福建省三明市平潭城關(guān)中學(xué)2022年高三數(shù)學(xué)理測試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知，則（

）A．

B．

C． D．參考答案：C,故選C.

2.設(shè)A，B為兩個(gè)不相等的集合，條件p：x?(A∩B)，條件q：x?(A∪B)，則p是q的（

）．（A）充分不必要條件

（B）充要條件（C）必要不充分條件

（D）既不充分也不必要條件參考答案：C

【知識點(diǎn)】必要條件、充分條件與充要條件的判斷．A2解析：當(dāng)x∈A，且x?（A∩B），滿足x∈（A∪B），即充分性不成立，若x?（A∪B，則x?（A∩B），成立，即必要性成立，故p是q必要不充分條件，故選：C【思路點(diǎn)撥】根據(jù)集合關(guān)系，以及充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可．3.若實(shí)數(shù)a,b滿足a2+b2≤1，則關(guān)于的方程x2-2x+a+b=0無實(shí)數(shù)根的概率為(

)A.

B.

C.

D.參考答案：D4.形如45132這樣的數(shù)稱為“波浪數(shù)”，即十位數(shù)字，千位數(shù)字均比它們各自相鄰的數(shù)字大，則由1、2、3、4、5可構(gòu)成的數(shù)字不重復(fù)的五位“波浪數(shù)”的概率為

．參考答案：略5.橢圓（a>b>0）的兩焦點(diǎn)為F1、F2，若橢圓上存在點(diǎn)P，,則橢圓離心率的取值范圍是A．

B．

C．

D．

參考答案：答案：A6.4張卡片上分別寫有數(shù)字1，2，3，4，從這4張卡片中隨機(jī)有放回的抽取2張，則取出的2張卡片上的數(shù)字之差的絕對值為奇數(shù)的概率為（）A． B． C． D．參考答案：C【考點(diǎn)】CB：古典概型及其概率計(jì)算公式．【分析】4張卡片上分別寫有數(shù)字1，2，3，4，從這4張卡片中隨機(jī)抽取2張，基本事件總數(shù)n==6，取出的2張卡片上的數(shù)字之差的絕對值為奇數(shù)的事件個(gè)數(shù)m，由此能求出取出的2張卡片上的數(shù)字之差的絕對值為奇數(shù)的概率．【解答】解：4張卡片上分別寫有數(shù)字1，2，3，4，從這4張卡片中隨機(jī)抽取2張，基本事件總數(shù)n==6，取出的2張卡片上的數(shù)字之差的絕對值為奇數(shù)的基本事件個(gè)數(shù)m==4，∴取出的2張卡片上的數(shù)字之差的絕對值為奇數(shù)的概率為=．故選：C．7.雙曲線與拋物線相交于A,B兩點(diǎn)，公共弦AB恰好過它們的公共焦點(diǎn)F，則雙曲線C的離心率為（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：8.某學(xué)校從高二甲、乙兩個(gè)班中各選6名同掌參加數(shù)學(xué)競賽，他們?nèi)〉玫某煽儯M分100分）的莖葉圖如圖，其中甲班學(xué)生成績的眾數(shù)是85，乙班學(xué)生成績的平均分為81，則x+y的值為(

)

(A)6

(B)7(C)8

(D)9參考答案：D略9.含有三個(gè)實(shí)數(shù)的集合可以表示為，也可以表示為，則的值為（

）

A．1

B．-1

C．0

D．-1或1參考答案：B10.若實(shí)數(shù)a,b滿足且，則稱a與b互補(bǔ)，記，那么是a與b互補(bǔ)的（

）

A．必要而不充分的條件

B．充分而不必要的條件

C．充要條件

D．即不充分也不必要的條件參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若|x+1|+|x﹣3|＞k對任意的x∈R恒成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為

．參考答案：（﹣∞，4）考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問題．專題：計(jì)算題；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；不等式的解法及應(yīng)用．分析：|x+1|+|x﹣3|＞k對任意的x∈R恒成立，等價(jià)于（|x+1|+|x﹣3|）min＞k，利用不等式的性質(zhì)即可求得最小值．解答： 解：|x+1|+|x﹣3|＞k對任意的x∈R恒成立，等價(jià)于（|x+1|+|x﹣3|）min＞k，∵|x+1|+|x﹣3|≥|（x+1）﹣（x﹣3）|=4，∴k＜4，即實(shí)數(shù)k的取值范圍是（﹣∞，4），故答案為：（﹣∞，4）．點(diǎn)評：該題考查函數(shù)恒成立問題、絕對值不等式的性質(zhì)，考查轉(zhuǎn)化思想，屬基礎(chǔ)題．12.已知，則的最小值為＿＿＿＿參考答案：1013.已知一個(gè)關(guān)于的二元線性方程組的增廣矩陣是，則=_________。參考答案：614.復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位）的實(shí)部等于_________.參考答案：-315.右圖是一個(gè)圓柱被平面所截后余下部分的三視圖，尺寸如圖所示，則它的體積為

．參考答案：略16.在等比數(shù)列{an}中，若a5﹣a1=15，a4﹣a2=6，則a3=．參考答案：4或﹣4【考點(diǎn)】等比數(shù)列的性質(zhì)．【分析】根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式為an=a1qn﹣1求出a1和q得到通項(xiàng)公式即可求出a3．【解答】解：∵等比數(shù)列的通項(xiàng)公式為an=a1qn﹣1由a5﹣a1=15，a4﹣a2=6得：a1q4﹣a1=15，a1q3﹣a1q=6解得：q=2或q=，a1=1或a1=﹣16．則a3=a1q2=4或﹣4故答案為4或﹣417.等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知S10=0，S15=25，則nSn的最小值為________.參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸的極坐標(biāo)系中.曲線C的極坐標(biāo)方程為.（Ⅰ）寫出直線l的普通方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程；（Ⅱ）判斷直線l與曲線C的位置關(guān)系，并說明理由.參考答案：（Ⅰ）直線l的普通方程為,曲線的直角坐標(biāo)方程為；（Ⅱ）相離.【分析】（Ⅰ）消去參數(shù)后可得直線的普通方程.把化成再利用化簡后可得曲線的直角坐標(biāo)方程.（Ⅱ）利用圓心到直線的距離可判斷直線與曲線的位置關(guān)系.【詳解】（Ⅰ）消去參數(shù)，則直線普通方程為，因?yàn)?，故即，曲線的直角坐標(biāo)方程為.（Ⅱ）圓心到直線的距離，直線與曲線是相離的位置關(guān)系.【點(diǎn)睛】極坐標(biāo)方程與直角方程的互化，關(guān)鍵是，必要時(shí)須在給定方程中構(gòu)造．直線與圓的位置關(guān)系可用圓心到直線的距離與半徑的大小來判斷．19.以“賞中華詩詞，尋文化基因，品生活之美”為宗旨的《中國詩詞大會》，是央視科教頻道推出的一檔大型演播室文化益智節(jié)目，每季賽事共分為10場，每場分個(gè)人追逐賽與擂主爭霸賽兩部分，其中擂主爭霸賽在本場個(gè)人追逐賽的優(yōu)勝者與上一場擂主之間進(jìn)行，一共備有9道搶答題，選手搶到并答對獲得1分，答錯(cuò)對方得1分，當(dāng)有一個(gè)選手累計(jì)得分達(dá)到5分時(shí)比賽結(jié)束，該選手就是本場的擂主，在某場比賽中，甲、乙兩人進(jìn)行擂主爭霸賽，設(shè)每個(gè)題目甲答對的概率都為，乙答對的概率為，每道題目都有人搶答，且每人搶到答題權(quán)的概率均為，各題答題情況互不影響．（Ⅰ）求搶答一道題目，甲得1分的概率；（Ⅱ）現(xiàn)在前5題已經(jīng)搶答完畢，甲得2分，乙得3分，在接下來的比賽中，設(shè)甲的得分為ξ，求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望Eξ．參考答案：【考點(diǎn)】CH：離散型隨機(jī)變量的期望與方差；CG：離散型隨機(jī)變量及其分布列．【分析】（I）設(shè)“搶答一道題目，甲得1分”為事件A，則事件A發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)甲搶到答題權(quán)后答對或乙搶到答題權(quán)后答錯(cuò)．利用相互獨(dú)立與互斥事件的概率計(jì)算公式即可得出．（II）在接下來的比賽中，甲的得分為ξ取值為0，1，2，3．P（ξ=0）=，P（ξ=1）=××，P（ξ=2）=×，P（ξ=3）=1﹣P（ξ=0）﹣P（ξ=1）﹣P（ξ=2）．【解答】解：（I）設(shè)“搶答一道題目，甲得1分”為事件A，則事件A發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)甲搶到答題權(quán)后答對或乙搶到答題權(quán)后答錯(cuò)．∴P（A）=+=．（II）在接下來的比賽中，甲的得分為ξ取值為0，1，2，3．P（ξ=0）==，P（ξ=1）=××=，P（ξ=2）=×=，P（ξ=3）=1﹣﹣﹣=．∴ξ的分布列：ξ0123PEξ=0×+1×+2×+3×=．20.[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]（10分）已知直線l的極坐標(biāo)方程為ρcosθ+ρsinθ﹣1=0，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=4．（1）將曲線C的極坐標(biāo)方程化為普通方程；（2）若直線l與曲線交于A，B兩點(diǎn)，求線段AB的長．參考答案：【考點(diǎn)】簡單曲線的極坐標(biāo)方程；參數(shù)方程化成普通方程．【分析】（1）根據(jù)x=ρcosθ，y=ρsinθ以及ρ=x2+y2求出直線以及曲線C的普通方程即可；（2）根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式求出AB求出弦心距，從而求出弦長即可．【解答】解：（1）∵x=ρcosθ，y=ρsinθ以及ρ=x2+y2，∴直線l的直角坐標(biāo)方程為曲線C的直角坐標(biāo)方程為x2+y2=16（4分）（2）由（1）得：圓心（0，0）到直線的距離為，∴AB的長|AB|=（10分）【點(diǎn)評】本題考查了求曲線的普通方程，考查點(diǎn)到直線的距離公式，是一道中檔題．21.如圖，在四面體PABC中，PC⊥AB，PA⊥BC,點(diǎn)D,E,F,G分別是棱AP,AC,BC,PB的中點(diǎn).

（Ⅰ）求證：DE∥平面BCP；

（Ⅱ）求證：四邊形DEFG為矩形；

（Ⅲ）是否存在點(diǎn)Q，到四面體PABC六條棱的中點(diǎn)的距離相等？說明理由.

參考答案：本題考查了線面平行，線線垂直，考查了同學(xué)們的空間想像能力，難度較小。（1）證明平行，由中點(diǎn)入手考慮找中位線或通過比例關(guān)系找平行；（證線面垂直要注意條件中的線面垂直關(guān)系．

證明：（I）因?yàn)镈、E分別為AP,AC的中點(diǎn)，所以.又因?yàn)镈E平面BCP,所以DE平面BCP.(II).因?yàn)镈、E、F、G分別為AP,AC,BC,PB的中點(diǎn)，所以DE//PC//FG,

DG//AB//EF.所以四邊形DEFG為平行四邊形，又因?yàn)?所以.所以四邊形DEFG為矩形。（III）存在點(diǎn)Q滿足條件，理由如下：連接DF,EG,設(shè)Q為EG的中點(diǎn)。由（II）知，且QD=QE=QF=QG=EG.分別取PC,AB的中點(diǎn)M,N,連接ME,EN,NG,MG,MN.與（II）同理，可證四邊形MENG為矩形，其對角線交點(diǎn)為EG的中點(diǎn)Q.且QM=QN=,所以Q為滿足條件的點(diǎn)。

22.已知函數(shù)f（x）是定義在[﹣e，0）∪（0，e]上的奇函數(shù)，當(dāng)x∈（0，e]時(shí)，f（x）=ax+lnx．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）是否存在實(shí)數(shù)a，使得當(dāng)x∈[﹣e，0）時(shí)，f（x）的最小值是3．如果存在，求出a的值，如果不存在，說明理由．參考答案：【考點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用；函數(shù)解析式的求解及常用方法．【分析】（I）由已知中函數(shù)f（x）是定義在[﹣e，0）∪（0，e]上的奇函數(shù)，結(jié)合當(dāng)x∈（0，e]時(shí)，f（x）=ax+lnx．我們可以根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，得到x∈[﹣e，0）時(shí)，函數(shù)的解析式，進(jìn)而得到f（x）的解析式；（II）由（I）中函數(shù)的解析式，我們可以求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的解析式，分類討論后可得：當(dāng)a＜﹣時(shí)，﹣e≤x≤?f′（x）=a﹣＜0，此時(shí)函數(shù)f（x）有最小值，再由f（x）的最小值是3，構(gòu)造關(guān)于a的方程，解方程即可求了答案．【解答】（1）設(shè)x∈[﹣e，0），則﹣x∈（0，e]，∴f（﹣x）=﹣ax+ln（﹣x），又f（x）為奇函數(shù)，f（x）