第九次課向量組線性相關(guān)性第1頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月第2頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月線性相關(guān)的定義p86定義4.4第3頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月

定義1

設(shè)有m個(gè)n維向量α1，α2

，，αm，如果存在一組不全為零的數(shù)使則稱向量組α1

，α2

，，αm線性相關(guān)；否則，稱向量組線性無關(guān)P86定理4.4的部分內(nèi)容第4頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月線性相關(guān)兩種定義的等價(jià)性向量組a1，a2，，am線性相關(guān)的充要條件是：向量組中至少有一個(gè)向量可以由其余向量線性表示。必要性：因?yàn)閍1，a2，，am線性相關(guān)，故存在不全為零的數(shù)l1，l2，，

lm，使

l1a1l2a2

lmamo

。不妨設(shè)l10，于是即a1為a2，a3，，am的線性組合。

充分性：不妨設(shè)a1可由其余向量線性表示：

a1=l2a2l3a3

lmam，則存在不全為零的數(shù)1，l2，l3，，

lm，使

(1)a1+l2a2l3a3

lmam=o

，即a1，a2，，am線性相關(guān)。證明：第5頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月1.含有零向量的向量組一定線性相關(guān)。

2.由一個(gè)向量構(gòu)成的向量組線性相關(guān)當(dāng)且僅當(dāng)該向量為零向量。3.由兩個(gè)向量構(gòu)成的向量組線性相關(guān)當(dāng)且僅當(dāng)這兩個(gè)向量的分量對應(yīng)成比例。4.n維基本單位向量e1，e2，…，en是線性無關(guān)的。5.幾何意義第6頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月

定義1

設(shè)有m個(gè)n維向量α1，α2

，，αm，如果存在一組不全為零的數(shù)使則稱向量組α1

，α2

，，αm線性相關(guān)；否則，稱向量組線性無關(guān)思考題：給出線性無關(guān)的直接定義

推論4.1第7頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月向量組a1，a2，，am線性相關(guān)的充分必要條件是：以x1，x2，，xm為未知量的齊次線性方程組

x1a1

x2a2

xm

am

o有非零解。綜合P87定理4.4及推論4.1的內(nèi)容而向量組a1，a2，，am線性無關(guān)的充分必要條件是：

x1a1

x2a2

xm

am

o只有零解。第8頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月所以方程組有非零解。21=x12-=x13-=x得方程組

由于

解:設(shè)使所以

線性相關(guān)。

例1

討論向量組的線性相關(guān)性即存在一組不全為零0的數(shù)

21=x12-=x13-=x第9頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月例4.2.1判斷向量組的線性相關(guān)性。解設(shè)記把A用初等行變換變?yōu)殡A梯形得知方程只有零解，所以原向量組線性無關(guān)。第10頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月思考題：如向量個(gè)數(shù)=向量維數(shù)，向量組線性相關(guān)及線性無關(guān)的條件是什么？答案：線性相關(guān)當(dāng)且僅當(dāng)其構(gòu)造的矩陣對應(yīng)行列式的值為0；線性無關(guān)當(dāng)且僅當(dāng)其構(gòu)造的矩陣對應(yīng)行列式的值不為0。第11頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月注由于A是方陣，也可以由|A|=-6得知方程組只有零解設(shè)n階方陣，由上述定理可知，A是可逆矩陣的充要條件是方程組只有零解由此我們得到下面的定理定理4.2.2設(shè)A是n階方陣，則下面的三個(gè)命題等價(jià)(1)A為可逆矩陣(2)A的列向量組線性無關(guān)(3)A的行向量組線性無關(guān)第12頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月例3．t取何值時(shí)向量組線性無關(guān)、線性相關(guān)？α1=（3，2，0），α2=（5，4，-1）α3=（3，1，t）解由于

當(dāng)2t-3≠0，即t≠3/2時(shí)，α1，α2，α3線性無關(guān)當(dāng)2t-3=0，即t=3/2時(shí)，α1，α2，α3線性相關(guān)第13頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月

例．設(shè)向量組a1，a2，a3線性無關(guān)，b1a1a2，b2a2a3，b3a3a1。試證向量組b1，b2，b3也線性無關(guān)。

證明：（一）考慮x1b1

x2b2x3b3o，，x1x1x2x2x3x3000===++++從而b1，b2，b3線性無關(guān)。方程組只有零解，即x1(a1a2)

x2(a2a3)x3(a3a1)o，整理得(x1+x3)a1+(x1+x2)a2+(x2+x3)a3=o。因?yàn)橄蛄拷Ma1，a2，a3線性無關(guān)，所以必有第14頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月

例（續(xù)）．設(shè)向量組a1，a2，a3線性無關(guān)，b1a1a2，b2a2a3，b3a3a1。試證向量組b1，b2，b3也線性無關(guān)。證明：（二）只有即只有所以向量組b1，b2，b3也線性無關(guān)。第15頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月P88例題4.7“部分相關(guān),則整體相關(guān).反之…”觀察知相關(guān),從而相關(guān).設(shè)要證相關(guān).判斷相關(guān)性的一些結(jié)論第16頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月

設(shè)向量組a1，a2，，am中有r個(gè)向量的部分組線性相關(guān)，不妨設(shè)a1，a2，，ar線性相關(guān)，P88例題4.7如果向量組中有一部分向量(稱為部分組)線性相關(guān)，則整個(gè)向量組線性相關(guān)。另證：重要結(jié)論：部分相關(guān)，整體必相關(guān)；整體無關(guān)，部分必?zé)o關(guān)則存在一組不全為零的數(shù)λ1，λ2，，

λr

使

λ1a1λ2a2

λraro，因而存在一組不全為零的數(shù)λ1，λ2，，λr，0，0，，0使λ1a1λ2a2

λrar+0ar+1++0amo，即a1，a2，，am線性相關(guān)。第17頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月P88例題4.8“個(gè)數(shù)大于維數(shù)必相關(guān)”A的列組是4個(gè)3維向量,必相關(guān).第18頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月例4.2.4

設(shè)向量組線性無關(guān)，則向量組也線性無關(guān)(其中*取任意數(shù))“短的無關(guān),則長的也無關(guān)”.反之…第19頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月證因?yàn)榫€性無關(guān),所以方程組只有零解，從而方程組也只有零解，因此線性無關(guān)。短的無關(guān),則長的無關(guān)；長的相關(guān),則短的相關(guān).

第20頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月無關(guān),

相關(guān)則可由A

唯一表示.又說明:如果一個(gè)向量可用無關(guān)組表示,則表法必然是唯一的.為以后引用方便,給它起個(gè)名子叫唯一表示定理.定理4.2.3(唯一表示定理)第21頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月定理4.2.3(唯一表示定理)設(shè)向量組線性無關(guān)向量組線性相關(guān)，則向量可由向量組線性表示，且表示方式唯一。證由于向量組線性相關(guān)，故存在不全零的數(shù)使得必然有否則，若則由于線性無關(guān)，必有這與不全為零矛盾，因此則第22頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月所以向量可由向量組線性表示。唯一性假設(shè)向量由向量組的表示有兩種移項(xiàng)由于線性無關(guān)，所以唯一性得證這一結(jié)論可以等價(jià)的表示為：方程組有唯一解。第23頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月推論4.2.2設(shè)，且線性無關(guān)則中的任一向量都可以由向量組唯一表示。第24頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月練習(xí)題

一．填空題．在一向量組α１，α２，…，αn中，如果有部分向量組線性相關(guān)，則向量組必（）．二、多選題：下列命題中正確的有（）Ａ．非零向量組成的向量組一定線性無關(guān)Ｂ．含零向量的向量組一定線性相關(guān)Ｃ．由一個(gè)零向量組成的向量組一定線性無關(guān)Ｄ．由零向量組成的向量組一定線性相關(guān)Ｅ．線性相關(guān)的向量組一定含有零向量。三、分析判斷題：若α１不能被α２，α３，…，αr線性表出，則向量α１，α２，α３，…，αr線性無關(guān)。（）四、證明題：設(shè)β可由α１，α２，…，αr線性表示，但不能由α１，α２，…，αr－１線性表示，證明αr可由α１，α２，…，αr，β線性表示．第25頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月第