山西省忻州市第十三中學(xué)2022-2023學(xué)年高三數(shù)學(xué)理模擬試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.“”是“”的（

）

A.充分而不必要條件

B.必要而不充分條件

C.充分必要條件

D.既不充分也不必要條件參考答案：A2.《九章算術(shù)》卷五商功中有如下問題：今有芻甍，下廣三丈，袤四丈，上袤二丈，無廣，高一丈，問積幾何．芻甍：底面為矩形的屋脊狀的幾何體（網(wǎng)格紙中粗線部分為其三視圖，設(shè)網(wǎng)格紙上每個小正方形的邊長為1丈），那么該芻甍的體積為（

）A．4立方丈

B．5立方丈

C．6立方丈

D．12立方丈參考答案：B由已知可將芻甍切割成一個三棱柱和一個四棱錐，三棱柱的體積為3，四棱錐的體積為2，則芻甍的體積為5.故選B.3.復(fù)數(shù)為虛數(shù)單位）的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點的坐標是

(

）

參考答案：A略4.若，則向量與的夾角為A．

B．

C．

D．參考答案：B略5.設(shè)集合M={x∈R|x2+x﹣6＜0}，N={x∈R||x﹣1|≤2}．則M∩N=（）A．（﹣3，﹣2] B．[﹣2，﹣1） C．[﹣1，2） D．[2，3）參考答案：C【考點】交集及其運算．【分析】求出集合的等價條件，利用集合的基本運算進行求解．【解答】解：M={x∈R|x2+x﹣6＜0}={x|﹣3＜x＜2}，N={x∈R||x﹣1|≤2}={x|﹣1≤x≤3}．則M∩N={x|﹣1≤x＜2}=[﹣1，2），故選：C6.設(shè)，則等于（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D7.下列函數(shù)中最小正周期為π的函數(shù)是(

)A. B. C. D.參考答案：D【分析】根據(jù)三角函數(shù)周期公式即可得到答案.【詳解】A選項的最小正周期為；B選項的最小正周期為；C選項的最小正周期為；D選項的最小正周期為.故選：D【點睛】本題考查三角函數(shù)的周期性，屬基礎(chǔ)題.8.設(shè)全集U=R，A={x|x（x﹣2）＜0}，B={x|y=ln（1﹣x）＜0}，則圖中陰影部分表示的集合為(

) A．{x|0＜x≤1} B．{x|1≤x＜2} C．{x|x≥1} D．{x|x≤1}參考答案：B考點：Venn圖表達集合的關(guān)系及運算．專題：集合．分析：由圖象可知陰影部分對應(yīng)的集合為A∩（?UB），然后根據(jù)集合的基本運算求解即可．解答： 解：由Venn圖可知陰影部分對應(yīng)的集合為A∩（?UB），∵A={x|x（x﹣2）＜0}={x|0＜x＜2}，B={x|y=ln（1﹣x）＜0}={x|1﹣x＞0}={x|x＜1}，∴?UB={x|x≥1}，即A∩（?UB）={x|1≤x＜2}故選：B．點評：本題主要考查集合的基本運算，利用圖象先確定集合關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵，比較基礎(chǔ)．9.已知數(shù)列是等比數(shù)列，且，則(A)

(B)

(C)

(D)參考答案：C略10.（6）已知，，則的值為（A）

（B）（C）

（D）參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.“漸減數(shù)”是指每個數(shù)字比其左邊數(shù)字小的正整數(shù)（如98765），若把所有五位漸減數(shù)按從小到大的順序排列，則第55個數(shù)為

.參考答案：答案：7654212.已知f（x）為偶函數(shù)，當(dāng)x≥0時，f（x）=﹣（x﹣1）2+1，滿足f[f（a）]=的實數(shù)a的個數(shù)為個．參考答案：8考點：函數(shù)奇偶性的性質(zhì)．

專題：綜合題．分析：令f（a）=x，則f[f（a）]=，轉(zhuǎn)化為f（x）=．先解f（x）=在x≥0時的解，再利用偶函數(shù)的性質(zhì)，求出f（x）=在x＜0時的解，最后解方程f（a）=x即可．解答：解：令f（a）=x，則f[f（a）]=，變形為f（x）=；當(dāng)x≥0時，f（x）=﹣（x﹣1）2+1=，解得x1=1+，x2=1﹣；∵f（x）為偶函數(shù)，∴當(dāng)x＜0時，f（x）=的解為x3=﹣1﹣，x4=﹣1+；綜上所述，f（a）=1+或1﹣或﹣1﹣或﹣1+．當(dāng)a≥0時，f（a）=﹣（a﹣1）2+1=1+，方程無解；f（a）=﹣（a﹣1）2+1=1﹣，方程有2解；f（a）=﹣（a﹣1）2+1=﹣1﹣，方程有1解；f（a）=﹣（a﹣1）2+1=﹣1+，方程有1解；故當(dāng)a≥0時，方程f（a）=x有4解，由偶函數(shù)的性質(zhì)，易得當(dāng)a＜0時，方程f（a）=x也有4解，綜上所述，滿足f[f（a）]=的實數(shù)a的個數(shù)為8，故答案為：8．點評：題綜合考查了函數(shù)的奇偶性和方程的解的個數(shù)問題，同時運用了函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化思想和分類討論等數(shù)學(xué)思想方法，對學(xué)生綜合運用知識解決問題的能力要求較高，是高考的熱點問題．13.若集合具有以下性質(zhì)：①，；②若，則；且時，，則稱集合是“完美集”．給出以下結(jié)論：①集合是“完美集”；②有理數(shù)集是“完美集”；③設(shè)集合是“完美集”，若,，則；④設(shè)集合是“完美集”，若,，則必有；⑤對任意的一個“完美集”，若，且，則必有．其中正確結(jié)論的序號是．參考答案：②③④⑤【知識點】元素與集合關(guān)系的判斷．A1

解析：①－1，1，但是，不是“完美集”；②有理數(shù)集肯定滿足“完美集”的定義；③0，，0－=－，那么；④對任意一個“完美集”A，任取，若中有0或1時，顯然；下設(shè)均不為0，1，而，那么，所以，進而，結(jié)合前面的算式，；⑤，若，那么，那么由(4)得到：．故答案為②③④⑤。【思路點撥】根據(jù)完美集的定義容易判斷集合B不是完美集，而有理數(shù)是完美集．對于完美集A，x，y∈A時，容易得到﹣y∈A，從而得到x+y=x﹣（﹣y）∈A，對于④說明，可先說明x2∈A：x=0，或1時顯然成立，x≠0，且x≠1，便有，那么，所以，進而，結(jié)合前面的算式，；而⑤的判斷由④即可得到．14.設(shè)F為拋物線的焦點，A、B、C為該拋物線上三點，當(dāng)且時，此拋物線的方程為_________

參考答案：15.設(shè)滿足約束條件，若目標函數(shù)的最大值為12，則的最小值為___

．參考答案：16.已知函數(shù)（，）的圖象如圖所示，其中，，則函數(shù)

．參考答案：依題意，，解得：，故，將點A帶入，得：，解得：.故答案為：

17.若對任意的恒成立，則實數(shù)k的取值范圍為_________.參考答案：.試題分析：要使得不等式對任意的恒成立，需的最小值大于，問題轉(zhuǎn)化為求的最小值.首先設(shè)，則有.當(dāng)時，有最小值為4；當(dāng)時，有最小值為4；當(dāng)時，有最小值為4.綜上所述，有最小值為4.所以，.故答案為.考點：含絕對值不等式；函數(shù)恒成立問題.三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖，在四面體ABCD中，BA=BC，．（Ⅰ）證明：BD⊥AC；（Ⅱ）若，BA=2，四面體ABCD的體積為2，求二面角B-AC-D的余弦值．

參考答案：（1）如圖，作Rt△斜邊上的高，連結(jié)．因為，，所以Rt△≌Rt△．可得．所以平面，于是． …………（6分）

（2）在Rt△中，因為，，所以，，，△的面積．因為平面，四面體的體積，所以，，，所以平面． …………（8分）以，，為，，軸建立空間直角坐標系．則，，，，，，．設(shè)是平面的法向量，則，即，可?。O(shè)是平面的法向量，則，即，可?。驗椋娼堑钠矫娼菫殁g角，所以二面角的余弦值為．19.（本小題滿分13分）已知函數(shù)=，其中a≠0.[來源^:zz#~s&tep.@com]（1）

若對一切x∈R，≥1恒成立，求a的取值集合.（2）在函數(shù)的圖像上取定兩點，，記直線AB的斜率為K，問：是否存在x0∈（x1，x2），使成立？若存在，求的取值范圍；若不存在，請說明理由.參考答案：（Ⅰ）若，則對一切，，這與題設(shè)矛盾，又，故.而令當(dāng)時，單調(diào)遞減；當(dāng)時，單調(diào)遞增，故當(dāng)時，取最小值于是對一切恒成立，當(dāng)且僅當(dāng).①令則當(dāng)時，單調(diào)遞增；當(dāng)時，單調(diào)遞減.故當(dāng)時，取最大值.因此，當(dāng)且僅當(dāng)即時，①式成立.綜上所述，的取值集合為.（Ⅱ）由題意知，令則令，則.當(dāng)時，單調(diào)遞減；當(dāng)時，單調(diào)遞增.故當(dāng)，即從而，又所以因為函數(shù)在區(qū)間上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線，所以存在使單調(diào)遞增，故這樣的是唯一的，且.故當(dāng)且僅當(dāng)時，.綜上所述，存在使成立.且的取值范圍為.【點評】本題考查利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性、最值、不等式恒成立問題等，考查運算能力，考查分類討論思想、函數(shù)與方程思想，轉(zhuǎn)化與劃歸思想等數(shù)學(xué)思想方法.第一問利用導(dǎo)函數(shù)法求出取最小值對一切x∈R，f(x)1恒成立轉(zhuǎn)化為，從而得出a的取值集合；第二問在假設(shè)存在的情況下進行推理，通過構(gòu)造函數(shù)，研究這個函數(shù)的單調(diào)性及最值來進行分析判斷.20.已知橢圓方程為，長軸兩端點為，短軸上端點為．（1）若橢圓焦點坐標為，點在橢圓上運動，且的最大面積為3，求該橢圓方程；（2）對于（1）中的橢圓，作以為直角頂點的內(nèi)接于橢圓的等腰直角三角形，設(shè)直線的斜率為，試求的值；（3）過任作垂直于，點在橢圓上，試問在軸上是否存在點，使得直線的斜率與的斜率之積為定值，如果存在，找出一個點的坐標，如果不存在，說明理由．參考答案：解：（1）由已知：，，聯(lián)立方程組求得：所求方程為：

……………

4分

（2）依題意設(shè)所在的直線方程為，代入橢圓方程并整理得：，則同理

由得，即

故

………

8分（3）由題意知設(shè)而(為定值).對比上式可知：選取，則得直線的斜率與的斜率之積為

……………

13分21.設(shè)函數(shù)，．（Ⅰ）當(dāng)時，求不等式的解集；（Ⅱ）若恒成立，求實數(shù)的取值范圍．

參考答案：（1）當(dāng)時，所以或或………3分解得或或……4分綜上，不等式的解集為.……………5分（2），轉(zhuǎn)化為令，……6分，……7分時，,……………8分令得………………10分22.（本小題滿分12分）如圖，已知平面，平面，△為等邊三角形，，為的中點.(1)求證：平面；(2)求證：平面平面；(3)求直線和平面所成角的正弦值.參考答案：(1)證法一：取的中點，連.∵為的中點，∴且.∵平面，平面，∴，∴.

又，∴.

∴四邊形為平行四邊形，則.

∵平面，平面，∴平面.

證法二：取的中點，連.∵為的中點，∴.

∵平面，平面，∴.

又，∴四邊形為平行四邊形，則.

∵平面，平面，∴平面，平面.又，∴平面平面.

∵平面，∴平面.

(2)證：∵為等邊三角形，為的中點，∴.

∵平面，平面，∴.

又，故平面.

∵，∴平面.

∵平面，∴平面平面.

(3)解：在平面內(nèi)，過作于，連.

∵平面平面，∴平面.∴為和平面所成的角.