試卷第=page22頁(yè)，總=sectionpages33頁(yè)第Page\*MergeFormat7頁(yè)共NUMPAGES\*MergeFormat24頁(yè)2020屆北京市通州區(qū)高三第一學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題及答案解析版一、單選題1．已知集合,,則()A． B． C． D．【答案】A【解析】根據(jù)并集運(yùn)算法則求解即可.【詳解】由題：集合,,則.故選：A【點(diǎn)睛】此題考查根據(jù)描述法表示的集合，并求兩個(gè)集合的并集.2．在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)(其中是虛數(shù)單位)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【解析】化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，得出其在復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)，即可判定位置.【詳解】由題：復(fù)數(shù)，在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，位于第一象限.故選：A【點(diǎn)睛】此題考查復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算和復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)的辨析，關(guān)鍵在于準(zhǔn)確計(jì)算，熟練掌握幾何意義.3．已知點(diǎn)A(2,a)為拋物線圖象上一點(diǎn),點(diǎn)F為拋物線的焦點(diǎn),則等于()A．4 B．3 C． D．2【答案】B【解析】寫出焦點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離公式即可求解.【詳解】由題：點(diǎn)A(2,a)為拋物線圖象上一點(diǎn),點(diǎn)F為拋物線的焦點(diǎn),所以，根據(jù)焦半徑公式得：.故選：B【點(diǎn)睛】此題考查求拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離，結(jié)合幾何意義根據(jù)焦半徑公式求解即可.4．若,則下列各式中一定正確的是()A． B． C． D．【答案】D【解析】若，，所以AC錯(cuò)；，所以B錯(cuò)；若，，所以D正確.【詳解】由題：若，根據(jù)反比例函數(shù)性質(zhì)，所以A錯(cuò)誤；若，取，所以B錯(cuò)；若，根據(jù)指數(shù)函數(shù)性質(zhì)所以C錯(cuò)；若，根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)，所以D正確.故選：D【點(diǎn)睛】此題考查不等式的基本性質(zhì)，結(jié)合不等關(guān)系和函數(shù)單調(diào)性進(jìn)行判斷，也可考慮特值法推翻命題.5．某三棱錐的三視圖如圖所示,則該三棱錐最長(zhǎng)棱的長(zhǎng)度為()A． B． C． D．【答案】C【解析】根據(jù)三視圖還原幾何體，即可求解.【詳解】根據(jù)三視圖還原幾何體如圖所示：其中，平面，由圖可得：，所以，，所以最長(zhǎng)的棱長(zhǎng).故選：C【點(diǎn)睛】此題考查根據(jù)三視圖還原幾何體，計(jì)算幾何體中的棱長(zhǎng)，關(guān)鍵在于正確認(rèn)識(shí)三視圖，準(zhǔn)確還原.6．甲?乙?丙?丁四名同學(xué)和一名老師站成一排合影留念.若老師站在正中間,甲同學(xué)不與老師相鄰,乙同學(xué)與老師相鄰,則不同站法種數(shù)為()A．24 B．12 C．8 D．6【答案】C【解析】根據(jù)特殊元素優(yōu)先考慮原則，先排乙，再排甲，結(jié)合左右對(duì)稱原則求解.【詳解】由題：老師站中間，第一步：排乙，乙與老師相鄰，2種排法；第二步：排甲，此時(shí)甲有兩個(gè)位置可以站，2種排法；第三步：排剩下兩位同學(xué)，2種排法，所以共8種.故選：C【點(diǎn)睛】此題考查計(jì)數(shù)原理，關(guān)鍵在于弄清計(jì)數(shù)方法，根據(jù)分步和分類計(jì)數(shù)原理解決實(shí)際問(wèn)題.7．對(duì)于向量,,“”是“”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【解析】根據(jù)向量的運(yùn)算法則：“”不能推出“”，“”能夠推出“”.【詳解】當(dāng)時(shí)，滿足，不能推出，若，則，所以，所以“”是“”的必要不充分條件.故選：B【點(diǎn)睛】此題考查充分條件與必要條件的關(guān)系判斷，關(guān)鍵在于弄清向量間的關(guān)系，正確辨析即可.8．關(guān)于函數(shù)有以下三個(gè)判斷①函數(shù)恒有兩個(gè)零點(diǎn)且兩個(gè)零點(diǎn)之積為-1；②函數(shù)恒有兩個(gè)極值點(diǎn)且兩個(gè)極值點(diǎn)之積為-1；③若是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn),則函數(shù)極小值為-1.其中正確判斷的個(gè)數(shù)有()A．0個(gè) B．1個(gè) C．個(gè) D．個(gè)【答案】C【解析】函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即的根的個(gè)數(shù)，利用判別式求解；對(duì)函數(shù)求導(dǎo)討論導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題即可得極值關(guān)系.【詳解】因?yàn)?，方程，，所以關(guān)于的方程一定有兩個(gè)實(shí)根，且兩根之積為-1，所以恒有兩個(gè)零點(diǎn)且兩個(gè)零點(diǎn)之積為-1，即①正確；，，對(duì)于，，所以恒有兩個(gè)不等實(shí)根，且導(dǎo)函數(shù)在這兩個(gè)實(shí)根附近左右異號(hào)，兩根之積為，函數(shù)恒有兩個(gè)極值點(diǎn)且兩個(gè)極值點(diǎn)之積為，所以②錯(cuò)誤；若是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn),，則，，，，，所以函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為，所以函數(shù)的極小值為，所以③正確.故選：C【點(diǎn)睛】此題考查函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題，利用導(dǎo)函數(shù)導(dǎo)論單調(diào)性和極值問(wèn)題，綜合性比較強(qiáng).二、填空題9．已知向量,,若,則___________.【答案】【解析】根據(jù)向量垂直，數(shù)量積為0列方程求解即可.【詳解】由題：，所以，所以，解得：.故答案為：【點(diǎn)睛】此題考查向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，根據(jù)兩個(gè)向量垂直，數(shù)量積為0建立方程計(jì)算求解.10．在公差不為零的等差數(shù)列{an}中,a1=2,且a1,a3,a7依次成等比數(shù)列,那么數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和等于____________.【答案】【解析】根據(jù)a1,a3,a7依次成等比數(shù)列,求出公差，即可求解.【詳解】在公差不為零的等差數(shù)列{an}中,a1=2,設(shè)公差為且a1,a3,a7依次成等比數(shù)列,即，，，所以，所以數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.故答案為：【點(diǎn)睛】此題考查等差數(shù)列基本量的計(jì)算，根據(jù)等比中項(xiàng)的關(guān)系列出方程解出公差，根據(jù)公式進(jìn)行數(shù)列求和.11．已知中心在原點(diǎn)的雙曲線的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為,且兩條漸近線互相垂直,則此雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)____.【答案】【解析】根據(jù)兩條漸近線互相垂直得出漸近線方程，即求出的值，結(jié)合焦點(diǎn)坐標(biāo)即可求解.【詳解】由題雙曲線焦點(diǎn)在軸，設(shè)雙曲線方程，兩條漸近線互相垂直，即，得，又因?yàn)橛医裹c(diǎn)坐標(biāo)為,所以，解得，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.故答案為：【點(diǎn)睛】此題考查根據(jù)漸近線的關(guān)系結(jié)合焦點(diǎn)坐標(biāo)求雙曲線的基本量，進(jìn)而得出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查通式通法和基本計(jì)算.12．在中,,,,則____.【答案】【解析】根據(jù)正弦定理建立等量關(guān)系求解即可.【詳解】在中,由正弦定理得：，所以.故答案為：【點(diǎn)睛】此題考查正弦定理的應(yīng)用，結(jié)合三角恒等變換二倍角公式，求三角函數(shù)值，關(guān)鍵在于準(zhǔn)確掌握基本計(jì)算方法正確求解.13．已知均為大于0的實(shí)數(shù),給出下列五個(gè)論斷:①,②,③,④,⑤.以其中的兩個(gè)論斷為條件,余下的論斷中選擇一個(gè)為結(jié)論,請(qǐng)你寫出一個(gè)正確的命題___________.【答案】①③推出⑤(答案不唯一還可以①⑤推出③等)【解析】選擇兩個(gè)條件根據(jù)不等式性質(zhì)推出第三個(gè)條件即可，答案不唯一.【詳解】已知均為大于0的實(shí)數(shù),選擇①③推出⑤.①，③，則，所以.故答案為：①③推出⑤【點(diǎn)睛】此題考查根據(jù)不等式的性質(zhì)比較大小，在已知條件中選擇兩個(gè)條件推出第三個(gè)條件，屬于開(kāi)放性試題，對(duì)思維能力要求比較高.14．如圖,某城市中心花園的邊界是圓心為O,直徑為1千米的圓,花園一側(cè)有一條直線型公路l,花園中間有一條公路AB(AB是圓O的直徑),規(guī)劃在公路l上選兩個(gè)點(diǎn)P,Q,并修建兩段直線型道路PB,QA.規(guī)劃要求:道路PB,QA不穿過(guò)花園.已知,(C?D為垂足),測(cè)得OC=0.9,BD=1.2(單位:千米).已知修建道路費(fèi)用為m元/千米.在規(guī)劃要求下,修建道路總費(fèi)用的最小值為_(kāi)____元.【答案】【解析】根據(jù)幾何關(guān)系考慮道路不穿過(guò)花園，求解最小距離，即可得到最小費(fèi)用.【詳解】如圖：過(guò)點(diǎn)作直線交于，取與圓的交點(diǎn)，連接，則，過(guò)點(diǎn)作直線交于，過(guò)點(diǎn)作直線交于，根據(jù)圖象關(guān)系可得，直線上，點(diǎn)左側(cè)的點(diǎn)與連成線段不經(jīng)過(guò)圓內(nèi)部，點(diǎn)右側(cè)的點(diǎn)與連成的線段不經(jīng)過(guò)圓的內(nèi)部，最短距離之和即，根據(jù)幾何關(guān)系：，，所以，所以，，所以，最小距離為2.1千米.修建道路總費(fèi)用的最小值為元.故答案為：【點(diǎn)睛】此題考查與圓相關(guān)的幾何性質(zhì)，根據(jù)幾何性質(zhì)解決實(shí)際問(wèn)題，需要注意合理地將實(shí)際問(wèn)題抽象成純幾何問(wèn)題求解.三、解答題15．已知函數(shù).(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在區(qū)間上的最大值和最小值.【答案】(1)；(2)最小值0；最大值【解析】（1）對(duì)函數(shù)進(jìn)行三角恒等變換得，即可得最小正周期；（2）整體考慮的取值范圍，求出最大值和最小值.【詳解】解:(1)f(x)的最小正周期T=；(2)因?yàn)?所以所以當(dāng),即時(shí),f(x)取得最小值；當(dāng),即時(shí),f(x)取得最大值，所以f(x)在區(qū)間上的最小值0；最大值.【點(diǎn)睛】此題考查利用三角恒等變換對(duì)函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)，求最小正周期和閉區(qū)間上的值域，關(guān)鍵在于利用公式準(zhǔn)確化簡(jiǎn)，正確求值.16．為了解某地區(qū)初中學(xué)生的體質(zhì)健康情況,統(tǒng)計(jì)了該地區(qū)8所學(xué)校學(xué)生的體質(zhì)健康數(shù)據(jù),按總分評(píng)定等級(jí)為優(yōu)秀,良好,及格,不及格.良好及其以上的比例之和超過(guò)40%的學(xué)校為先進(jìn)校.各等級(jí)學(xué)生人數(shù)占該校學(xué)生總?cè)藬?shù)的比例如下表:比例學(xué)校等級(jí)學(xué)校A學(xué)校B學(xué)校C學(xué)校D學(xué)校E學(xué)校F學(xué)校G學(xué)校H優(yōu)秀8%3%2%9%1%22%2%3%良好37%50%23%30%45%46%37%35%及格22%30%33%26%22%17%23%38%不及格33%17%42%35%32%15%38%24%(1)從8所學(xué)校中隨機(jī)選出一所學(xué)校,求該校為先進(jìn)校的概率；(2)從8所學(xué)校中隨機(jī)選出兩所學(xué)校,記這兩所學(xué)校中不及格比例低于30%的學(xué)校個(gè)數(shù)為X,求X的分布列；(3)設(shè)8所學(xué)校優(yōu)秀比例的方差為S12,良好及其以下比例之和的方差為S22,比較S12與S22的大小.(只寫出結(jié)果)【答案】(1)；(2)見(jiàn)解析；(3)S12=S22【解析】（1）統(tǒng)計(jì)出健康測(cè)試成績(jī)達(dá)到良好及其以上的學(xué)校個(gè)數(shù)，即可得到先進(jìn)校的概率；（2）根據(jù)表格可得：學(xué)生不及格率低于30%的學(xué)校有學(xué)校B?F?H三所,所以X的取值為0,1,2，分別計(jì)算出概率即可得到分布列；（3）考慮優(yōu)秀的比例為隨機(jī)變量Y，則良好及以下的比例之和為Z=1-Y，根據(jù)方差關(guān)系可得兩個(gè)方差相等.【詳解】解:(1)8所學(xué)校中有ABEF四所學(xué)校學(xué)生的體質(zhì)健康測(cè)試成績(jī)達(dá)到良好及其以上的比例超過(guò)40%,所以從8所學(xué)校中隨機(jī)取出一所學(xué)校,該校為先進(jìn)校的概率為；(2)8所學(xué)校中,學(xué)生不及格率低于30%的學(xué)校有學(xué)校B?F?H三所,所以X的取值為0,1,2.所以隨機(jī)變量X的分布列為：X012P(3)設(shè)優(yōu)秀的比例為隨機(jī)變量Y，則良好及以下的比例之和為Z=1-Y，則，所以：S12=S22.【點(diǎn)睛】此題考查簡(jiǎn)單的幾何概率模型求概率，求分布列，以及方差關(guān)系的辨析，關(guān)鍵在于熟練掌握分布列的求法和方差關(guān)系.17．如圖,在四棱錐S-ABCD中,底面ABCD為直角梯形,AD//BC,∠SAD=∠DAB=,SA=3,SB=5,,,.(1)求證:AB平面SAD；(2)求平面SCD與平面SAB所成的銳二面角的余弦值；(3)點(diǎn)E,F分別為線段BC,SB上的一點(diǎn),若平面AEF//平面SCD,求三棱錐B-AEF的體積.【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)；(3)1【解析】（1）通過(guò)證明，得線面垂直；（2）結(jié)合第一問(wèn)結(jié)論，建立空間直角坐標(biāo)系，求出兩個(gè)平面的法向量，即可得二面角的余弦值；（3）根據(jù)面面平行關(guān)系得出點(diǎn)F的位置，即可得到體積.【詳解】(1)證明:在中,因?yàn)?所以.又因?yàn)椤螪AB=900所以,因?yàn)樗云矫鍿AD.(2)解:因?yàn)锳D,,，建立如圖直角坐標(biāo)系：則A(0,0,0)B(0,4,0),C(2,4,0),D(1,0,0),S(0,0,3).平面SAB的法向量為.設(shè)平面SDC的法向量為所以有即,令，所以平面SDC的法向量為所以.(3)因?yàn)槠矫鍭EF//平面SCD,平面AEF平面ABCD=AE,平面SCD平面ABCD=CD,所以,平面AEF平面SBC=EF,平面SCD平面SBC=SC,所以由,AD//BC得四邊形AEDC為平行四邊形.所以E為BC中點(diǎn).又,所以F為SB中點(diǎn).所以F到平面ABE的距離為,又的面積為2,所以.【點(diǎn)睛】此題考查立體幾何中的線面垂直的證明和求二面角的大小，根據(jù)面面平行的性質(zhì)確定點(diǎn)的位置求錐體體積.18．已知橢圓C:的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4,離心率為,點(diǎn)P在橢圓C上.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知點(diǎn)M(4,0),點(diǎn)N(0,n),若以PM為直徑的圓恰好經(jīng)過(guò)線段PN的中點(diǎn),求n的取值范圍.【答案】(1)；(2).【解析】（1）根據(jù)長(zhǎng)軸長(zhǎng)和離心率求出標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）取PN的中點(diǎn)為Q，以PM為直徑的圓恰好經(jīng)過(guò)線段PN的中點(diǎn)，所以MQ⊥NP,根據(jù)垂直關(guān)系建立等量關(guān)系，結(jié)合點(diǎn)P的坐標(biāo)取值范圍，即可得解.【詳解】解:(1)由橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a=4,得a=2又離心率,所以所以.所以橢圓C的方程為：.(2)法一:設(shè)點(diǎn),則所以PN的中點(diǎn),，因?yàn)橐訮M為直徑的圓恰好經(jīng)過(guò)線段PN的中點(diǎn)所以MQ⊥NP,則，即，又因?yàn)?所以，所以，函數(shù)的值域?yàn)樗运?法二:設(shè)點(diǎn),則.設(shè)PN的中點(diǎn)為Q因?yàn)橐訮M為直徑的圓恰好經(jīng)過(guò)線段PN的中點(diǎn)所以MQ是線段PN的垂直平分線，所以即所以，函數(shù)的值域?yàn)樗?，所?【點(diǎn)睛】此題考查求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)垂直關(guān)系建立等量關(guān)系，結(jié)合橢圓上的點(diǎn)的坐標(biāo)特征求出取值范圍.19．已知函數(shù).(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)求函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).【答案】(1)；(2)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為2.【解析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，得出，即可得到切線方程；（2）根據(jù)為偶函數(shù)，只需討論在的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)分析單調(diào)性即可討論.【詳解】解:(1)因?yàn)?所以，又因?yàn)?，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為；(2)因?yàn)闉榕己瘮?shù),所以要求在上零點(diǎn)個(gè)數(shù),只需求在上零點(diǎn)個(gè)數(shù)即可.令,得,，所以在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增列表得:…0+0-0+0-0…1↗極大值↘極小值↗極大值↘極小值…由上表可以看出在()處取得極大值,在()處取得極小值，;