2022-2023學(xué)年福建省南平市建甌玉山中學(xué)高二數(shù)學(xué)理摸底試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.設(shè)橢圓+=1（a＞b＞0）的離心率為e=，右焦點(diǎn)為F（c，0），方程ax2+bx﹣c=0的兩個(gè)實(shí)根分別為x1和x2，則點(diǎn)P（x1，x2）（）A．必在圓x2+y2=2上 B．必在圓x2+y2=2外C．必在圓x2+y2=2內(nèi) D．以上三種情形都有可能參考答案：C【考點(diǎn)】橢圓的簡單性質(zhì)．【分析】通過e=可得=，利用韋達(dá)定理可得x1+x2=﹣、x1x2=﹣，根據(jù)完全平方公式、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系計(jì)算即得結(jié)論．【解答】解：∵e==，∴=，∵x1，x2是方程ax2+bx﹣c=0的兩個(gè)實(shí)根，∴由韋達(dá)定理：x1+x2=﹣=﹣，x1x2==﹣，∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=+1=＜2，∴點(diǎn)P（x1，x2）必在圓x2+y2=2內(nèi)．故選：C．2.已知f(x)＝x3的所有切線中，滿足斜率等于1的切線有()A．1條B．2條

C．多于兩條

D．以上都不對參考答案：B3.在長為10cm的線段AB上任取一點(diǎn)G，用AG為半徑作圓，則圓的面積介于36πcm2到64πcm2的概率是（

）A． B． C． D．參考答案：A考點(diǎn)：幾何概型試題解析：圓的面積介于36πcm2到64πcm2所以圓的半徑介于6到8之間，所以故答案為：A4.設(shè)是虛數(shù)單位，若，則復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是(

)A．

B．

C．

D．參考答案：D5.已知雙曲線與圓交于A、B、C、D四點(diǎn)，若四邊形ABCD是正方形，則雙曲線的離心率是（）A．B．C．D．參考答案：A【考點(diǎn)】雙曲線的簡單性質(zhì)．【分析】聯(lián)立雙曲線方程和圓方程，求得交點(diǎn)，由于四邊形ABCD是正方形，則有x2=y2，運(yùn)用雙曲線的a，b，c的關(guān)系和離心率公式，即可得到結(jié)論．【解答】解：聯(lián)立雙曲線方程和圓x2+y2=c2，解得，x2=c2﹣，y2=，由于四邊形ABCD是正方形，則有x2=y2，即為c2﹣=，即c4=2b4，即c2=b2=（c2﹣a2），則e===．故選：A．6.設(shè)F1、F2分別是雙曲線x2－＝1的左、右焦點(diǎn)．若點(diǎn)P在雙曲線上，且·＝0，則|＋|＝()A．2

B.C．4

D．2參考答案：D根據(jù)已知△PF1F2是直角三角形，向量＋＝2，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半即可求出.·＝0，則|＋|＝2||＝||＝2.

7.把15個(gè)相同的小球放到三個(gè)編號為1,2,3的盒子中，且每個(gè)盒子內(nèi)的小球數(shù)要多于盒子的編號數(shù)，則共有多少種放法（

）A.18 B.28 C.38 D.42參考答案：B【分析】根據(jù)題意，先在1號盒子里放1個(gè)球，在2號盒子里放2個(gè)球，在3號盒子里放3.個(gè)球，則原問題可以轉(zhuǎn)化為將剩下的9個(gè)小球，放入3個(gè)盒子，每個(gè)盒子至少放1個(gè)的問題，由擋板法分析可得答案．【詳解】根據(jù)題意，15個(gè)相同的小球放到三個(gè)編號為1,2,3的盒子中，且每個(gè)盒子內(nèi)的小球數(shù)要多于盒子的編號數(shù)，先在1號盒子里放1個(gè)球，在2號盒子里放2個(gè)球，在3號盒子里放3個(gè)球，則原問題可以轉(zhuǎn)化為將剩下的9個(gè)小球，放入3個(gè)盒子，每個(gè)盒子至少放1個(gè)的問題，將剩下的9個(gè)球排成一排，有8個(gè)空位，在8個(gè)空位中任選2個(gè)，插入擋板，有種不同的放法，即有28個(gè)不同的符合題意的放法；故選B．【點(diǎn)睛】本題考查排列、組合的應(yīng)用，關(guān)鍵是將原問題轉(zhuǎn)化為將個(gè)球放入個(gè)盒子的問題，屬于基礎(chǔ)題．8.函數(shù)f(x)的定義域?yàn)殚_區(qū)間(a，b)，導(dǎo)函數(shù)f′(x)在(a，b)內(nèi)的圖象如圖所示，則函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a，b)內(nèi)的極小值點(diǎn)共有()．A．1個(gè)

B．2個(gè)C．3個(gè)

D．4個(gè)參考答案：A略9.設(shè)雙曲線－＝1(a>0，b>0)的漸近線與拋物線y＝x2＋1相切，則該雙曲線的離心率等于()．參考答案：A略10.三點(diǎn)（3,10），(7,20)，(11,24)線性的回歸方程是

A.

B.

C.

D.

參考答案：B略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知等差數(shù)列的前三項(xiàng)依次為，，，則

．參考答案：12.比較大小：

*

（用“”或“”符號填空）.參考答案：>略13.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，P為雙曲線x2﹣y2=1右支上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若點(diǎn)P到直線x﹣y+1=0的距離大于c恒成立，則實(shí)數(shù)c的最大值為．參考答案：【考點(diǎn)】KC：雙曲線的簡單性質(zhì)．【分析】雙曲線x2﹣y2=1的漸近線方程為x±y=0，c的最大值為直線x﹣y+1=0與直線x﹣y=0的距離．【解答】解：由題意，雙曲線x2﹣y2=1的漸近線方程為x±y=0，因?yàn)辄c(diǎn)P到直線x﹣y+1=0的距離大于c恒成立，所以c的最大值為直線x﹣y+1=0與直線x﹣y=0的距離，即．故答案為：．14.若關(guān)于的不等式至少一個(gè)負(fù)數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是

參考答案：略15.球O內(nèi)有一個(gè)內(nèi)接正方體，正方體的全面積為24，則球O的體積是．參考答案：【考點(diǎn)】球的體積和表面積；球內(nèi)接多面體．【專題】計(jì)算題；空間位置關(guān)系與距離；立體幾何．【分析】由球的正方體的表面積求出球的半徑，然后求體積．【解答】解：因?yàn)榍騉內(nèi)有一個(gè)內(nèi)接正方體，正方體的全面積為24，則正方體的棱長為4，正方體的體對角線為4，所以球O的半徑是2，體積是=32．故答案為：32π；【點(diǎn)評】本題考查了球的內(nèi)接正方體的與球的幾何關(guān)系；關(guān)鍵是求出球的半徑，利用公式求體積．16.過點(diǎn)作圓O：x2+y2=1的切線，切點(diǎn)為N，如果，那么y0的取值范圍是

．參考答案：[﹣1，1]【考點(diǎn)】圓的切線方程．【分析】由，得≥，可得OM≤2，即可求出y0的取值范圍．【解答】解：∵，∴≥，∴OM≤2，∴3+y02≤4，∴﹣1≤y0≤1，故答案為：[﹣1，1]．17.過雙曲線的左焦點(diǎn)，作圓的切線，切點(diǎn)為E，延長FE交雙曲線右支于點(diǎn)P，若，則雙曲線的離心率為_________.參考答案：設(shè)右焦點(diǎn)為F′，則

∵，

∴，

∴E是PF的中點(diǎn)，

∴PF′=2OE=a，

∴PF=3a，

∵OE⊥PF，

∴PF′⊥PF，

∴（3a）2+a2=4c2，

∴.

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知集合A={x∈R|ax2﹣3x+2=0}，其中a為常數(shù)，且a∈R．①若A是空集，求a的范圍；②若A中只有一個(gè)元素，求a的值；③若A中至多只有一個(gè)元素，求a的范圍．參考答案：【考點(diǎn)】集合中元素個(gè)數(shù)的最值．【專題】計(jì)算題；集合．【分析】①A為空集，表示方程ax2﹣3x+2=0無解，根據(jù)一元二次方程根的個(gè)數(shù)與△的關(guān)系，我們易得到一個(gè)關(guān)于a的不等式，解不等式即可得到答案．②若A中只有一個(gè)元素，表示方程ax2﹣3x+2=0為一次方程，或有兩個(gè)等根的二次方程，分別構(gòu)造關(guān)于a的方程，即可求出滿足條件的a值．③若A中至多只有一個(gè)元素，則集合A為空集或A中只有一個(gè)元素，由①②的結(jié)論，將①②中a的取值并進(jìn)來即可得到答案．【解答】解：①若A是空集，則方程ax2﹣3x+2=0無解此時(shí)△=9﹣8a＜0，即a＞②若A中只有一個(gè)元素，則方程ax2﹣3x+2=0有且只有一個(gè)實(shí)根當(dāng)a=0時(shí)方程為一元一次方程，滿足條件當(dāng)a≠0，此時(shí)△=9﹣8a=0，解得：a=∴a=0或a=；③若A中至多只有一個(gè)元素，則A為空集，或有且只有一個(gè)元素由①②得滿足條件的a的取值范圍是：a=0或a≥．【點(diǎn)評】本題考查的知識點(diǎn)是集合元素的確定性及方程根的個(gè)數(shù)的判斷及確定，同時(shí)考查了轉(zhuǎn)化的思想，屬于基礎(chǔ)題．根據(jù)題目要求確定集合中方程ax2﹣3x+2=0根的情況，是解答本題的關(guān)鍵．19.（本小題滿分12分）已知的頂點(diǎn)，在橢圓上，在直線上，且.（1）當(dāng)邊通過坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，求的長及的面積；（2）當(dāng)，且斜邊的長最大時(shí)，求所在直線的方程．參考答案：（1）∵，且邊通過點(diǎn)，∴直線的方程為．設(shè)兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為．由，得．…3分∴．又邊上的高等于原點(diǎn)到直線的距離．∴，．（2）設(shè)所在直線的方程為，由得．因?yàn)锳,B在橢圓上，所以．設(shè)兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為，則，，所以．又因?yàn)榈拈L等于點(diǎn)到直線的距離，即．所以．所以當(dāng)時(shí)，邊最長，（這時(shí)）此時(shí)所在直線的方程為．略20.在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，設(shè)E是棱CC1的中點(diǎn)．（1）求證：BD⊥AE（2）求證：AC∥平面B1DE；（3）求銳二面角E﹣BD﹣C的余弦值．參考答案：【考點(diǎn)】二面角的平面角及求法；直線與平面平行的判定．【分析】（1）連接BD，AE，推導(dǎo)出BD⊥AC，EC⊥BD，由此能證明BD⊥AE．（2）連接AC1，設(shè)AC1∩B1D=G，連接GE，則AC∥GE，由此能證明AC∥平面B1DE．（3）連結(jié)DE、BE，取BD中點(diǎn)O，連結(jié)EO，CO，則EO⊥BD，CO⊥BD，∠EOC是二面角E﹣BD﹣C的平面角，由此能求出二面角E﹣BD﹣C的余弦值．【解答】證明：（1）連接BD，AE，∵四邊形ABCD為正方形，∴BD⊥AC，∵E是棱CC1的中點(diǎn)，∴EC⊥底面ABCD，∵BD?面ABCD，∴EC⊥BD，又EC∩AC=C，∴BD⊥平面AEC，∵AE?平面AEC，∴BD⊥AE．（2）連接AC1，設(shè)AC1∩B1D=G，連接GE，則G為AC1中點(diǎn)，而E為C1C的中點(diǎn)，∴GE為三角形ACC1的中位線，∴AC∥GE，∵GE?平面B1DE，AC?平面B1DE，∴AC∥平面B1DE．解：（3）連結(jié)DE、BE，設(shè)正方體ABCD﹣A1B1C1D1中棱長為2，則CE=1，DE=BE==，