高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)第3課時(shí)一元二次不等式及其解法文-A3演示文稿設(shè)計(jì)與制作第3課時(shí)一元二次不等式及其解法考點(diǎn)探究·挑戰(zhàn)高考考向瞭望·把脈高考雙基研習(xí)·面對(duì)高考第3課時(shí)雙基研習(xí)·面對(duì)高考1．一元二次不等式與相應(yīng)的二次函數(shù)及一元二次方程的關(guān)系如下表：判別式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a>0)的圖象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有兩相異實(shí)根x1，x2(x1<x2)有兩相等實(shí)根x1＝x2＝－沒有實(shí)數(shù)根基礎(chǔ)梳理ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集______________________________ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集_______________{x|x<x1或x>x2}{x|x≠x1}{x|x∈R}{x|x1<x<x2}??思考感悟當(dāng)a<0時(shí)，ax2＋bx＋c>0與ax2＋bx＋c<0的解集如何？提示：當(dāng)a<0時(shí)，可利用不等式的性質(zhì)將二次項(xiàng)系數(shù)化為正數(shù)，注意不等號(hào)的變化，而后求得方程兩根，再利用“大于號(hào)取兩邊，小于號(hào)取中間”求解．2．用程序框圖來描述一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的求解的算法過程為：1．若集合A＝{x|(2x＋1)(x－3)<0}，B＝{x∈N*|x≤5}，則A∩B是(

)A．{1,2,3}

B．{1,2}C．{4,5} D．{1,2,3,4,5}答案：B課前熱身答案：C3．若a<0，則關(guān)于x的不等式x2－4ax－5a2>0的解是(

)A．x>5a或x<－a B．x>－a或x<5aC．5a<x<－a D．－a<x<5a答案：B4．(教材習(xí)題改編)已知函數(shù)f(x)＝－3x2＋5x－2，則使函數(shù)值大于0的x的取值范圍是________．5．已知(ax－1)(x－1)>0的解集是{x|x<1或x>2}，則實(shí)數(shù)a的值為________．考點(diǎn)探究·挑戰(zhàn)高考一元二次不等式的解法考點(diǎn)一考點(diǎn)突破解一元二次不等式的一般步驟(1)對(duì)不等式變形，使一端為0且二次項(xiàng)系數(shù)大于0，即ax2＋bx＋c>0(a>0)，ax2＋bx＋c<0(a>0)．(2)計(jì)算相應(yīng)的判別式．(3)當(dāng)Δ≥0時(shí)，求出相應(yīng)的一元二次方程的根．(4)根據(jù)對(duì)應(yīng)二次函數(shù)的圖象，寫出不等式的解集．例1

解下列不等式．(1)2x2＋4x＋3>0；(2)－3x2－2x＋8≥0；(3)12x2－ax>a2(a∈R)．【思路分析】

首先將二次項(xiàng)系數(shù)轉(zhuǎn)化為正數(shù)，再看二次三項(xiàng)式能否因式分解，若能，則可得方程的兩根，大于號(hào)取兩邊，小于號(hào)取中間；若不能，則再看“Δ”，利用求根公式求解方程的根，而后寫出解集，(3)小題中對(duì)a要分類討論．【解】

(1)

∵Δ＝42－4×2×3<0，∴方程2x2＋4x＋3＝0沒有實(shí)根，二次函數(shù)y＝2x2＋4x＋3的圖象開口向上，與x軸沒有交點(diǎn)，即2x2＋4x＋3>0恒成立，所以不等式2x2＋4x＋3>0的解集為R.(2)原不等式可化為3x2＋2x－8≤0，∵Δ＝100>0，【規(guī)律方法】解含參數(shù)的一元二次不等式的步驟：(1)二次項(xiàng)若含有參數(shù)應(yīng)討論是等于0，小于0，還是大于0，然后將不等式轉(zhuǎn)化為二次項(xiàng)系數(shù)為正的形式．(2)判斷方程的根的個(gè)數(shù)，討論判別式Δ與0的關(guān)系．(3)確定無根時(shí)可直接寫出解集，確定方程有兩個(gè)根時(shí)，要討論兩根的大小關(guān)系，從而確定解集形式．互動(dòng)探究本例中(3)若變?yōu)閍x2－(2a＋1)x＋2<0，試解該不等式．一元二次不等式恒成立問題考點(diǎn)二(1)解決恒成立問題一定要搞清誰是自變量，誰是參數(shù)，一般地，知道誰的范圍，誰就是變量，求誰的范圍，誰就是參數(shù)．(2)對(duì)于二次不等式恒成立問題，恒大于0就是相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象在給定的區(qū)間上全部在x軸上方，恒小于0就是相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象在給定的區(qū)間上全部在x軸下方．例2

設(shè)函數(shù)f(x)＝mx2－mx－1.(1)若對(duì)于一切實(shí)數(shù)x，f(x)<0恒成立，求m的取值范圍；(2)若對(duì)于x∈[1,3]，f(x)<－m＋5恒成立，求m的取值范圍．【思路分析】

本題(1)可討論m的取值，利用判別式來解決．對(duì)于(2)含參數(shù)的一元二次不等式在某區(qū)間內(nèi)恒成立問題，常有兩種處理方法：法一是利用二次函數(shù)區(qū)間上的最值來處理．法二是先分離出參數(shù)，再去求函數(shù)的最值來處理，一般法二比較簡(jiǎn)單．【誤區(qū)警示】本題中易出現(xiàn)漏“m＝0”的情況，原因是對(duì)于二次項(xiàng)系數(shù)為參數(shù)的函數(shù)直覺上認(rèn)定其為二次函數(shù)．一元二次不等式的實(shí)際應(yīng)用考點(diǎn)三實(shí)際應(yīng)用問題是新課標(biāo)中考查的重點(diǎn)，突出了對(duì)應(yīng)用能力的考查，在不等式應(yīng)用題中常以函數(shù)模型出現(xiàn)．解題時(shí)要理清題意，準(zhǔn)確找出其中的不等關(guān)系再利用不等式的解法求解．例3

某產(chǎn)品按質(zhì)量可分成6種不同的檔次，若工時(shí)不變，每天可生產(chǎn)最低檔次的產(chǎn)品40件，如果每提高一個(gè)檔次，每件利潤(rùn)可增加1元，但每天要少生產(chǎn)2件產(chǎn)品．(1)若最低檔次的產(chǎn)品每件利潤(rùn)為16元，則生產(chǎn)哪種檔次的產(chǎn)品所得到的利潤(rùn)最大？(2)若最低檔次的產(chǎn)品每件利潤(rùn)為22元，則生產(chǎn)哪種檔次的產(chǎn)品所得到的利潤(rùn)最大？【思路分析】生產(chǎn)第x檔次產(chǎn)品時(shí)，產(chǎn)品的利潤(rùn)＝生產(chǎn)數(shù)量×每件利潤(rùn)，表示出產(chǎn)品利潤(rùn)后求利潤(rùn)最大時(shí)對(duì)應(yīng)的x值．【解】

(1)設(shè)生產(chǎn)第x檔次產(chǎn)品時(shí)，所獲利潤(rùn)最大，則生產(chǎn)第x檔次產(chǎn)品時(shí)，每件利潤(rùn)為16＋(x－1)×1(元)，生產(chǎn)第x檔次產(chǎn)品時(shí)，每天生產(chǎn)[40－2(x－1)]件，所以生產(chǎn)第x檔次產(chǎn)品時(shí)，每天所獲利潤(rùn)為：y＝[40－2(x－1)][16＋(x－1)]＝－2(x－3)2＋648(元)．當(dāng)x＝3時(shí)，y最大，即生產(chǎn)第三檔次產(chǎn)品利潤(rùn)最大．(2)若最低檔次產(chǎn)品每件利潤(rùn)為22元，則生產(chǎn)第x檔次產(chǎn)品時(shí)，每天所獲利潤(rùn)為：y＝[40－2(x－1)][22＋(x－1)]＝－2x2＋882.因?yàn)閤[1,6]，且xN，所以當(dāng)x＝1時(shí)，y最大，即生產(chǎn)第一檔次產(chǎn)品利潤(rùn)最大．【規(guī)律方法】

不等式應(yīng)用題一般可按如下四步進(jìn)行：(1)認(rèn)真審題、把握關(guān)鍵量，找準(zhǔn)不等關(guān)系；(2)引進(jìn)數(shù)學(xué)符號(hào)，用不等式表示不等關(guān)系；(3)解不等式；(4)回歸實(shí)際問題．方法感悟方法技巧1．解一元二次不等式時(shí)，首先要將一元二次不等式化成標(biāo)準(zhǔn)型，即ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0的形式，其中a>0.(如例1(2))．2．一元二次不等式ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0(其中a>0)與一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的關(guān)系．(1)知道一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根可以寫出對(duì)應(yīng)不等式的解集；(2)知道一元二次不等式ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0的解集也可以寫出對(duì)應(yīng)方程的根．3．?dāng)?shù)形結(jié)合：利用二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象可以一目了然地寫出一元二次不等式ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0的解集．失誤防范1．一元二次不等式的界定．對(duì)于貌似一元二次不等式的形式要認(rèn)真鑒別．如：解不等式(x－a)(ax－1)>0，如果a＝0它實(shí)際上是一個(gè)一元一次不等式；只有當(dāng)a≠0時(shí)它才是一個(gè)一元二次不等式．2．當(dāng)判別式Δ<0時(shí)，ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集為R；ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集為?.二者不要混為一談．考向瞭望·把脈高考考情分析從近幾年高考試題分析，不等式的解法是每年高考的必考內(nèi)容，特別是一元二次不等式，它與一元二次方程、二次函數(shù)相聯(lián)系，三者構(gòu)成一個(gè)統(tǒng)一的整體，貫穿于高中數(shù)學(xué)的始終．解不等式的題目，有時(shí)會(huì)單獨(dú)出現(xiàn)在選擇題或填空題中，以求定義域或考查集合間關(guān)系或直接求解不等式的形式出現(xiàn)，難度不大，屬于中低檔題，有時(shí)會(huì)與函數(shù)、三角、解析幾何、向量等知識(shí)相交匯，作為解題工具出現(xiàn)在解答題中．預(yù)測(cè)2012年高考，不等式仍將與其他知識(shí)交匯進(jìn)行考查，重點(diǎn)考查學(xué)生的計(jì)算能力．真題透析例 (2009年高考山東卷)在R上定義運(yùn)算⊙：a⊙b＝ab＋2a＋b，則滿足x⊙(x－2)<0的實(shí)數(shù)x的取值范圍為(

)A．(0,2)

B．(－2,1)C．(－∞，－2)∪(1，＋∞)D．(－1,2)【解析】∵x⊙(x－2)＝x(x－2)＋2x＋x－2<0，∴x2＋x－2<0.∴－2<x<1.【答案】

B【名師點(diǎn)評(píng)】對(duì)于這類問題，應(yīng)緊抓“定義”，轉(zhuǎn)化為一般關(guān)系式，從而進(jìn)行求解．名師預(yù)測(cè)1．不等式x(x－a＋1)>a的解集是{x|x<－1或x>a}，則(

)A．a(chǎn)≥1 B．a(chǎn)<－1C．a(chǎn)>－1 D．a(chǎn)∈R解析：選C.∵解集為{x|x<－1或x>a}，∴a>－1.2．已知集合M＝{x|x2－2010x－2011>0}，N＝{x|x2＋ax＋b≤0}，若M∪N＝R，M∩N＝(2011,2012]，則(

)A．a(chǎn)＝2011，b＝－2012B．a(chǎn)＝－2011，b＝2012C．a(chǎn)＝2011，b＝2012D．a(chǎn)＝－2011，b＝－2012解析：選D.化簡(jiǎn)得M＝{x|x<－1或x>2011}，由M∪N＝R，M∩N＝(2011,2012]可知N＝{x|－1≤x≤2012，即－1,2012是方程x2＋ax＋b＝0的兩個(gè)根．所以b＝－1×2012＝－2012，－a＝－1＋2012，即a＝－2011.4．當(dāng)x∈(1,2)時(shí)，不等式x2＋mx＋4<0恒成立，則m的取值范圍是________．答案：m≤－5感謝觀看謝謝大家A3演示文稿設(shè)計(jì)與制作信息技術(shù)2.0微能力認(rèn)證作業(yè)中小學(xué)教師繼續(xù)教育參考資料高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)第課時(shí)直接證明與間接證明文-A3演示文稿設(shè)計(jì)與制作第6課時(shí)直接證明與間接證明第6課時(shí)直接證明與間接證明考點(diǎn)探究·挑戰(zhàn)高考考向瞭望·把脈高考溫故夯基·面對(duì)高考溫故夯基·面對(duì)高考證明的結(jié)論推理論證成立充分條件內(nèi)容綜合法分析法文字語言因?yàn)椤浴蛴伞谩C…只需證即證…思考感悟綜合法和分析法的區(qū)別與聯(lián)系是什么？提示：綜合法的特點(diǎn)是：從“已知”看“可知”，逐步推向“未知”．其逐步推理實(shí)際上是尋找它的必要條件．分析法的特點(diǎn)是：從“未知”看“需知”，逐步靠攏“已知”．其逐步推理實(shí)際上是尋求它的充分條件．在解決問題時(shí)，經(jīng)常把綜合法和分析法綜合起來使用．2．間接證明反證法：假設(shè)原命題_______

(即在原命題的條件下，結(jié)論不成立)，經(jīng)過正確的推理，最后得出_____．因此說明假設(shè)錯(cuò)誤，從而證明了原命題成立，這樣的證明方法叫做反證法．不成立矛盾考點(diǎn)探究·挑戰(zhàn)高考綜合法考點(diǎn)一考點(diǎn)突破綜合法是“由因?qū)Ч?，它是從已知條件出發(fā)，順著推證，經(jīng)過一系列的中間推理，最后導(dǎo)出所證結(jié)論的真實(shí)性．用綜合法證明的邏輯關(guān)系是：A?B1?B2?…?Bn?B(A為已知條件或數(shù)學(xué)定義、定理、公理等，B為要證結(jié)論)，它的常見書面表達(dá)是“∵，∴”或“?”．例1分析法考點(diǎn)二分析法是“執(zhí)果索因”，一步步尋求上一步成立的充分條件．它是從要求證的結(jié)論出發(fā)，倒著分析，由未知想需知，由需知逐漸地靠近已知(已知條件，已經(jīng)學(xué)過的定義、定理、公理、公式、法則等)．用分析法證明命題的邏輯關(guān)系是：B?B1?B2?…?Bn?A.它的常見書面表達(dá)是“要證……只需……”或“?”．例2【思路分析】

ab?a·b＝0，利用a2＝|a|2求證．平方得|a|2＋|b|2＋2|a||b|≤2(|a|2＋|b|2－2a·b)，只需證|a|2＋|b|2－2|a||b|≥0，即(|a|－|b|)2≥0，顯然成立．故原不等式得證．【誤區(qū)警示】本題從要證明的結(jié)論出發(fā)，探求使結(jié)論成立的充分條件，最后找到的恰恰都是已證的命題(定義、公理、定理、法則、公式等)或要證命題的已知條件時(shí)，命題得證．這正是分析法證明問題的一般思路．一般地，含有根號(hào)、絕對(duì)值的等式或不等式，若從正面不易推導(dǎo)時(shí)，可以考慮用分析法．反證法考點(diǎn)三反證法體現(xiàn)了正難則反的思維方法，用反證法證明問題的一般步驟是：(1)分清問題的條件和結(jié)論；(2)假定所要證的結(jié)論不成立，而設(shè)結(jié)論的反面成立(否定結(jié)論)；(3)從假設(shè)和條件出發(fā)，經(jīng)過正確的推理，導(dǎo)出與已知條件、公理、定理、定義及明顯成立的事實(shí)相矛盾或自相矛盾(推導(dǎo)矛盾)；(4)因?yàn)橥评碚_，所以斷定產(chǎn)生矛盾的原因是“假設(shè)”錯(cuò)誤．既然結(jié)論的反面不成立，從而證明了原結(jié)論成立(結(jié)論成立)．例3【思路分析】

(1)利用求和公式先求公差d，(2)利用反證法證明．【名師點(diǎn)評(píng)】當(dāng)一個(gè)命題的結(jié)論是以“至多”、“至少”、“唯一”或以否定形式出現(xiàn)時(shí)，宜用反證法來證，反證法的關(guān)鍵是在正確的推理下得出矛盾，矛盾可以是與已知條件矛盾，與假設(shè)矛盾，與定義、公理、定理矛盾，與事實(shí)矛盾等，反證法常常是解決某些“疑難”問題的有力工具，是數(shù)學(xué)證明中的一件有力武器．方法感悟方法技巧1．分析法和綜合法各有優(yōu)缺點(diǎn)．分析法思考起來比較自然，容易尋找到解題的思路和方法，缺點(diǎn)是思路逆行，敘述較繁瑣；綜合法從條件推出結(jié)論，較簡(jiǎn)潔地解決問題，但不便于思考．實(shí)際證題時(shí)常常兩法兼用，先用分析法探索證明途徑，然后再用綜合法敘述出來．2．利用反證法證明數(shù)學(xué)問題時(shí)，要假設(shè)結(jié)論錯(cuò)誤，并用假設(shè)命題進(jìn)行推理，沒有用假設(shè)命題推理而推出矛盾結(jié)果，其推理過程是錯(cuò)誤的．3．用分析法證明數(shù)學(xué)問題時(shí)，要注意書寫格式的規(guī)范性，常常用“要證(欲證)”…“即要證”…“就要證”等分析得到一個(gè)明顯成立的結(jié)論P(yáng)，再說明所要證明的數(shù)學(xué)問題成立．失誤防范1．反證法證明中要注意的問題(1)必須先否定結(jié)論，即肯定結(jié)論的反面，當(dāng)結(jié)論的反面呈現(xiàn)多樣性時(shí)，必須羅列出各種可能結(jié)論，缺少任何一種可能，反證都是不完全的；(2)