解得：在本例中，在F力作用下，拉桿BD伸長(zhǎng)，因而B處下移，B處下移的大小應(yīng)該等于拉桿的伸長(zhǎng)量，即例梁AB和BC在B處鉸接，A、C兩端固定，梁的抗彎剛度均為EI，F(xiàn)=40kN，q=20kN/m。畫梁的剪力圖和彎矩圖。從B處拆開，使超靜定結(jié)構(gòu)變成兩個(gè)懸臂梁。變形協(xié)調(diào)方程為：FBMAFAyB1FBMCFCyB2物理關(guān)系解FBFBMAFAMCFCyB1yB2代入得補(bǔ)充方程：確定A端約束力梁的抗彎剛度均為EI，F(xiàn)=40kN，q=20kN/m。FBF′BMAFAMCFCyB1yB2確定