黑龍江省哈爾濱市現(xiàn)代中學高三數(shù)學理下學期摸底試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知函數(shù)，若恒成立，則的取值范圍是（

）（A）

（B）

(C)

(D)參考答案：【知識點】函數(shù)恒成立問題.E8【答案解析】C解析：當x＞0時，ln（x+1）＞0恒成立則此時a≤0當x≤0時，﹣x2+2x的取值為（﹣∞，0]，|f（x）|=x2﹣2xx2﹣2x≥ax﹣1（x≤0）x=0時，左邊＞右邊，a取任意值都成立．x＜0時，有a≥x+﹣2即a≥﹣4綜上，a的取值為[﹣4，0]．故選C．【思路點撥】分x的范圍進行討論，當x＞0時，|f（x）|恒大于0，只要a≤0不等式|f（x）|≥ax﹣1恒成立；x=0時對于任意實數(shù)a不等式|f（x）|≥ax﹣1恒成立；x＜0時，把不等式|f（x）|≥ax﹣1取絕對值整理后分離參數(shù)a，然后利用基本不等式求解a的范圍，最后取交集即可得到答案．2.已知集合，，則集合（

）A．

B．

C．

D．

參考答案：C試題分析：，，故選C.考點：集合的交集運算.3.如圖是某算法的程序框圖，則程序運行后輸出的結(jié)果是s，則s的值為（

）A．24 B．60 C．96 D．120參考答案：D略4.若變量滿足約束條件，則的取值范圍是A．[3，+∞)

B．[－8,3]

C．(－∞,9]

D．[－8,9]參考答案：D5.在等腰梯形中，分別是底邊的中點，把四邊形沿直線折

起后，點，設所成的角分別為（均不為零）.

若，則點的軌跡為（

）

A.直線

B.圓

C.橢圓

D.拋物線參考答案：B6.關于函數(shù)有下述四個結(jié)論：①f(x)是偶函數(shù)；②f(x)在區(qū)間(0,1)單調(diào)遞減；③f(x)在有2個零點；④f(x)的最大值為2.其中所有正確結(jié)論的編號是（

）A.①②④ B.②④ C.①④ D.①③參考答案：A【分析】利用偶函數(shù)的定義可判斷出命題①的正誤；去絕對值，利用余弦函數(shù)的單調(diào)性可判斷出命題②的正誤；求出函數(shù)在區(qū)間上的零點個數(shù)，并利用偶函數(shù)的性質(zhì)可判斷出命題③的正誤；由取最大值知，然后去絕對值，即可判斷出命題④的正誤.【詳解】對于命題①，函數(shù)的定義域為，且，則函數(shù)為偶函數(shù)，命題①為真命題；對于命題②，當時，，則，此時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，命題②正確；對于命題③，當時，，則，當時，，則，由偶函數(shù)的性質(zhì)可知，當時，，則函數(shù)在上有無數(shù)個零點，命題③錯誤；對于命題④，若函數(shù)取最大值時，，則，，當時，函數(shù)取最大值，命題④正確.因此，正確的命題序號為①②④.故選：A.【點睛】本題考查與余弦函數(shù)基本性質(zhì)相關的命題真假的判斷，解題時要結(jié)合自變量的取值范圍去絕對值，結(jié)合余弦函數(shù)的基本性質(zhì)進行判斷，考查推理能力，屬于中等題.7.已知雙曲線﹣=1（a＞0，b＞0）的一條漸近線為y=﹣x，則它的離心率為（）A． B． C． D．參考答案：A【考點】雙曲線的簡單性質(zhì)．【分析】求出雙曲線的漸近線方程，可得b=a，再由離心率公式及a，b，c的關系，計算即可得到所求值．【解答】解：雙曲線﹣=1的漸近線方程為y=x，由一條漸近線為y=﹣x，可得=，即b=a，即有e====．故選A．8.設斜率為2的直線過拋物線的焦點F,且和軸交于點A,若△OAF(O為坐標原點)的面積為4,則拋物線方程為(

).A.

B.

C.

D.參考答案：B略9.設全集為實數(shù)集，，，則圖1中陰影部分所表示的集合是A．

B．C．

D．參考答案：D，由集合運算得結(jié)果知陰影部分為,所以，選D.10.集合A={x|－2≤x≤2}，B={y|y=，0≤x≤4}，則下列關系正確的是

A．AB

B．BA

C．AB

D．AB=R參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設a∈（0，]，則點f（a）=（cosx﹣sin2x）dx取最大值時，則a=．參考答案：【考點】定積分．【分析】先根據(jù)定積分的定義表示出∫0a（cosx﹣sin2x）dx，然后利用三角函數(shù)中輔助角公式進行化簡，即可求出最值，從而求出此時的a的值．【解答】解：∫0a（cosx﹣sin2x）dx=（sinx+cos2x）|0a=sina+cos2a﹣（sin0+cos0）=sina+（1﹣2sin2a）﹣=﹣sin2a+sinα=﹣（sina﹣）2+，當a=時，∫0a（cosx﹣sin2x）dx取最大值．故答案為：12.第十屆中國藝術節(jié)在山東濟南勝利閉幕，山東省京劇院的京劇《瑞蚨祥》獲得“第十四屆文華獎﹣﹣文華大獎”，評委給她的9個得分去掉1個最高分，去掉1個最低分，7個剩余分數(shù)的平均分為91，現(xiàn)場做的9個分數(shù)的莖葉圖后來有一個數(shù)據(jù)模糊，無法辨認，在圖中以x表示：則7個剩余分數(shù)的方差為．參考答案：【考點】BC：極差、方差與標準差．【分析】根據(jù)數(shù)據(jù)的平均數(shù)求出x的值，再利用方差的定義求出方差．【解答】解：由題意知去掉一個最高分99和一個最低分87后，所剩數(shù)據(jù)的數(shù)據(jù)是87，90，90，91，91，94，90+x．∴這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是=×（87+94+90+91+90+90+x+91）=91，解得x=4；∴這組數(shù)據(jù)的方差是：s2=×[（87﹣91）2+（94﹣91）2+（90﹣91）2+（91﹣91）2+（90﹣91）2+（94﹣91）2+（91﹣91）2]=．故答案為：．13.隨機變量的概率分布規(guī)律為，其中是常數(shù)，則_______________

參考答案：略14.已知命題p:R,使則是

.參考答案：15.已知數(shù)列{an}的首項a1=m，其前n項和為Sn，且滿足Sn+Sn+1=3n2+2n，若對?n∈N+，an＜an+1恒成立，則m的取值范圍是

．參考答案：（﹣2，）【考點】8E：數(shù)列的求和．【分析】Sn+Sn+1=3n2+2n，n=1時，2a1+a2=5，解得a2．n≥2時，利用遞推關系可得：an+1+an=6n﹣1，于是an+1﹣an﹣1=6，因此數(shù)列{an}的奇數(shù)項與偶數(shù)項分別成等差數(shù)列，對n分類討論即可得出【解答】解：∵Sn+Sn+1=3n2+2n，∴n=1時，2a1+a2=5，解得a2=5﹣2m．n≥2時，Sn﹣1+Sn=3（n﹣1）2+2（n﹣1），∴an+1+an=6n﹣1，∴an+an﹣1=6n﹣7，∴an+1﹣an﹣1=6，∴數(shù)列{an}的奇數(shù)項與偶數(shù)項分別成等差數(shù)列，a2k=5﹣2m+6（k﹣1）=6k﹣1﹣2m，a2k﹣1=m+6（k﹣1）=6k+m﹣6．∵對?n∈N*，an＜an+1恒成立，∴n=2k﹣1時，6k+m﹣6＜6k﹣1﹣2m，解得m＜．n=2k時，6k﹣1﹣2m＜6（k+1）+m﹣6，解得：m＞﹣2．綜上可得m的取值范圍是：﹣2＜m＜．故答案為：（﹣2，）．16.已知，均為銳角，，，則_____．參考答案：【分析】先求得的值，然后求得的值，進而求得的值.【詳解】由于為銳角，且，故，.由，解得，由于為銳角，故.【點睛】本小題主要考查同角三角函數(shù)的基本關系式，考查兩角差的正切公式，屬于中檔題.17.設sin2α=﹣sinα，α∈（，π），則tanα的值是．參考答案：﹣【考點】二倍角的余弦；同角三角函數(shù)間的基本關系．【專題】三角函數(shù)的求值．【分析】依題意，利用二倍角的正弦可得cosα=﹣，又α∈（，π），可求得α的值，繼而可得tanα的值．【解答】解：∵sin2α=2sinαcosα=﹣sinα，∴cosα=﹣，又α∈（，π），∴α=，∴tanα=﹣．故答案為：﹣．【點評】本題考查同角三角函數(shù)間的基本關系與二倍角的正弦，屬于基礎題．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本題滿分12分）甲、乙兩人參加某種選拔測試．在備選的道題中，甲答對其中每道題的概率都是，乙能答對其中的道題．規(guī)定每次考試都從備選的道題中隨機抽出道題進行測試，答對一題加分，答錯一題（不答視為答錯）減分，至少得分才能入選．（1）求甲得分的數(shù)學期望；（2）求甲、乙兩人同時入選的概率．參考答案：19.如圖，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，∠BAC=90°，AB=2，AC=6，點D在線段BB1上，且BD=，A1C∩AC1=E．（Ⅰ）求證：直線DE與平面ABC不平行；（Ⅱ）設平面ADC1與平面ABC所成的銳二面角為θ，若cosθ=，求AA1的長；（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，設平面ADC1∩平面ABC=l，求直線l與DE所成的角的余弦值．參考答案：【考點】與二面角有關的立體幾何綜合題．【分析】（Ⅰ）建立坐標系，求出=（﹣2，3，），平面ABC的法向量為，可得，即可證明直線DE與平面ABC不平行；（Ⅱ）求出平面ADC1的法向量，利用平面ADC1與平面ABC所成的銳二面角為θ，cosθ=，建立方程，即可求得結(jié)論．（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，求出直線l與DE的方向向量，代入向量夾角公式，可得答案．【解答】解：依題意，可建立如圖所示的空間直角坐標系A﹣xyz，設AA1=h，則．（Ⅰ）證明：由AA1⊥平面ABC可知為平面ABC的一個法向量．∵=（﹣2，3，），∴．∴直線DE與平面ABC不平行．（Ⅱ）設平面ADC1的法向量為，則，取z=﹣6，則x=y=h，故．∴，解得．∴．（Ⅲ）在平面BCC1B1內(nèi)，分別延長CB、C1D，交于點F，連結(jié)AF，則直線AF為平面ADC1與平面ABC的交線．∵BD∥CC1，，∴．∴，∴．由（Ⅱ）知，，故，∴．∴直線l與DE所成的角的余弦值為．20.已知函數(shù)，曲線在點處的切線平行于軸．（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）證明：當時，．（為自然對數(shù)的底數(shù)）參考答案：（1）因為．依題意得，即，解得．所以，顯然在上單調(diào)遞增且，故當時，；當，，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為．（2）證明：①當時，由（1）知，當，取得最小值．又的最大值為，故．②當時，設，所以．令．則，當時，，，所以．當時，，，所以．所以當時，，故在上單調(diào)遞增，又，所以當時，；當時，．所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以當時，取得最小值，所以，即．21.(12分)如圖，多面體的直觀圖及三視圖如圖所示，分別為的中點.

（1）求證：平面；

（2）求多面體的體積.參考答案：解析：（1）連結(jié)，則是的中點，在△中，，且平面，平面，∴∥平面

（2）因為平面，平面,,又⊥，所以，⊥平面，∴四邊形是矩形,且側(cè)面⊥平面

取的中點,,且平面.所以，多面體的體積22.(本小題滿分12分)

如圖,過拋物線的對稱軸上任一點作直線與拋物線交于A、B兩點，點Q是點P關于原點的對稱點．

（1）設點P滿足（為實數(shù)），證明：；（2