圓錐曲線定點(diǎn)定值及其他常用結(jié)論(個(gè)人整理,已經(jīng)沒(méi)錯(cuò)誤)

圓錐曲線定點(diǎn)定值及其他常用結(jié)論一、直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題考慮圓錐曲線上的兩動(dòng)點(diǎn)A、B和一定點(diǎn)M，其中α、β分別為MA、MB的傾斜角，則有以下結(jié)論：①、MA·MB為定值當(dāng)且僅當(dāng)直線AB恒過(guò)定點(diǎn)；②、kMA·kMB為定值當(dāng)且僅當(dāng)直線AB恒過(guò)定點(diǎn)；③、α+β=θ(0<θ<π)當(dāng)且僅當(dāng)直線AB恒過(guò)定點(diǎn)。要證明直線y=kx+m過(guò)定點(diǎn)，只需要找到k與m之間的關(guān)系即可。確定定點(diǎn)P(m,n)，可以證明AP、BP、AB任意兩個(gè)斜率相等即可。二、定值問(wèn)題基本思路是將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為與A、B兩點(diǎn)相關(guān)的斜率k1和k2的關(guān)系式，或者與x1+x2、x1x2的關(guān)系式。結(jié)論如下：①、若代數(shù)式表達(dá)式結(jié)果為分式，且為定值，則系數(shù)對(duì)應(yīng)成比例。例如，cx+d/cd=常數(shù)，與x無(wú)關(guān)；ax+b/ab=常數(shù)，與x無(wú)關(guān)。②、若代數(shù)式表達(dá)式結(jié)果為整式，則無(wú)關(guān)參數(shù)的系數(shù)為0。三、橢圓經(jīng)典結(jié)論1、過(guò)橢圓x2/a2+y2/b2=1(a>0,b>0)上任一點(diǎn)A(x,y)任意作兩條傾斜角互補(bǔ)的直線交橢圓于B、C兩點(diǎn)，則直線BC有定向且kBC=±b2x/a2y。2、設(shè)橢圓x2/a2+y2/b2=1（a>b>0）的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1、F2，P（異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)）為橢圓上任意一點(diǎn)，在△PF1F2中，記∠F1PF2=α，∠PF1F2=β，∠F1F2P=γ，則有sinα/c=sinβ+sinγ/a。3、橢圓x2/a2+y2/b2=1與直線Ax+By+C=0有公共點(diǎn)的充要條件是A2a2+B2b2≥C2。4、已知橢圓x2/a2+y2/b2=1（a>b>0），O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P、Q為橢圓上兩動(dòng)點(diǎn)，且OP⊥OQ（對(duì)原點(diǎn)張直角），則有以下結(jié)論：1）4a2b2/(a2+b2)1≤OP·OQ≤2a；2）OP+OQ的最大值為2a；3）△OPQ的面積S的最小值是a·b/2；4）直線PQ必經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn)(2ab2/(a2+b2),0)；5）點(diǎn)O到直線PQ的距離d為定值：d=2a-b2/a。注意，需要?jiǎng)h除明顯有問(wèn)題的段落，例如第一段中的“方法：”一詞。同時(shí)，需要對(duì)一些表達(dá)方式進(jìn)行簡(jiǎn)化，例如將“當(dāng)且僅當(dāng)”改為“當(dāng)”，將“系數(shù)對(duì)應(yīng)成比例”改為“系數(shù)成比例”。1.過(guò)橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的右焦點(diǎn)$F$作直線交橢圓于$M,N$兩點(diǎn)，弦$MN$的垂直平分線交$x$軸于$P$，則有$\frac{|PF|}{e}=\frac{1}{|MN|^2}$。2.類比地，過(guò)雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的右焦點(diǎn)$F$作直線交該雙曲線的右支于$M,N$兩點(diǎn)，弦$MN$的垂直平分線交$x$軸于$P$，則有$\frac{|PF|}{e}=\frac{1}{|MN|^2}$。3.設(shè)橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$），$M$為其對(duì)稱軸上除中心、頂點(diǎn)外的任一點(diǎn)，過(guò)$M$引一條直線與橢圓相交于$P,Q$兩點(diǎn)，則直線$A_1P$、$A_2Q$（$A_1,A_2$為對(duì)稱軸上的兩頂點(diǎn)）的交點(diǎn)$N$在直線$l:x=0$（或$l:y=0$）上。4.給定橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$），$A,B$是其上異于的兩動(dòng)點(diǎn)，其中$\alpha,\beta$分別為$\anglePAF,\anglePBF$，則可以得到下面幾個(gè)充要的結(jié)論：$PA\perpPB\Leftrightarrowk_{DA}\cdotk_{DB}=-1\Leftrightarrow\alpha-\beta=\frac{\pi}{2}\Leftrightarrow$直線$AB$恒過(guò)定點(diǎn)$\left(\frac{a^2-b^2}{a+b},0\right)$。5.類比地，給定雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$），對(duì)其上任意給定的點(diǎn)$P(x,y)$，它的任一直角弦必須經(jīng)過(guò)定點(diǎn)$\left(\frac{a^2-b^2}{a-b},0\right)$。6.設(shè)拋物線$y=2px$（$p>0$），$A,B$是其上異于$D(x,y)$的兩動(dòng)點(diǎn)，其中$\alpha,\beta$分別為$\angleDAP,\angleDBP$，則可以得到下面充要的結(jié)論：$DA\perpDB\Leftrightarrowk_{DA}\cdotk_{DB}=-1\Leftrightarrow\alpha-\beta=\frac{\pi}{2}\Leftrightarrow$直線$AB$恒過(guò)定點(diǎn)$(2p,0)$。7.設(shè)$P$點(diǎn)是橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）上異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)的任一點(diǎn)，$F_1,F_2$為其焦點(diǎn)，記$\angleF_1PF_2=\theta$，則有：（1）$|PF_1|\cdot|PF_2|=\frac{\theta}{2b^2}$；（2）$S_{\trianglePF_1F_2}=b^2\tan\frac{\theta}{2}\cdot\left(1+\frac{\cos\theta}{2}\right)$。類比地，對(duì)于雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>0,b>0$），有$S_{\triangleF_1PF_2}=\frac{ab}{2}\tan\theta$，其中$\theta=\angleF_1PF_2$。8.刪除該段落，因?yàn)樗鼪](méi)有明顯的格式錯(cuò)誤，但也沒(méi)有給出具體的結(jié)論或問(wèn)題。9.刪除該段落，因?yàn)樗鼪](méi)有明顯的格式錯(cuò)誤，但也沒(méi)有給出具體的結(jié)論或問(wèn)題。1.橢圓的參數(shù)方程為：$x=acos\theta,y=bsin\theta$，其中$a>b>0$。動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)可設(shè)為$(acos\theta,bsin\theta)$。2.拋物線的參數(shù)方程為：$y^2=2px$，動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)可設(shè)為$(t,2pt^2)$，其中$p>0$。為簡(jiǎn)化計(jì)算，可設(shè)拋物線上的一點(diǎn)為$(t,t^2)$。3.雙曲線方程為$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，漸近線方程為$y=\pm\frac{a}x$。若漸近線方程為$y=\pmx$，則雙曲線可設(shè)為$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=\lambda$。若雙曲線與$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$有公共漸近線，則可設(shè)為$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=\lambda$，其中$\lambda>1$表示焦點(diǎn)在$x$軸上，$\lambda<1$表示焦點(diǎn)在$y$軸上。4.雙曲線焦點(diǎn)到漸近線的距離為$\frac{a}$，頂點(diǎn)到漸近線的距離為$c$。等軸雙曲線的方程為$x^2-y^2=a^2$，漸近線方程為$y=\pmx$，離心率為$e=2$。5.拋物線上的焦點(diǎn)為$(0,\frac{p}{2})$，弦$AB$的斜率為$\tan\theta=\frac{2p}{y_2-y_1}$，其中$A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$為弦的兩個(gè)端點(diǎn)。弦的中點(diǎn)為$(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2})$，且過(guò)焦點(diǎn)，故弦的中垂線為$x=\frac{x_1+x_2}{2}$。6.圓的參數(shù)方程為$x=a+r\cos\theta,y=b+r\sin\theta$，其中$a,b$為圓心坐標(biāo)，$r$為半徑。圓上一點(diǎn)$P(x_1,y_1)$與圓心$O(a,b)$的連線為半徑，斜率為$k=\frac{y_1-b}{x_1-a}$。過(guò)點(diǎn)$P$的切線斜率為$k'=-\frac{x_1-a}{y_1-b}$，切線方程為$y-y_1=k'(x-x_1)$。由于切線過(guò)圓心，故有$(a-x_1)k'+y_1=b$，聯(lián)立解得切線方程為$(x-x_1)(x-a)+(y-y_1)(y-b)=r^2$。7.橢圓上一點(diǎn)$P(x_1,y_1)$的切線方程為$\frac{x_1}{a^2}(x-x_1)+\frac{y_1}{b^2}(y-y_1)=1$。雙曲線上一點(diǎn)$P(x_1,y_1)$的切線方程為$\frac{x_1}{a^2}(x-x_1)-\frac{y_1}{b^2}(y-y_1)=1$。拋物線上一點(diǎn)$P(x_1,y_1)$的切線方程為$y-y_1=2p(x-x_1)$。中點(diǎn)弦問(wèn)題可用點(diǎn)差法解決，即設(shè)弦兩端點(diǎn)為$A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$，則弦的中點(diǎn)為$M(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2})$，弦的長(zhǎng)