第9講函數(shù)的概念及其表示1．理解函數(shù)的概念，了解構(gòu)成函數(shù)的三要素；2．能正確使用區(qū)間表示數(shù)集，會(huì)求簡(jiǎn)單函數(shù)的定義域、函數(shù)值和值域；3．掌握函數(shù)的三種表示法—解析法、圖象法、列表法；4．了解兩個(gè)函數(shù)相等的意義，會(huì)判斷給定兩個(gè)函數(shù)是否為同一個(gè)函數(shù)；5．會(huì)求函數(shù)的解析式，并正確畫(huà)出函數(shù)的圖象。一、函數(shù)的定義及概念概念1、函數(shù)的定義：設(shè)A，B是非空的實(shí)數(shù)集，如果對(duì)于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x，按照某種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f，在集合B中都有唯一確定的數(shù)y和它對(duì)應(yīng)，稱(chēng)f：A→B為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)，記作：y＝f(x)，x∈A【注意】函數(shù)的本質(zhì)含義：定義域內(nèi)的任意一個(gè)x值，必須有且僅有唯一的y值與之對(duì)應(yīng)。（1）特殊性：定義的集合A，B必須是兩個(gè)非空數(shù)集；（2）任意性：A中任意一個(gè)數(shù)都要考慮到；（3）唯一性：每一個(gè)自變量都在B中有唯一的值與之對(duì)應(yīng)；（4）方向性：A→B2、函數(shù)的有關(guān)概念（1）函數(shù)的定義域、值域：在函數(shù)y＝f(x)，x∈A中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對(duì)應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數(shù)的值域．（2）函數(shù)的三要素：定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系和值域．（3）函數(shù)的表示法：表示函數(shù)的常用方法有解析法、圖象法和列表法．3、函數(shù)的三要素的理解（1）定義域：使函數(shù)解析式有意義或使實(shí)際問(wèn)題有意義的的取值范圍；（2）對(duì)應(yīng)關(guān)系：是函數(shù)關(guān)系的本質(zhì)特征，是溝通定義域與值域的橋梁，在定義域確定的情況下，對(duì)應(yīng)關(guān)系控制著值域的形態(tài)，可以看作是對(duì)“”施加的某種運(yùn)算或法則。例如：，就是對(duì)自變量求平方。（3）值域：對(duì)應(yīng)關(guān)系對(duì)自變量在定義域內(nèi)取值時(shí)相應(yīng)的函數(shù)值的集合，其中，表示“是的函數(shù)”，指的是為在對(duì)應(yīng)關(guān)系下的對(duì)應(yīng)值。4、同一個(gè)函數(shù)：兩個(gè)函數(shù)定義域相同，并且對(duì)應(yīng)關(guān)系完全一致，則稱(chēng)這兩個(gè)函數(shù)為同一個(gè)函數(shù)。二、區(qū)間及相關(guān)概念1、一般區(qū)間的表示：設(shè)a，b是兩個(gè)實(shí)數(shù)，而且a<b，我們規(guī)定：這里的實(shí)數(shù)叫做區(qū)間的端點(diǎn).在用區(qū)間表示連續(xù)的數(shù)集時(shí)，包含端點(diǎn)的那一端用中括號(hào)表示，不包含端點(diǎn)的那一端用小括號(hào)表示.定義名稱(chēng)符號(hào)數(shù)軸表示閉區(qū)間開(kāi)區(qū)間半開(kāi)半閉區(qū)間半開(kāi)半閉區(qū)間2、實(shí)數(shù)集R可以用區(qū)間表示為(－∞，＋∞)，“∞”讀作“無(wú)窮大”，“－∞”讀作“負(fù)無(wú)窮大”，“＋∞”讀作“正無(wú)窮大”．3、特殊區(qū)間的表示定義符號(hào)數(shù)軸表示三、求函數(shù)的定義域的依據(jù)1、分式中分母不能為零；2、偶次方根的被開(kāi)方數(shù)的被開(kāi)方數(shù)必須大于等于零，即中；奇次方根的被開(kāi)方數(shù)取全體實(shí)數(shù)，即中，；3、零次冪的底數(shù)不能為零，即中；4、實(shí)際問(wèn)題中函數(shù)定義域要考慮實(shí)際意義；5、如果已知函數(shù)是由兩個(gè)以上數(shù)學(xué)式子的和、差、積、商的形式構(gòu)成，那么定義域是使各部分都有意義的公共部分的集合。四、函數(shù)的表示方法1、解析法：用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。2、列表法：列出表格來(lái)表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。3、圖像法：用圖象表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。五、分段函數(shù)1、定義：在函數(shù)定義域內(nèi)，對(duì)于自變量x的不同取值范圍，有著不同的對(duì)應(yīng)關(guān)系的函數(shù)．2、性質(zhì)：分段函數(shù)是一個(gè)函數(shù)，其定義域、值域分別是各段函數(shù)的定義域、值域的并集；各段函數(shù)的定義域的交集是空集．3、分段函數(shù)圖象的畫(huà)法（1）作分段函數(shù)圖象時(shí)，分別作出各段的圖象，在作每一段圖象時(shí)，先不管定義域的限制，作出其圖象，再保留定義域內(nèi)的一段圖象即可，作圖時(shí)要特別注意接點(diǎn)處點(diǎn)的虛實(shí)，保證不重不漏；（2）對(duì)含有絕對(duì)值的函數(shù)，要作出其圖象，首先應(yīng)根據(jù)絕對(duì)值的意義去掉絕對(duì)值符號(hào)，將函數(shù)轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)，然后作出函數(shù)的圖象。六、函數(shù)解析式的求法1、待定系數(shù)法：若已知函數(shù)的類(lèi)型（如一次函數(shù)、二次函數(shù)等），可用待定系數(shù)法．（1）確定所有函數(shù)問(wèn)題含待定系數(shù)的一般解析式；（2）根據(jù)恒等條件，列出一組含有待定系數(shù)的方程；（3）解方程或消去待定系數(shù)，從而使問(wèn)題得到解決。2、換元法：主要用于解決已知的解析式，求函數(shù)的解析式的問(wèn)題（1）先令，注意分析的取值范圍；（2）反解出x，即用含的代數(shù)式表示x；（3）將中的x度替換為的表示，可求得的解析式，從而求得。3、配湊法：由已知條件，可將改寫(xiě)成關(guān)于的表達(dá)式，然后以x替代g(x)，便得的解析式．4、方程組法：主要解決已知與、、……的方程，求解析式。例如：若條件是關(guān)于與的條件（或者與）的條件，可把代為（或者把代為）得到第二個(gè)式子，與原式聯(lián)立方程組，求出考點(diǎn)一：對(duì)函數(shù)概念的理解例1．下列變量間為函數(shù)關(guān)系的是（）A．勻速行駛的客車(chē)在2小時(shí)內(nèi)行駛的路程B．某地蔬菜的價(jià)格與蔬菜的供應(yīng)量的關(guān)系C．一只60瓦的白熾燈在7小時(shí)內(nèi)的耗電量與時(shí)間t的關(guān)系D．生活質(zhì)量與人的身體狀況間的關(guān)系【答案】C【解析】對(duì)選項(xiàng)A：勻速行駛的客車(chē)在2小時(shí)內(nèi)行駛的路程是常量，不滿(mǎn)足；對(duì)選項(xiàng)B：某地蔬菜的價(jià)格與蔬菜的供應(yīng)量的關(guān)系是依賴(lài)關(guān)系，不滿(mǎn)足；對(duì)選項(xiàng)C：耗電量與時(shí)間t的關(guān)系是，是確定的函數(shù)關(guān)系；對(duì)選項(xiàng)D：生活質(zhì)量與人的身體狀況間的關(guān)系是依賴(lài)關(guān)系，不滿(mǎn)足.故選：C【變式訓(xùn)練】下列圖象中，表示函數(shù)關(guān)系的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】根據(jù)函數(shù)的定義知，一個(gè)有唯一的對(duì)應(yīng)，由圖象可看出，只有選項(xiàng)D的圖象滿(mǎn)足.故選：D.考點(diǎn)二：區(qū)間概念的理解例2．用區(qū)間表示集合__________．【答案】【解析】集合用區(qū)間表示為.故答案為：【變式訓(xùn)練】（多選）下列集合不能用區(qū)間形式表示的是（）A．B．C．或D．【答案】ABD【解析】區(qū)間形式可以表示連續(xù)數(shù)集，是無(wú)限集A,D是自然數(shù)集的子集，都不能用區(qū)間形式表示，B選項(xiàng)，Q是有理數(shù)，數(shù)軸上大于1的有理數(shù)不是連續(xù)的，故只有C可以，區(qū)間形式為，故選：ABD.考點(diǎn)三：求具體函數(shù)的定義域例3．函數(shù)的定義域是（）A．B．C．D．或【答案】A【解析】的自變量需滿(mǎn)足，所以定義域?yàn)?，故選：A【變式訓(xùn)練】函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ〢．B．C．D．【答案】C【解析】要使函數(shù)有意義，則有，解得且，所以其定義域?yàn)椋蔬x：C.考點(diǎn)四：求抽象函數(shù)的定義域例4．已知函數(shù)的定義域?yàn)?，求函?shù)的定義域.【答案】【解析】∵函數(shù)的定義域?yàn)椤啵庵茫汗屎瘮?shù)的定義域?yàn)椋骸咀兪接?xùn)練】已知的定義域?yàn)?，求的定義域.【答案】【解析】令，，由二次函數(shù)的性質(zhì)可得，所以的定義域?yàn)?考點(diǎn)五：判斷兩個(gè)函數(shù)是否相等例5．下列各函數(shù)中，與函數(shù)表示同一函數(shù)的是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，故的定義域?yàn)?對(duì)于A，的定義域?yàn)椋医馕鍪脚c相同，故為同一個(gè)函數(shù)，對(duì)于B,，故不是同一個(gè)函數(shù)，對(duì)于C,的定義域?yàn)椋鴮?duì)定義域?yàn)椋x域不同，不是同一個(gè)函數(shù)，對(duì)于D,的定義域?yàn)?，而?duì)定義域?yàn)?，定義域不同，不是同一個(gè)函數(shù)，故選:A【變式訓(xùn)練】（多選）下列各組函數(shù)不是同一個(gè)函數(shù)的是（）A．與B．與C．與D．與【答案】ABD【解析】對(duì)于A，的定義域是，的定義域是R，定義域不同，故不是同一函數(shù)，A錯(cuò)；對(duì)于B，與的對(duì)應(yīng)關(guān)系不同，故不是同一函數(shù)，B錯(cuò)；對(duì)于C，經(jīng)過(guò)化簡(jiǎn)可知兩函數(shù)的解析式與定義域都一樣，所以為同一函數(shù)，C對(duì)；對(duì)于D，的定義域是，的定義域是，定義域不同，故不是同一函數(shù)，D錯(cuò).故選：ABD考點(diǎn)六：畫(huà)簡(jiǎn)單函數(shù)的圖象例6．作出下列函數(shù)的圖象.（1）y＝x＋2，|x|≤3；（2），x∈Z且|x|≤2.【答案】（1）圖象見(jiàn)解析；（2）圖象見(jiàn)解析【解析】（1）由題意，，函數(shù)的圖象如圖所示：（2）由題意，，函數(shù)的圖象如圖所示：【變式訓(xùn)練】作出函數(shù)的圖像．【答案】答案見(jiàn)解析【解析】因?yàn)樗院瘮?shù)的圖像如圖所示：考點(diǎn)七：求函數(shù)的解析式例7．已知一次函數(shù)滿(mǎn)足，則（）A．12B．13C．14D．15【答案】B【解析】設(shè)，則,因?yàn)?，所以，解得，所以?故選：B.【變式訓(xùn)練】（1）已知，求的解析式；（2）已知，求的解析式．【答案】（1）；（2）【解析】（1）令，則，故，所以；（2）由題設(shè)①，結(jié)合②，3×①②得：，故.考點(diǎn)八：求分段函數(shù)的函數(shù)值例8．設(shè)，則（）A．6B．7C．8D．9【答案】C【解析】由，可知.故選：C.【變式訓(xùn)練】已知函數(shù)，那么________．【答案】【解析】∵，∴，∴.故答案為：.考點(diǎn)九：求簡(jiǎn)單函數(shù)的值域例9．若函數(shù)的定義域是，則它的值域________．【答案】．【解析】∵函數(shù)是反比例函數(shù)，則時(shí)，，且，所以值域?yàn)椋蚀鸢笧椋海咀兪接?xùn)練】已知函數(shù)，則的值域?yàn)椋ǎ〢．B．C．D．【答案】B【解析】，，故，故函數(shù)值域?yàn)?故選：B1．下列各函數(shù)圖象中，不可能是函數(shù)的圖象的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】對(duì)于ABD選項(xiàng)，對(duì)于每個(gè)都有唯一對(duì)應(yīng)的與之對(duì)應(yīng)，ABD選項(xiàng)中的圖象均為函數(shù)的圖象；對(duì)于C選項(xiàng)，存在，使得這個(gè)有兩個(gè)與之對(duì)應(yīng)，C選項(xiàng)中的圖象不是函數(shù)的圖象.故選：C.2．區(qū)間等于（）A．B．C．D．【答案】C【解析】區(qū)間表示由的實(shí)數(shù)組成的集合.故選：C3．函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ〢．B．C．D．【答案】B【解析】由由意義可得，，所以且，所以函數(shù)的定義域?yàn)?，故選：B.4．若函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ〢．B．C．D．【答案】C【解析】因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)椋瑢?duì)于函數(shù)，則，解得，即函數(shù)的定義域?yàn)?故選：C5．已知集合是實(shí)數(shù)集的子集，定義，若集合，則（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由題知，在上圖象隨著x的增大，y減小，所以，的對(duì)稱(chēng)軸為軸，因?yàn)椋?，所以，故選：B.6．下列函數(shù)中，是同一函數(shù)的是（）A．與B．與C．與D．與【答案】C【解析】選項(xiàng)A中，函數(shù)的定義域是，函數(shù)的定義域是，不是同一函數(shù)；選項(xiàng)B中，函數(shù)的定義域是，函數(shù)的定義域是，不是同一函數(shù)；選項(xiàng)C中，兩個(gè)函數(shù)定義域都是，對(duì)應(yīng)法則也相同，是同一函數(shù)；選項(xiàng)D中，兩者對(duì)應(yīng)法則不相同，前者對(duì)應(yīng)自變量直接平方，后者對(duì)應(yīng)自變量減去1后的平方，不是同一函數(shù)．故選：C．7．若函數(shù)，且，則實(shí)數(shù)的值為（）A．或B．或3C．D．3【答案】B【解析】令，則，可得：，即，∵，∴.故選：B.8．已知函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系如下表，則（）x01232130320A．0B．2C．D．1【答案】B【解析】，．故選：B．9．（多選）下列對(duì)應(yīng)關(guān)系中不是到的函數(shù)的是（）A．B．C．D．【答案】ACD【解析】A，可化為，顯然對(duì)任意(除外)，y值不唯一，不符合函數(shù)的概念，故A滿(mǎn)足題意；B，符合函數(shù)的定義，故B不合題意；C，，在此時(shí)對(duì)應(yīng)關(guān)系無(wú)意義，不符合函數(shù)的定義，故C滿(mǎn)足題意；D，，此時(shí)，不符合函數(shù)的定義，故D滿(mǎn)足題意.故選：ACD.10．若的定義域?yàn)?，則的定義域?yàn)開(kāi)_____．【答案】【解析】由的定義域?yàn)?，令，解得，所以的定義域?yàn)?故答案為：.11．函數(shù)的值域?yàn)開(kāi)_________________【答案】【解析】因?yàn)槎魏瘮?shù)的對(duì)稱(chēng)軸為，所以當(dāng)時(shí)因?yàn)楫?dāng)時(shí)，時(shí)，即，所以值域?yàn)楣蚀鸢笧椋?2．已知，求_______．【答案】0【解析】，.故答案為：0.13．（1）已知是一次函數(shù)，且滿(mǎn)足，求的解析式．（2）若對(duì)任意實(shí)數(shù)x，均有，求的解析式．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）因?yàn)槭且淮魏瘮?shù)，所以設(shè)，，又因?yàn)?，所以，整理得，故，解得，所?（2）因?yàn)棰?，所以②，由①②得：，解得?14．已知函數(shù).（1）求，的值；（2）作出函數(shù)的簡(jiǎn)圖；（3）由簡(jiǎn)圖指出函數(shù)的值域；【答案】（1），；（2）函數(shù)的簡(jiǎn)圖見(jiàn)解析；（3）【解析】（1）由，∴，.（2）簡(jiǎn)圖如圖所示：（3）簡(jiǎn)圖可知函數(shù)的值域?yàn)?．下列各組函數(shù)表示相同函數(shù)的是（）A．和B．和C．和D．和【答案】C【解析】對(duì)于A中，函數(shù)的定義域?yàn)?，函?shù)的定義域?yàn)?，兩個(gè)函數(shù)的定義域不同，所以表示不同的函數(shù)；對(duì)于B中，函數(shù)的定義域?yàn)?，函?shù)的定義域?yàn)?，兩個(gè)函數(shù)的定義域不同，所以表示不同的函數(shù)；對(duì)于C中，函數(shù)與的定義域和對(duì)應(yīng)法則都相同，所以表示相同的函數(shù)；對(duì)于D中，函數(shù)的定義域?yàn)?，函?shù)的定義域?yàn)?，兩個(gè)函數(shù)的定義域不同，所以表示不同的函數(shù).故選：C2．函數(shù)的定義域是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由題，，解得.故選：D.3．已知的定義域?yàn)椋瑒t的定義域?yàn)椋ǎ〢．B．C．D．【答案】C【解析】因?yàn)榈亩x域?yàn)?，所以，所以，所以的定義域?yàn)椋蔬x：C4．已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則其值域?yàn)椋ǎ〢．B．C．D．【答案】A【解析】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故值域?yàn)?故選：A5．下列函數(shù)中，值域?yàn)榈氖牵ǎ〢．B．C．D．【答案】B【解析】對(duì)于A，，則其值域?yàn)?，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，則其值域?yàn)?，B正確；對(duì)于C，，則其值域?yàn)?，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，則其值域?yàn)?，D錯(cuò)誤.故選：B.6．函數(shù)，則等于（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因?yàn)?，則，故.故選：D.7．（多選）下列是函數(shù)圖象的是（）A．B．C．D．【答案】ABD【解析】根據(jù)函數(shù)的定義可知，定義域內(nèi)的每一個(gè)只有一個(gè)和它對(duì)應(yīng)，因此不能出現(xiàn)一對(duì)多的情況，所以C不是函數(shù)圖象，ABD是函數(shù)圖象.故選：ABD.8