2022-2023學(xué)年河南省洛陽市第四十八中學(xué)高二數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有是一個符合題目要求的1.在橢圓中，分別是其左右焦點(diǎn)，若橢圓上存在一點(diǎn)，使得，則該橢圓離心率的取值范圍是（

）A.

B.

C.

D.參考答案：B2.用數(shù)學(xué)歸納法證明“”時，由n=k的假設(shè)證明n=k+1時，如果從等式左邊證明右邊，則必須證得右邊為（）A． B．C． D．參考答案：D【考點(diǎn)】數(shù)學(xué)歸納法．【分析】當(dāng)n=k+1時，右邊=，由此可得結(jié)論．【解答】解：由所證明的等式，當(dāng)n=k+1時，右邊==故選D．3.若，則k=A.1

B.0

C.0或1

D.以上都不對參考答案：C略4.數(shù)列的首項(xiàng)為3，為等差數(shù)列，且，若，，則（

）A．0

B．3

C．8

D．11參考答案：B5.設(shè)｛an｝為等差數(shù)列，且，則（

）（A）5

（B）6（C）-2

（D）2參考答案：A6.對“a,b,c是不全相等的正數(shù)”，給出兩個判斷：①；②不能同時成立，下列說法正確的是（

）

A．①對②錯

B．①錯②對

C．①對②對

D．①錯②錯參考答案：A7.某班共有52人，現(xiàn)根據(jù)學(xué)生的學(xué)號，用系統(tǒng)抽樣的方法，抽取一個容量為4的樣本，已知3號、29號、42號同學(xué)在樣本中，那么樣本中還有一個同學(xué)的學(xué)號是(

)（A）10

（B）11

（C）12

（D）16參考答案：D略8.一枚硬幣連擲5次，則至少一次正面向上的概率為A.

B.

C.

D.參考答案：B9.復(fù)數(shù)z=+2i對應(yīng)的點(diǎn)在（）A．第一象限內(nèi) B．實(shí)軸上 C．虛軸上 D．第四象限內(nèi)參考答案：A【考點(diǎn)】A4：復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義．【分析】由復(fù)數(shù)z=+2i對應(yīng)的點(diǎn)（，2）即可得出結(jié)論．【解答】解：復(fù)數(shù)z=+2i對應(yīng)的點(diǎn)（，2）在第一象限．故選：A．10.中國詩詞大會的播出引發(fā)了全民的讀書熱，某中學(xué)語文老師在班里開展了一次詩歌默寫比賽，班里40名學(xué)生得分?jǐn)?shù)據(jù)的莖葉圖如圖所示.若規(guī)定得分不小于85分的學(xué)生得到“詩詞達(dá)人”的稱號，小于85分且不小于70分的學(xué)生得到“詩詞能手”的稱號，其他學(xué)生得到“詩詞愛好者”的稱號，根據(jù)該次比賽的成績按照稱號的不同進(jìn)行分層抽樣抽選10名學(xué)生，則抽選的學(xué)生中獲得“詩詞能手”稱號的人數(shù)為（

）A．2

B．4

C．5

D．6參考答案：B由題得：詩詞達(dá)人有8人，詩詞能手有16人，詩詞愛好者有16人，分層抽樣抽選10名學(xué)生，所以詩詞能手有人

二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.（理）的展開式中，系數(shù)是有理數(shù)的項(xiàng)共有項(xiàng).參考答案：4

略12.三個平面兩兩垂直，它們的交線交于一點(diǎn)O，P到三

個面的距離分別為3、4、5，則OP的長為_____

.參考答案：5.解析：13.復(fù)數(shù)的模為

▲

.參考答案：114.在△ABC中，若a=1,b=2,C=120°，則c=_________參考答案：

15.定義在（0，+∞）上的單調(diào)函數(shù)f（x），對任意x∈（0，+∞），f[f（x）﹣log2x]=3成立，若方程f（x）﹣f'（x）=2的解在區(qū)間（k，k+1）（k∈Z）內(nèi)，則k=

．參考答案：1【考點(diǎn)】函數(shù)零點(diǎn)的判定定理；函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用．【分析】設(shè)t=f（x）﹣log2x，則f（x）=log2x+t，又由f（t）=3，即log2t+t=3，解可得t的值，可得f（x）的解析式，由二分法分析可得h（x）的零點(diǎn)所在的區(qū)間為（1，2），結(jié)合函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根的關(guān)系，即可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，對任意的x∈（0，+∞），都有f[f（x）﹣log2x]=3，又由f（x）是定義在（0，+∞）上的單調(diào)函數(shù)，則f（x）﹣log2x為定值，設(shè)t=f（x）﹣log2x，則f（x）=log2x+t，又由f（t）=3，即log2t+t=3，解可得，t=2；則f（x）=log2x+2，f′（x）=，將f（x）=log2x+2，f′（x）=代入f（x）﹣f′（x）=2，可得log2x+2﹣=2，即log2x﹣=0，令h（x）=log2x﹣，分析易得h（1）=＜0，h（2）=1﹣＞0，則h（x）=log2x﹣的零點(diǎn)在（1，2）之間，則方程log2x﹣=0，即f（x）﹣f′（x）=2的根在（1，2）上，故答案為：1．16.若數(shù)列的前項(xiàng)和，且，則

．參考答案：17.已知曲線，其中；過定點(diǎn)

參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本題12分）已知橢圓的右焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，點(diǎn)是與在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)，且。（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)拋物線的準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn)，過任作一條直線，與橢圓的兩個交點(diǎn)記為。問：在橢圓的長軸上是否存在一點(diǎn)，使為定值？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)及相應(yīng)的定值；若不存在，請說明理由。參考答案：（1）由拋物線的定義的，得：，代入拋物線方程的。將此點(diǎn)代入橢圓方程，又橢圓的半焦距，解得橢圓的方程為：。（2）易知，假設(shè)存在點(diǎn)滿足要求。當(dāng)直線的斜率不存在時，易求得兩交點(diǎn)為，此時；當(dāng)直線的斜率為時，易求得兩交點(diǎn)為，此時。由解得。下面證明符合要求。當(dāng)直線的斜率為時，如前所述。當(dāng)直線的斜率不為時，設(shè)的方程為得，由得，Ks5u。設(shè)，則。此時故存在點(diǎn)符合要求，對應(yīng)的定值為。19.為了了解我市特色學(xué)校的發(fā)展?fàn)顩r，某調(diào)查機(jī)構(gòu)得到如下統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：年份x20142015201620172018特色學(xué)校y（百個）0.300.601.001.401.70

（Ⅰ）根據(jù)上表數(shù)據(jù)，計(jì)算y與x的相關(guān)系數(shù)r，并說明y與x的線性相關(guān)性強(qiáng)弱（已知：，則認(rèn)為y與x線性相關(guān)性很強(qiáng)；，則認(rèn)為y與x線性相關(guān)性一般；，則認(rèn)為y與x線性相關(guān)性較弱）；（Ⅱ）求y關(guān)于x的線性回歸方程，并預(yù)測我市2019年特色學(xué)校的個數(shù)（精確到個）．參考公式：，，，，，．參考答案：（I）相關(guān)性很強(qiáng)；（II），208個.【分析】（Ⅰ）求得，，利用求出的值，與臨界值比較即可得結(jié)論；（Ⅱ）結(jié)合（Ⅰ）根據(jù)所給的數(shù)據(jù)，利用公式求出線性回歸方程的系數(shù),再根據(jù)樣本中心點(diǎn)一定在線性回歸方程上，求出的值，寫出線性回歸方程；代入線性回歸方程求出對應(yīng)的的值，可預(yù)測地區(qū)2019年足球特色學(xué)校的個數(shù).【詳解】（Ⅰ），，，∴與線性相關(guān)性很強(qiáng).（Ⅱ），，∴關(guān)于的線性回歸方程是.當(dāng)時，（百個），即地區(qū)2019年足球特色學(xué)校的個數(shù)為208個.【點(diǎn)睛】本題主要考查線性回歸方程的求解與應(yīng)用，屬于中檔題.求回歸直線方程的步驟：①依據(jù)樣本數(shù)據(jù)確定兩個變量具有線性相關(guān)關(guān)系；②求得公式中所需數(shù)據(jù)；③計(jì)算回歸系數(shù)；④寫出回歸直線方程為；回歸直線過樣本點(diǎn)中心是一條重要性質(zhì)，利用線性回歸方程可以估計(jì)總體，幫助我們分析兩個變量的變化趨勢.20.(本小題滿分14分)已知，i是虛數(shù)單位.(1)若z為純虛數(shù)，求a的值；(2)若復(fù)數(shù)z在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.參考答案：解：（1），………………2分因?yàn)闉榧兲摂?shù)，所以，且，解得或；……6分（2）在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，當(dāng)且僅當(dāng)：，

…………10分解得：，…………13分所以的取值范圍是.…………14分

21.為了調(diào)查甲、乙兩個網(wǎng)站受歡迎的程度，隨機(jī)選取了14天，統(tǒng)計(jì)上午8：00—10：00間各自的點(diǎn)擊量，得如下所示的統(tǒng)計(jì)圖，根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖：⑴甲、乙兩個網(wǎng)站點(diǎn)擊量的極差分別是多少？⑵甲網(wǎng)站點(diǎn)擊量在[10，40]間的頻率是多少？乙網(wǎng)站點(diǎn)擊量的眾數(shù)是多少？⑶甲、乙兩個網(wǎng)站哪個更受歡迎？并說明理由。參考答案：解：（1）甲網(wǎng)站的極差為：73-8=65；

乙網(wǎng)站的極差為：71-5=66

（2）甲網(wǎng)站點(diǎn)擊量在[10，40]間的頻率為4/14=2/7=0.28571

乙網(wǎng)站點(diǎn)擊量的眾數(shù)是42.

(3)甲網(wǎng)站的點(diǎn)擊量集中在莖葉圖的下方，而乙網(wǎng)站的點(diǎn)擊量集中在莖葉圖的上方，所以甲網(wǎng)站更受歡迎。略22.（本小題滿分12分）已知拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，拋物線上的點(diǎn)到的距離為2，且的橫坐標(biāo)為1.直線與拋物線交于，兩點(diǎn)．（1）求拋物線的方程；（2）當(dāng)直線，的傾斜角之和為時，證明直線過定點(diǎn)．參考答案：（1）設(shè)拋物線方程為由拋物線的定義知，又…………

2分所以，所以