第七 專題 的方向向量αmabl1l2 coscosθ＝|cos ＝laαnlαθ，則sinθ＝|co

n n 如圖②③，n1，n2α－l－βα，βθ滿足|cos用向量方法求點(diǎn)BA，求向量→

＝|n|θansinθ＝|cos二面角與法向量的夾角：利用平面的法向量求二面角的大小時，當(dāng)求出兩半平面α，β的法向量 若直線a的方向向量和平面α的法向量平行，則

【答案】(1)×(2)×(3)×【解析】(1)【衍化2.(選修2－1P104練習(xí)2改編)已知平面α，β的法向量分別為n1＝(2，3，5)，n2＝(－3，1，－4)，則( C.α，β相交但不垂 【答案】【解析】∵n1≠λn2n1·n2＝－23≠0，∴α，β相交但不垂直3.(2－1P112A4改編)m，nlαcos〈m，n〉1－2，則l與α所成的角為 【答案】【解析】由于cos〈

m，n〉＝120°lα【體驗(yàn)

A.B.A.B.

C.3

D.3【解析】A1C⊥AB1D1D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，DD1x軸、y軸、z軸建立AB1D1

33＝|n|＝5.(2018朝陽區(qū)檢測)已知平面α的一個法向量為(1，2，－2)，平面β的一個法向量為(－2，－4，k)，若α∥β，則k等于( 【答案】1 2 【解析】因?yàn)棣痢桅拢? ＝k，所以 6.(2019·煙臺月考)若直線l的方向向量為a＝(1，0，2)，平面α的法向量為n＝(－2，0，－4)，則直線l與平面α的位置關(guān)系為 【答案】【解析】

考點(diǎn)一1ABCD中，ADBCD，BC⊥CD，AD＝2，BD＝22，MAD的中點(diǎn)，P是BM的中點(diǎn)，點(diǎn)Q段AC上，且AQ＝3QC.【解析】證明法一BDOO為原點(diǎn)，OD，OPy，z軸的正半軸，O－xyz.由題意知，A(0，2，2)，B(0，－2，0)，D(0，C的坐標(biāo)為因?yàn)?所以 2 3 ， 4＋4y，MADM(0，PBM22

BCDa＝(0，0，1)

PQ?BCD，PQBCD.法二段CD上取點(diǎn)F，使得DF＝3FC，連接OF，同法立空間直角坐標(biāo)系，寫出點(diǎn)A，B，C的C坐標(biāo)為(x0，y0，0).∵→1

＝4(－x0，33

∴→

＋22

又由法一知→ 2 3∴

4 E，F(xiàn)，GPA，PD，CD的中點(diǎn).求證：PBEFG.【解析】證明PADABCDABCD∴AB，AP，AD兩兩垂直AA－xyzA(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)， 法一∴→＝(0，1，0)＝(1，2，－1)，EFGn＝(x，y，z

∵→ 法二 即∴t－s＝0，∴→ 又∵→

→ 考點(diǎn)二2P－ABCD【解析】證明(1)BCOBCOBCxOABy軸，OPCD＝1AB＝BC＝2，PO＝∴A(1，－2，0)，B(1，0，0)，D(－1，－1，0)，P(0，0，∴ BD＝(－2，－1，0)，PA＝(1，－2，－∵→BD·PA＝(－2)×1＋(－1)×(－2)＋0×(－∴→ ，(2)取PA的中點(diǎn)M，連接DM，則 3.，∵

2DM＝2，0，2，PB＝(1，0，－3∴→→3

×(－∴ 3∵→→3

×(－∴ 2如圖所示，正三棱柱(底面為正三角形的直三棱柱)ABC－A1B1C12，DCC1的中點(diǎn).求證：AB1A1BD.A1BDmm.

→＋ 令 BB1＝a，BC＝b，BA＝c，顯然它們不共面，并且|a|＝|b|＝|c|＝2，a·b＝a·c＝0，b·c＝2則 → → 1m＝λBA1＋μBD＝ 1 AB1·m＝(a－c)· 1 ＝4＋2μ－2μ－4λ＝0.故AB1⊥m，結(jié)論得證法二BCO因?yàn)椤鰽BC為正三角形，AO⊥BC.ABC－A1B1C1ABCBCC1B1，AOBCC1B1.B1C1O1O為原點(diǎn)，分別以→1x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，B(1，0，0)，D(－1，1，0)，A1(0，2，3)，A(0，0，3)，A1BD BA1＝(－1，2，n，n⊥ n·BA1＝0，－x＋2y＋

x＝1y＝2，z＝－n＝(1，2，－3)A1BD而 AB1＝(1，2，－3)，所以AB1＝n，所以考點(diǎn)三用空間向量解決有關(guān)位置關(guān)系的探索性問題角度1 3－1】ABCD－A1B1C1D12，∠ABC和∠A1AC60°AA1C1C⊥ABCD.(1)證明BDACOBD⊥ACA1O，在△AA1O1111由于平面AA1C1C⊥平面ABCD，且平面AA1C1C∩平面ABCD＝AC，A1O?平面AA1C1C，∴A1O⊥平面OB，OC，OA1x軸、y軸、zA(0，－1，0)，B(3，0，0)，C(0，1，0)，D(－3，0，0)，A1(0，0，3)，C1(0，2，3).由于 BD＝(－23，0，0)，AA1＝(0，1，→AA1·BD＝0×(－23)＋1×0＋∴ (2)解CC1PBP設(shè) CP＝λCC1，P(x，y，z)，則(x，y－1，z)＝λ(0，1，P(0，1＋λ，3λ)→＝(－3，1＋λ，又 A1C1＝(0，2，0)，DA1＝(3，0，3x3＋n3⊥→

n3·BP＝－3－3λ＝0PC1C角度 (2)段BE上是否存在一點(diǎn)P，使得平面PAC⊥平面由

(1)證明ADEFABCDADEFABCD＝AD，AF⊥AD，AF?AAH⊥BCHBH＝1，AH＝∴AC＝2(2)解存在.由(1)知，AF，AB，AC兩兩垂直A為坐標(biāo)原點(diǎn)，→→x軸，y軸，zA(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，23，0)，E(－1，假 段BE上存在一點(diǎn)P滿足題意，則易知點(diǎn)P不與點(diǎn)B，E重合，設(shè)BP＝λ，則λ>0 3λ PAC→ 3λ 2λ λ1λ1由AP＝1＋λ，AC＝(0，2λ1λ1m·AP＝1＋

→得

m·AC＝2

即 z

2λ＝2λ所以 ，2λ， 3 1為平面BCEF的一個法向量， 3， (2)探索性問題的關(guān)鍵是設(shè)點(diǎn)：①空間中的點(diǎn)可設(shè)為(x，y，z)；②坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)其中一個坐標(biāo)為0P，可設(shè)為→＝→P的坐標(biāo)，或直接利用向量運(yùn)算【訓(xùn)練3】如圖，在四棱錐P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，AB⊥AD，AB＝1，AD＝2，AC＝CD＝5.

【解析】(1)證明PADABCDPADABCD＝AD，AB⊥AD，ABPADAB⊥PD.(2)解ADOPO?PADPADABCD，POABCD.如圖，建立空間直角坐標(biāo)系O－xyz.由題意得，A(0，1，0)，B(1，1，0)，C(2，0，0)，D(0，－1，0)，MPAλ∈[0，1]＝ 則→則解得 此時AP【與感悟用向量法解決立體幾何問題，是空間向量的一個具體應(yīng)用，體現(xiàn)了向量的工具性，這種方法可把復(fù)雜的推理證明、輔助線的作法轉(zhuǎn)化為空間向量的運(yùn)算，降低了空間想象演繹推理的難度，體現(xiàn)了由“形”轉(zhuǎn)“數(shù)”.用向量知識證明立體幾何問題有兩種基本思路：一種是用向量表示幾何量，利用向量的運(yùn)算進(jìn)行判斷；另一種是用向量的坐標(biāo)表示幾何量，共分三步：()建立立體圖形與空間向量的聯(lián)系，用空間向量(或坐標(biāo))表示問題中所涉及的點(diǎn)、線、面，把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題；(2)().用向量的坐標(biāo)法證明幾何問題，建立空間直角坐標(biāo)系是關(guān)鍵，以下三種情況都容易建系：()有三條兩兩()(3).a∥ba用向量證明立體幾何問題，寫準(zhǔn)點(diǎn)的坐標(biāo)是關(guān)鍵，要充分利用中點(diǎn)、向量共線、向量相等來確定點(diǎn)的坐標(biāo).若直線l的一個方向向量為a＝(2，5，7)，平面α的一個法向量為u＝(1，1，－1)，則( A.l∥α或l?α D.lα【答案】【解析】由條件知a·u＝2×1＋5×1＋7×(－1)＝0a⊥ul∥αl?α.已知a＝(－2，－3，1)，b＝(2，0，4)，c＝(－4，－6，2)，則下列結(jié)論正確的是( 【答案】【解析】∵c＝(－4，－6，2)＝2(－2，－3，1)＝2a，∴a∥c，a·b＝－2×2＋(－3)×0＋1×4＝0，∴a⊥b.若→＝→＋→，則直線AB與平面CDE的位置關(guān)系是 相 【答案】【解析】∵→ ABCDE的位置關(guān)系是平行或在平面內(nèi)αM(1，－1，2)，平面αn＝(6，－3，6)P內(nèi)的是 【答案】【解析】A∴ ∴Pαα內(nèi)＝3 ＝3則MN與平面BB1C1C的位置關(guān)系是 斜 D.MN在平面BB1C1C【答案】3【解析】A1M＝AN＝3則

3，3，N3，3

，3所以＝(0，a，0)BBCC的一個法向量 1因?yàn)椤? 6.(2019·青島調(diào)研)已知→＝(1，5，－2)，→＝(3，1，z)，若→⊥→，→＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面ABC，則實(shí)數(shù)x＋y＝ 【答案】7【解析】由條件得解得 ＝7，y＝－7

＝7－7＝77.(2018·合肥月考)如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中點(diǎn)，N是A1B1的中點(diǎn)，則直線ON，AM的位置關(guān)系是 【答案】【解析】A為原點(diǎn)，分別以→x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系(圖略) 體的棱長為1，則A(0，0，0)，M0，1，1，O1，1，0，N1，0，1＝0，1·00，∴ONAM垂直

2 設(shè)直線l的方向向量為a，平面α的法向量為n＝(2，2，4)，若a＝(1，1，2)，則直線l與平面α的位置 【答案】 l∥α或【解析】當(dāng)a＝(1，1，2)時 1n，則如圖，四邊形ABCD為正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA＝AB

1＝2PD.證明：平面PQC【解析】證明DDADA，DP，DCx軸、y軸、zD－xyz.則 ∴→ →ABCD22BDEF是平行四邊形，BDACG，OGCFO＝3FO【解析】證明BCHOHABCDA(3，0，0)，C(－1，0，0)，D(1，－2，0)，F(xiàn)(0，0， BC＝(－2，－2，0)，CF＝(1，0，3)，BF＝(－1，－2， n·BC＝0， 則

x＋z＝1n＝(－3，∴→DE＝BF＝(－1，－2，∴→ ＝(－2，－2，0)＋(－1，－2，3)＝(－3，－4，∴→ AE·n＝33－43＋ → → → →AF＝(－3，0，CF⊥AF，CF⊥AE，AE∩AF＝A，AE，AF?AEF，ABCDA1B1C1D1M，P，QAB，CD，BC的中點(diǎn)，若平行六面 【答案】【解析

1

1 ，所以12.(2019調(diào)研)如圖，在長方體ABCDA1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝3，AD＝22，P為C1D1的中點(diǎn)M為BC的中點(diǎn).則AM與PM的位置關(guān)系為 A.平 【答案】DDA，DC，DD1x，y，z依題意，可得，D(0，0，0)，P(0，1，A(22，0，0)，M(∴→∴PM＝(2，2，0)－(0，1，3)＝(2，1，－→AM＝(2，2，0)－(22，0，0)＝(－∴→PM·AM＝(2，1，－3)·(－即 如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為1，E，F(xiàn)分別是棱BC，DD1上的點(diǎn)，如果B1E⊥平面A