第一章整式的乘除6完全平方公式新知完全平方公式(1)完全平方公式的探索.①兩數(shù)和的平方：(a＋b)2＝(a＋b)(a＋b)＝a2＋ab＋ab＋b2(多項式乘法法那么)＝a2＋2ab＋b2(合并同類項)；②兩數(shù)差的平方：(a－b)2＝(a－b)(a－b)＝a2－ab－ab＋b2(多項式乘法法那么)＝a2－2ab＋b2(合并同類項).(2)完全平方公式的內(nèi)涵.(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，(a－b)2＝a2－2ab＋b2.這就是說，兩數(shù)和(或差)的平方，等于它們的平方和加上(或者減去)它們積的兩倍，這兩個公式叫做乘法的完全平方公式.①(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2與(a－b)2＝a2－2ab＋b2都叫做完全平方公式.為了區(qū)別，我們把前者叫做兩數(shù)和的完全平方公式，后者叫做兩數(shù)差的完全平方公式.公式的特點：兩個公式的左邊都是一個二項式的完全平方，二者僅差一個“符號〞不同；右邊都是二次三項式，其中有兩項是公式左邊二項式中每一項的平方，中間一項為哪一項左邊二項式中兩項乘積的兩倍，二者也僅差一個“符號〞不同；②公式中的a，b可以是數(shù)，也可以是單項式或多項式.【例1】計算：(1)(－x＋2y)2；(2)(－x－y)2；(3)(x＋y－z)2；(4)(x＋y)2－(x－y)2.解析

此題需靈活運用完全平方公式：

(1)題可轉(zhuǎn)化為(2y－x)2或(x－2y)2，再運用差的完全平方公式；

(2)題可轉(zhuǎn)化為(x＋y)2，再利用和的完全平方公式；(3)題可利用加法結(jié)合律變形為[(x＋y)－z]2或[x＋(y－z)]2或[(x－z)＋y]2，再用完全平方公式計算；(4)題可利用完全平方公式，再合并同類項，也可逆用平方差公式進行計算.解

(1)方法1：(－x＋2y)2＝(2y－x)2＝4y2－4xy＋x2；

方法2：(－x＋2y)2＝[－(x－2y)]2＝(x－2y)2＝x2－4xy＋4y2；(2)(－x－y)2＝[－(x＋y)]2＝(x＋y)2＝x2＋2xy＋y2；(3)(x＋y－z)2＝[(x＋y)－z]2＝(x＋y)2－2(x＋y)·z＋z2＝x2＋y2＋z2＋2xy－2zx－2yz；(4)方法1：(x＋y)2－(x－y)2＝(x2＋2xy＋y2)－(x2－2xy＋y2)＝4xy；

方法2：(x＋y)2－(x－y)2＝[(x＋y)＋(x－y)][(x＋y)－(x－y)]＝4xy.【例2】用不同的方法計算：(1)(3x＋2y)2－(3x－2y)2；(2)(x＋y)2＋(x－y)2；(3)(a＋2b－c)(a－2b－c).解析(1)方法1：原式利用平方差公式計算即可得到結(jié)果；方法2：原式利用完全平方公式展開，去括號合并即可得到結(jié)果；(2)方法1：原式利用完全平方公式展開，合并即可得到結(jié)果；方法2：原式配方后，計算即可得到結(jié)果；(3)方法1：原式利用平方差公式變形，再利用完全平方公式展開即可得到結(jié)果；方法2：原式利用多項式乘以多項式法那么計算，合并即可得到結(jié)果.解

(1)方法1：

原式＝[(3x＋2y)＋(3x－2y)][(3x＋2y)－(3x－2y)]

＝6x·4y＝24xy；

方法2：

原式＝9x2＋12xy＋4y2－9x2＋12xy－4y2＝24xy；(2)

方法1：原式＝x2＋2xy＋y2＋x2－2xy＋y2＝2x2＋2y2；方法2：原式＝(x＋y)2＋2(x＋y)(x－y)＋(x－y)2－

2(x＋y)(x－y)＝[(x＋y)＋(x－y)]2－2(x＋y)(x－y)＝4x2－2x2＋2y2＝2x2＋2y2；(3)

方法1：

原式＝(a－c)2－4b2＝a2－2ac＋c2－4b2；

方法2：

原式

＝a2－2ab－ac＋2ab－4b2－2bc－ac＋2bc＋c2

＝a2－2ac＋c2－4b2.舉一反三1.計算：(1)(a－2b)2；

(2)(3a－b)2－(3a＋b)2；(3)(2x＋3y－1)(2x＋3y＋1)；(4)(a＋b＋c)2.解：(1)原式＝a2－4ab＋4b2；(2)原式＝－12ab；(3)原式＝4x2＋12xy＋9y2－1；(4)原式＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc.2.假設(shè)a＋b＝7，ab＝6，求(a－b)2的值.

解：因為(a－b)2＝a2＋2ab＋b2－4ab＝(a＋b)2－4ab，所以將a＋b＝7，ab＝6，代入上式得：原式＝72－4×6＝25.3.x＋y＝－3，x－y＝7.求：(1)xy的值；(2)x2＋y2的值.解：(1)因為x＋y＝－3，x－y＝7，所以(x＋y)2＝9，(x－y)2＝49，所以

(2)x2＋y2＝(x＋y)2－2xy＝9＋20＝29.7.(6分)a＋b＝－5，ab＝－6，求：(a－b)2的值.解：因為a＋b＝－5，ab＝－6，所以(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＝(－5)2－4×(－6)＝49.

8.(6分)利用完全平方公式計算：

；(2)19992.解：解：19992＝(2000－1)2＝4000000－4000＋1＝3996001.有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形。3.菱形的性質(zhì)1.菱形的定義〔Ａ〕菱形的四條邊都相等〔Ｂ〕菱形的對角線互相垂直2.菱形的特征菱形是一個軸對稱圖形我們可以根據(jù)定義來判定一個四邊形是菱形．除此之外，還能找到其他的判定方法嗎？菱形的性質(zhì)“兩條對角線互相垂直平分〞中，“對角線互相平分〞是平行四邊形所具有的一般性質(zhì)，而“對角線垂直〞是菱形所特有的性質(zhì)。由此，可以得到一個猜測：“如果一個平行四邊形的兩條對角線互相垂直，那么這個平行四邊形是一個菱形。〞如圖，取兩根長度不等的細木棒，讓兩個木棒的中點重合并固定在一起，用筆和直尺畫出木棒四個端點的連線。我們知道，這樣得到的四邊形是一個平行四邊形．假設(shè)轉(zhuǎn)動其中一個木棒，重復(fù)上面的做法，當(dāng)兩個木棒之間的夾角等于90°時，得到的圖形是什么圖形呢？如圖，你還可以作一個兩條對角線互相垂直的平行四邊形．和你的同伴交換一下，看看是否成了一個菱形．由此可以得到判定菱形的一種方法：對角線互相垂直的平行四邊形是菱形．如圖，平行四邊形ABCD中，對角線AC、BD互相垂直，我們可以證明：四邊形ABCD是菱形．證明∵四邊形ABCD是平行四邊形∴OA＝OC又∵AC⊥BD∴BD所在直線是線段AC的垂直平分線∴AB＝BC∴四邊形ABCD是菱形例如圖，平行四邊形ABCD的對角線AC的垂直平分線與邊AD、BC分別交于點E、F，求證：四邊形AFCE是菱形．分析要證四邊形AFCE是菱形，由條件可知EF⊥AC，所以只需證明四邊形AFCE是平行四邊形，又EF垂直平分AC，所以只需證OE＝OF．證明∵四邊形ABCD是平行四邊形∴AE∥FC∴∠1＝∠2∵EF平分AC∴AO＝OC又∵∠AOE＝∠COF＝90°∴△AOE≌△COF∴EO＝FO∴四邊形AFCE是平行四邊形又∵EF⊥AC∴四邊形AFCE是菱形對于一個一般的四邊形，能否也可以找到判定它是不是菱形的方法呢？由菱形的另一條性質(zhì)“四條邊都相等〞，你可能會想到：如果一個四邊形的四條邊都相等，那它會不會一定是菱形？試著畫一畫，與周圍的同學(xué)討論，猜一猜結(jié)論是否成立．由此我們得到了判定菱形的又一種方法：四條邊都相等的四邊形是菱形．其實，這個結(jié)論同樣是正確的．這里的條件能否再減少一些呢？能否類似對矩形的討論那樣，有三條邊相等的四邊形就是菱形了呢？猜一猜，并試著畫一畫，你就會知道，這個結(jié)論是不成立的．菱形的判定方法1.有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形3.四條邊都相等的四邊形是菱形2.對角線互相垂直的平行四邊形是菱形1.以下條件中,不能判定四邊形ABCD為菱形的是〔〕．Ａ.AC⊥BD，AC與BD互相平分Ｂ.AB=BC=CD=DAＣ.AB=BC，AD=CD，且AC⊥BDＤ.AB=CD，AD=BC，AC⊥BDOADCBC2.:如圖,在平行四邊形ABCD中,AE平分∠BAD