§2.4

連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度-￥1.定義

:

對于r.v.X的分布函數(shù)F(x),

存在非負(fù)函數(shù)f(x),

使對于任意的實(shí)數(shù)

x,

有xf(t)dtF(x)

=

則稱X為連續(xù)型隨機(jī)變量,f(x)稱為X的概率密度函數(shù),簡稱概率密度.連續(xù)型r.v.的分布函數(shù)是連續(xù)函數(shù),這種r.v.的取值是充滿某個(gè)區(qū)間的.x1=f

(x)dx,

(x1

￡

x2

)(3)

P{x1

<

X

￡

x2

}

=

F

(x2

)

-

F

(x1

)x22.概率密度f(x)的性質(zhì):(1) f(x)

?

0.(2)+￥-￥f(x)dx

=

1

.(4)

若f(x)在點(diǎn)x處連續(xù),則有F

(x)

=f(x).x

￡

0,ke-3

x

, x

>

0,例1.

設(shè)隨機(jī)變量

X具有概率密度

f

(x)

=

0,解:由試確定常數(shù)

k

,

并求P{

X

>

0.1}.+￥-￥f(x)dx

=1可確定常數(shù)k,+￥0-3x即x

￡

0.=

0,3e-3x

,

x

>

0,則

f

(x)P{X

>

0.1}+￥=0.1-3x3e dx

=e

=

0.7408.-0.3k

e

dx=k/3

=

1,3.

關(guān)于連續(xù)型r.v.的一個(gè)重要結(jié)論:定理:

設(shè)X為連續(xù)型r.v.它取任一指定的實(shí)數(shù)值a的概率均為0.

即P{X=a}=0.x2

11f

(x)dx,

(x1

￡

x2

))

-

F

(x )

==

F

(x從而有P{x1

<

X

￡

x2}

=

P{x1

￡

X

<

x2}=

P{x1

<

X

<

x2}

=

P{x1

￡

X

￡

x2}x

24.幾個(gè)常用的連續(xù)型r.v.分布

(一)均勻分布:設(shè)隨機(jī)變量X在區(qū)間[a,b]上取值,且概率密度為:01其它.a

<

x

<

b,f

(x)

=

b

-

a則稱隨機(jī)變量X在(a,b)上服從均勻分布,記作X~U(a,b).若X

~

U

(a,

b),則對于a

￡

c

<

c

+

d

￡

b,

有P{c

<

X

￡

c

+

d}=c+dcdx

1

b

-

a,

d

b

-

a=此概率與子區(qū)間長度成正比,而與子區(qū)間的起點(diǎn)無關(guān),這也是均勻分布的由來.12ps2s

2分布函數(shù)為:0, x

<

a,F(x)

=

(x

-

a) (b

-

a), a

￡

x

<

b,1, x

?

b.(二)

正態(tài)分布:(1)設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為其中m,s

(s

>

0)為常數(shù),則稱X服從參數(shù)為m,s的正態(tài)分布,

記作X

~

N

(m,s

2

).e

,-￥

<

x

<

+￥

,f(x)

=(

x-m

)2-(2)其圖像為:(改變m的值,曲線向左或向右平移,形狀不變)m

位置參數(shù),f

(x)的圖形關(guān)于x

=m對稱,s

形狀參數(shù).(影響f

(x)的曲線的最大值及圖形的形狀)s

越小,圖形"高而瘦",s

越大,圖形"矮而胖".2ps1max

f

(x)

=

f

(m

)

=x性質(zhì):曲線關(guān)于x

=m對稱,這表明對"h

>0有P{m

-

h

<

X

￡

m}

=

P{m

<

X

￡

m

+

h}.在(-￥

,m

)中,f

(x)單調(diào)上升,曲線的拐點(diǎn):x

=m

–s在(m,+￥

)中,

f

(

x)單調(diào)下降.

曲線的漸近線

:

y

=

0(3)

標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布:當(dāng)m

=

0,

s

=

1時(shí),

稱X

服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布

,記X

~

N

(0,1).其中F

(-x)=1

-F

(x),F

(0)=0.5.F

(x)即標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù),其表已列出供查用.-

￥-x

-2,1t

2x

2e

dte

22p

1

2pj

(

x)

=分布函數(shù)

F

(x)

=密度函數(shù)證明:s引理:

若X

~

N(m,

s

2

),則Z

=

X

-

m

~

N(0,1).sZ

=X-m

的分布函數(shù)為P{Z

￡

x}

=

P{

X

-

m

￡

x}

=

P{X

￡

m

+

sx}es

1

2ps=m+sx-￥2s

2(t-m)2-dt (令t

-m

=u)se

du2u2-￥x

-

1

2p==

F

(x),可知Z

=

X

-m

~

N

(0,1).s對于任意區(qū)間(x1

,x

2

],有于是若X

~

N(m,s

2

),它的分布函數(shù)F(x)可寫成:

ssF(x)

=

P{X

￡

x}

=

P

X

-

m

￡

x

-

m

s=

F

x

-

m

.P{x

1

<

X

￡

x

2}￡<sss21x

-

m

X

-

m

x

-

m=

P-

F

=

Fss12x

-

mx

-

m例如,設(shè)X

~

N(1,4),則P{0

<

X

￡

1.6}

2

2=

F

1.6

-

1

-

F

0

-

1

=

F

(0.3)

-

F

(-0.5)=

0.6179

-[1

-

F

(0.5)]=

0.6179

-

1

+

0.6915

=

0.3094.例如,設(shè)X

~

N

(3,9),則m

=

s

=

3

3

3P{2

<

X

<

5}

=

F

5

-

3

-

F

2

-

3

=

0.3779.

3P{

X

>

0}

=

1

-

P{

X

￡

0}

=

1

-

F

0

-

3

=

0.8413.例4:

若X~N(m,s2),則X

落入?yún)^(qū)間:[m-s,m+s],[m-2s,m+2s],[m-3s,m+3s]的概率為多少?P{m-s≤X≤m+s}=F(m+s)-F(m-s)

s

s=

F

m

+

s

-

m

-

F

m

-s

-

m

=

F

(1)-

F

(-1)=0.6826.P{m-2s≤X≤m+2s}=0.9544.P{m-3s≤X≤m+3s}=0.997.由上三式可知,服從正態(tài)分布N(m,s2),的r.v.X之值基本上落入[m-2s,m+2s]之內(nèi),幾乎全

部落入[m-3s,m+3s]內(nèi).這稱為3s規(guī)則。zaaj(x)0小知識:標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上a分位點(diǎn):設(shè)X

~

N(0,1),若za

滿足條件P{X

>

z }

=

a, 0

<

a

<

1,a則稱點(diǎn)z

a

為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上a分位點(diǎn),由查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)表可知z0.025z0.0

=1.645,

=1.965(

∵F

(x)=P(X≤x)

)(三)指數(shù)分布:1.

定義:

如果連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度為:0,

1l

>0為常數(shù)

lle

,

x

?

0,x

<

0,f

(