6.3.5平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示

導(dǎo)學(xué)案

編寫:XXX初審:XXX終審:XXX廖云波

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

1.會用坐標(biāo)表示平面向量的數(shù)量積.

2.能夠用向量坐標(biāo)求數(shù)量積、模及兩個向量的夾角.

3.能夠利用坐標(biāo)判斷向量的垂直關(guān)系.

【自主學(xué)習(xí)】

知識點1面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示

若a＝(x1,y1),b＝(x2,y2),則a·b＝x1x2＋y1y2.

即兩個向量的數(shù)量積等于相應(yīng)坐標(biāo)乘積的和．

知識點2平面向量長度(模)的坐標(biāo)表示

(1)向量模公式:設(shè)a＝(x1,y1),則|a|＝x12＋y12.

(2)兩點間距離公式:若A(x1,y1),B(x2,y2),

知識點3兩向量垂直的坐標(biāo)表示

設(shè)兩個非零向量a＝(x1,y1),b＝(x2,y2),

則a⊥b?x1x2＋y1y2＝0.

a·bx1x2＋y1y2|a||b|＝x21＋y21x22＋ya·bx1x2＋y1y2|a||b|＝x21＋y21x22＋y2

設(shè)兩非零向量a＝(x1,y1),b＝(x2,y2),a與b的夾角為θ,

則cosθ＝

(1)設(shè)a＝λb＝(λ,2λ)(λ>0),則有a·b＝λ＋4λ＝10,∴λ＝2,∴a＝(2,4)．((1)設(shè)a＝λb＝(λ,2λ)(λ>0),則有a·b＝λ＋4λ＝10,∴λ＝2,∴a＝(2,4)．(－16,－8)∵a·b＝2×(－1)＋3×(－2)＝－8,(－8,－12)

探究一平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算

【例1】已知a與b同向,b＝(1,2),a·b＝10.

(1)求a的坐標(biāo);

(2)若c＝(2,－1),求a(b·c)及(a·b)c.

解

(2)∵b·c＝1×2－2×1＝0,a·b＝1×2＋2×4＝10,

∴a(b·c)＝0a＝0,

(a·b)c＝10(2,－1)＝(20,－10)．

歸納總結(jié):進行向量的數(shù)量積運算,前提是牢記有關(guān)的運算法則和運算性質(zhì).解題時通常有兩條途徑:一是先將各向量用坐標(biāo)表示,直接進行數(shù)量積運算;二是先利用數(shù)量積的運算律將原式展開,再依據(jù)已知計算.

【練習(xí)1】若a＝(2,3),b＝(－1,－2),c＝(2,1),則(a·b)·c＝____________;a·(b·c)＝____________.

正確答案

詳細解析

∴(a·b)·c＝－8×(2,1)＝(－16,－8)．

∵b·c＝(－1)×2＋(－2)×1＝－4,

∴a·(b·c)＝(2,3)×(－4)＝(－8,－12)．

B．(9,－4)D．(7,－6)(1)∵向量AB→與向量a＝(－3,4)的夾角為π,－3k2＋4k2＝10,m－1＝6設(shè)點B．(9,－4)D．(7,－6)(1)∵向量AB→與向量a＝(－3,4)的夾角為π,－3k2＋4k2＝10,m－1＝6設(shè)點D的坐標(biāo)為(x,y),n－2＝－8，

【例2】向量AB→與向量a＝(－3,4)的夾角為π,|AB→|＝10,若點A的坐標(biāo)是(1,2),則點B的坐標(biāo)為()

A．(－7,8)

C．(－5,10)

[詳細解析]

∴設(shè)AB→＝ka＝k(－3,4)＝(－3k,4k)(k<0)．

由此可得|AB→|＝

解之得k＝－2(k＝2舍去)．

∴AB→＝(6,－8),

設(shè)B(m,n),得AB→＝(m－1,n－2)＝(6,－8),

則有解得m＝7,n＝－6,

∴B(7,－6),故選D.

歸納總結(jié):

(1)要求向量的模需先由條件求出向量的坐標(biāo),再求模．

(2)已知向量的模求坐標(biāo),要設(shè)出坐標(biāo)列方程(組)求解．

【練習(xí)2】已知在△ABC中,A(2,－1)、B(3,2)、C(－3,－1),AD為BC邊上的高,求|AD→|與點D的坐標(biāo)．

解

x－3＝－6λ，y－2＝－3λ.x＝1，－12＋22＝5,D(1,1)．5,

則AD→＝(x－2,y＋1),BC→＝(－6,－3),x－3＝－6λ，y－2＝－3λ.x＝1，－12＋22＝5,D(1,1)．5,

BD→＝(x－3,y－2),

∵D在直線BC上,即BD→與BC→共線,

∴存在實數(shù)λ,使BD→＝λBC→,

即(x－3,y－2)＝λ(－6,－3)．

∴

∴x－3＝2(y－2),即x－2y＋1＝0.①

又∵AD⊥BC,∴AD→·BC→＝0,

即(x－2,y＋1)·(－6,－3)＝0,

∴－6(x－2)－3(y＋1)＝0.

即2x＋y－3＝0.②

由①②可得y＝1，

即D點坐標(biāo)為(1,1),AD→＝(－1,2)．

∴|AD→|＝

即|AD→|＝

探究向量的夾角與垂直問題

)12,＋∞)23,＋∞)A∵a與b的夾角θ為銳角,7因為a＋b＝(m－1,3),a＋b與a垂直,)B.π45210×5＝C.π32D.π2

【例3-1】已知a＝(1,－2),b＝(1,λ),且a與b的夾)12,＋∞)23,＋∞)A∵a與b的夾角θ為銳角,7因為a＋b＝(m－1,3),a＋b與a垂直,)B.π45210×5＝C.π32D.π2

A．(－∞,－2)∪(－2,12)

B．(

C．(－2,23)∪(

D．(－∞,12)

[正確答案]

[詳細解析]

∵cosθ>0且cosθ≠1,即a·b>0且a與b方向不同,

即a·b＝1－2λ>0,且a≠mb(m>0),

解得λ∵(－∞,－2)∵(－2,12)．故選A.

【例3-2】已知向量a＝(－1,2),b＝(m,1)．若向量a＋b與a垂直,則m＝________.

[正確答案]

[詳細解析]

所以(m－1)×(－1)＋3×2＝0,

解得m＝7.

【例3-3】已知a＝(3,－1),b＝(1,－2),則a與b的夾角為(

A.π6

正確答案B

詳細解析∵|a|＝10,|b|＝5,a·b＝5.

∴cos〈a,b〉＝a·b|a||b|＝.

又∵a,b的夾角范圍為π．

aba·b設(shè)a與b的夾角為θ,.aba·b設(shè)a與b的夾角為θ,.

歸納總結(jié):根據(jù)向量的坐標(biāo)表示求與的夾角時,需要先求出及|a|,|b|,再求夾角的余弦值,從而確定θ.

【練習(xí)3-1】已知a＝(1,2),b＝(1,λ),分別確定實數(shù)λ的取值范圍,使得:

(1)a與b的夾角為直角;

(2)a與b的夾角為鈍角;

(3)a與b的夾角為銳角．

解

則a·b＝(1,2)·(1,λ)＝1＋2λ.

(1)因為a與b的夾角為直角,所以cosθ＝0,

所以a·b＝0,所以1＋2λ＝0,所以λ＝－12.

(2)因為a與b的夾角為鈍角,所以cosθ<0且cosθ≠－1,

所以a·b<0且a與b不反向．

由a·b<0得1＋2λ<0,故λ<－12,

由a與b共線得λ＝2,故a與b不可能反向．

所以λ的取值范圍為－∞，－12

(3)因為a與b的夾角為銳角,所以cosθ>0,且cosθ≠1,

a與b同向得λ＝2.b＝12a＋12(－1,－1)＝(1,1),a·b6|a|·|b|＝6＝1.

所以a·b>a與b同向得λ＝2.b＝12a＋12(－1,－1)＝(1,1),a·b6|a|·|b|＝6＝1.

由a·b>0,得λ>－12,由

所以λ的取值范圍為－12，2∪(2,＋∞)．

【練習(xí)3-2】設(shè)向量a與b的夾角為θ,且a＝(3,3),2b－a＝(－1,－1),cosθ＝________.

[正確答案]1

[詳細解析]

a·b＝6.又|a|＝32,

所以cosθ＝

b12ab=c）B.60°mcb1,且向量b,c60°,則B.20,因為a12m,C.120°的夾角為C.cb=1,所以,,bD.150°c（2b12ab=c）B.60°mcb1,且向量b,c60°,則B.20,因為a12m,C.120°的夾角為C.cb=1,所以,,bD.150°c（233c2(3,1)）D.abcbcb,若向量a在向量b方向上的投影為－2,則向量a與向量b3=1,所以

A組基礎(chǔ)題

一、選擇題

1.若單位向量a,b滿足a,向量c滿足a

A.

【正確答案及詳細解析】:B

【詳細分析】

由向量垂直得其數(shù)量積為0,從而由向量數(shù)量積的運算律可求得cb,再由數(shù)量積的定義可得

模．

【詳細詳細解析】因為,所以ab

cb=cbcos60

故選:B.

2.已知向量a

的夾角是（

A.30°

【正確答案及詳細解析】:C

【詳細分析】

由已知結(jié)合向量數(shù)量積的定義可求,然后根據(jù)向量夾角公式即可求解．

【詳細詳細解析】解:由數(shù)量積的定義知向量a在向量b方向上的投影為

ab|b|a|1,|b|124a2b12bab|a||b|3,且a,則|2ab|（B.4ab4a212,B.-123m2與b的夾角為13b2求解即可.4abb1C.262ab|b|a|1,|b|124a2b12bab|a||b|3,且a,則|2ab|（B.4ab4a212,B.-123m2與b的夾角為13b2求解即可.4abb1C.26214226C.1b2,則a在b方向上的射影為（32,所以夾角a）D.13441）D.,所以m,b32323,12031..32

所以cosa,b

故選:C.

3.已知向量a,b滿足|

A.

【正確答案及詳細解析】:C

【詳細分析】

根據(jù)|2ab

【詳細詳細解析】詳細解析:|2a

【點睛】本題主要考查了平面向量的數(shù)量積與模長的運算等,屬于基礎(chǔ)題.

4.已知ab

A.

【正確答案及詳細解析】:B

【詳細分析】

ab由于a在b方向上的射影為,代入值直接求解即可.

abB.1ab,再根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示,得到關(guān)于m5,mbbb

bb2m112,1=5,mC.2,b3,mb121,bD.－2abB.1ab,再根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示,得到關(guān)于m5,mbbb

bb2m112,1=5,mC.2,b3,mb121,bD.－22,02,12,2022,2,,若a,則實數(shù)m=(bb)

所以a在b方向上的射影為b

故選:B

5.已知向量a

A.－1

【正確答案及詳細解析】:B

【詳細分析】

根據(jù)向量坐標(biāo)的線性運算得到的方程,解出m

的值,得到正確答案.

【詳細詳細解析】因為向量a

所以a

因為a,

所以a

所以6

解得m.

故選:B.

a1b26b)b0,babb

babb23ba|23B.,即可求ab,利用cosabba2b2143320,5656(ab3ab2,即可求解.bcosa,3a1b26b)b0,babb

babb23ba|23B.,即可求ab,利用cosabba2b2143320,5656(ab3ab2,即可求解.bcosa,3,,4b),則向量a,b的夾角為（）C.b結(jié)合32,）231b2D.212ab52156122,123,

A.

【正確答案及詳細解析】:D

【詳細分析】

先求ab,進而可求(a,再求ab

【詳細詳細解析】abab

ab·

設(shè)向量a與b的夾角為,abcos

因為

所以

所以a與b的夾角為.

故選:D

7.若|,|b|=1,且a

B.60°1a|24b),ba6b)b,可得abba,bb)C.120°(a0ab|a||b|2b4是非零向量,且(a0,abD.150°4b),a2,且(aC.0.根據(jù)數(shù)量積的運算律和定義,可求a與bB.60°1a|24b),ba6b)b,可得abba,bb)C.120°(a0ab|a||b|2b4是非零向量,且(a0,abD.150°4b),a2,且(aC.0.根據(jù)數(shù)量積的運算律和定義,可求a與bbb24ab0ab112b)3的夾角.,0,ab,,,又向量夾角的范圍為0,,bD.b2,,則a與b的夾角為（23）

【正確答案及詳細解析】:B

【詳細分析】

由向量垂直則數(shù)量積為零,求得ab,再根據(jù)夾角公式求得結(jié)果.

【詳細詳細解析】根據(jù)題意,由于向量|,|b|=1,且a

a(a

故cosa

故可知向量a,b的夾角為60.

故選:B．

8.已知非零向量a、b滿足

A.

【正確答案及詳細解析】:C

【詳細分析】

由(a

【詳細詳細解析】

abb

bcosn”是“B.必要而不充分條件D.既不充分也不必要條件mn,0,m2n是b,3m2n2nm2.2nm2nm2n2m2nam2n也可得mn0,再根據(jù)充分條件和必要條,n4n2m2n2bcos”的（m2bcosn”是“B.必要而不充分條件D.既不充分也不必要條件mn,0,m2n是b,3m2n2nm2.2nm2nm2n2m2nam2n也可得mn0,再根據(jù)充分條件和必要條,n4n2m2n2bcos”的（m2的充分必要條件）2mbabn4n2221,

a

故選:C

9.設(shè)非零向量m,n則“m

A.充分而不必要條件

C.充分必要條件

【正確答案及詳細解析】:C

【詳細分析】

根據(jù)mn可得mn0,由

件的定義來判斷即可.

【詳細詳細解析】因為m

所以mn

因為

兩邊平方可得:m

即mn0,

由充分條件和必要條件可判斷出m

故選:C

aba+ba+b21,2,bbbab333+2ab3,3,b的坐標(biāo),由兩垂直向量的數(shù)量積關(guān)系即可判斷.3,3,ab=0,abab,則a與b的夾角是_________.兩邊平方,代值計算即可.兩邊平方后,得:cos32,1,則ab與a.baba+ba+b21,2,bbbab333+2ab3,3,b的坐標(biāo),由兩垂直向量的數(shù)量積關(guān)系即可判斷.3,3,ab=0,abab,則a與b的夾角是_________.兩邊平方,代值計算即可.兩邊平方后,得:cos32,1,則ab與a.b1,1,,ab的夾角等于.12的夾角等于______.b.2

10.已知單位向量a,b滿足|

【正確答案及詳細解析】:3

【詳細分析】

將

【詳細詳細解析】設(shè)a與b的夾角是,由題意

a2b

因為a,b為單位向量,11+2cos,

0

故正確答案為:3.

11.若向量a

2

【詳細分析】

求出a與a

【詳細詳細解析】aab

2

1,0,bb1,m2,且amab01012

1211e223a12ab1,mm3e22123e220,解得721)e0e.,若a1,0,bb1,m2,且amab01012

1211e223a12ab1,mm3e22123e220,解得721)e0e.,若a3e,又單位向量e,e的夾角是,即可得方程求值,a0,而單位向量e,e的夾角是32mabe232

12,則m,若ae3_________.e,知:(3e,則實數(shù)e1)e220

【正確答案及詳細解析】:1

【詳細分析】

利用向量垂直的表示列方程,解方程求得m的值.

【詳細詳細解析】因為ma,故m,解得m.

故正確答案為:1

13.已知單位向量e,e的夾角是,向量a

2

【詳細分析】

根據(jù)題設(shè)知(3e

【詳細詳細解析】由向量a

∴3ee12

cos

2

三、參考解答題

14.已知向量a與向量b的夾角為3,且,

b322ab2aba1bb3b1b3ab)(a(1a521772bcos3b))abb,求進行平方,然后利用平面向量數(shù)量積的運算性質(zhì),結(jié)合平面向量數(shù)量積得4a2b310b20b322ab2aba1bb3b1b3ab)(a(1a521772bcos3b))abb,求進行平方,然后利用平面向量數(shù)量積的運算性質(zhì),結(jié)合平面向量數(shù)量積得4a2b310b201(13sinx203得),2sin;1232x,n4ab3290b22cosx7,sin,521x,0,函數(shù)

（2）若a

【正確答案及詳細解析】:（1）;（2）

【詳細分析】

（1）對

的定義進行求解即可;

（2）根據(jù)平面向量垂直的性質(zhì),結(jié)合平面向量數(shù)量積的運算性質(zhì)和（1）的結(jié)論進行求解即

可.

【詳細詳細解析】（1）由

已知向量a與向量b的夾角為3,且,

所以化簡得;

解得或（舍去）

∵;

ab

（2）由(a

a2

15.已知平面向量m

xmn643x表達式,結(jié)合xfffcos2x12sin2x1x圖象的兩條相鄰的對稱軸之間的距離為20,所以Tx2,,kfx的單調(diào)減區(qū)間.x在區(qū)間xmn,即T22262．k6423sinx212x上的最值．5xmn643x表達式,結(jié)合xfffcos2x12sin2x1x圖象的兩條相鄰的對稱軸之間的距離為20,所以Tx2,,kfx的單調(diào)減區(qū)間.x在區(qū)間xmn,即T22262．k6423sinx212x上的最值．56,cos66x2sin2x.T1.2kZ;（Ⅱ）最小值為1,最大值為上的最值．,32,

（Ⅰ）求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間;

（Ⅱ）求函數(shù)f(x)在區(qū)間

【正確答案及詳細解析】:（Ⅰ）k

31.

【詳細分析】

（Ⅰ）利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算、二倍角公式、輔助角公式化簡f

圖象的兩條相鄰的對稱軸之間的距離求得,利用整體代入法求得

（Ⅱ）利用三角函數(shù)最值的求法,求得函數(shù)

【詳細詳細解析】（Ⅰ）

3sin2x

f

由于

f2sin2x

由2k

f6f3x的單調(diào)遞減區(qū)間為kx36x在區(qū)間x3264k,k42,231.,k,所以56562x2sin2x上的最小值為1,最大值為,f6f3x的單調(diào)遞減區(qū)間為kx36x在區(qū)間x3264k,k42,231.,k,所以56562x2sin2x上的最小值為1,最大值為,631.Z.36,3,

所以

6

1sin2x

12sin2x1

所以

,n滿足:34(mn)0mn(mn)0mn4mnB.m(mm,OBm．m,m(m23,作圖表示向量mn和m,由向量減法法則得n,n),n滿足:34(mn)0mn(mn)0mn4mnB.m(mm,OBm．m,m(m23,作圖表示向量mn和m,由向量減法法則得n,n)mnBA,所以O(shè)BA,n)0C.,,則4,則mn與n夾角的大小為（3m(m）4n),

一、選擇題

1.非零向量m

A.

【正確答案及詳細解析】:.A

【詳細分析】

由m得向量垂直,

從而可得夾角．

【詳細詳細解析】因為m,所以m

如圖OA

又

,BA

故選:A．

）B.abab

abab401,121,4b1,4,則ab123,向量a在bC.3,根據(jù)向量模的方法求得,再根據(jù)a3,則b4bb20.方向上的投影為-4,若13,最后根據(jù)平面向量垂直的性質(zhì),即可求出實數(shù)的值.b）B.abab

abab401,121,4b1,4,則ab123,向量a在bC.3,根據(jù)向量模的方法求得,再根據(jù)a3,則b4bb20.方向上的投影為-4,若13,最后根據(jù)平面向量垂直的性質(zhì),即可求出實數(shù)的值.babb,即4D.bb,,∴ab23在b方向上的投影為-4,求得13b20,b,則實數(shù)的值為2b022,,

量的夾角,方法簡便．

2.已知向量b

（

A.3

【正確答案及詳細解析】:B

【詳細分析】

由b

【詳細詳細解析】解:由題可知b

∵a在b方向上的投影為4,

∴

又

即

則8,解得:

B.aba3babOABbB.5cos,sin7abcos,sin,27OAa2pabC.3,bC.2,bab.,則D.121,等于（1,D.12a2b）2ab,OP,則a2,若a與b的夾角為,則（cos22abB.aba3babOABbB.5cos,sin7abcos,sin,27OAa2pabC.3,bC.2,bab.,則D.121,等于（1,D.12a2b）2ab,OP,則a2,若a與b的夾角為,則（cos22ab56sin21b2p）,同理a,若a4,22abcos56b121233732

3.已知向量a

A.2

【正確答案及詳細解析】:B

【詳細分析】

求出、,利用平面向量數(shù)量積的運算性質(zhì)求出的值,即可得解.

【詳細詳細解析】

b

a

,

因此,

故選:B.

4.如圖所示,在OAB中,設(shè)P為的外心,向量,OB

A.6

2aAB中點C,連接CP的外心,ABab2A.ba2c）,OCCPABOPBACP,,根據(jù)數(shù)量積的運為的垂直平分線,OCCPBA12ab2aAB中點C,連接CP的外心,ABab2A.ba2c）,OCCPABOPBACP,,根據(jù)數(shù)量積的運為的垂直平分線,OCCPBA12ab0,又OCBAOCBACPBA1,12ab,BAaba2,b164621.

【詳細分析】

AB中點C,根據(jù)平面向量線性運算將所求數(shù)量積化為

算律可求得結(jié)果.

【詳細詳細解析】取,

P為OAB

pab

CP

pabab

故選:

5.已知a、b、c是在同一平面內(nèi)的單位向量,若a與b的夾角為60°,則a的

最大值是（

12ab

單位向量a與b的夾角為60,則abb2aab2abc1CADAEAF______．3B.－2b

的最大值.a222ADC.12ab

單位向量a與b的夾角為60,則abb2aab2abc1CADAEAF______．3B.－2b

的最大值.a222ADC.a2ab1232bcos60b21211ab12abc,212cos2,12,則,2cosAB,12BC2CA124,E、F分別為邊BC、52

【正確答案及詳細解析】:D

【詳細分析】

計算出的值,設(shè)向量a與c的夾角為,利用平面向量數(shù)量積運算律和定義可求得aba2c

【詳細詳細解析】

a

所以,aba2c

.

故選:D.

二、填空題

6.如圖,在平面四邊形ABCD中,

CD的中點,則

【正確答案及詳細解析】:6

A為坐標(biāo)原點,CA、AF的坐標(biāo),利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算計算出AEAF的值.A為坐標(biāo)原點,CA、xAyA0,0F2,1E3,AEAF231363.BAA為坐標(biāo)原點,CA、AF的坐標(biāo),利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算計算出AEAF的值.A為坐標(biāo)原點,CA、xAyA0,0F2,1E3,AEAF231363.BAC120BA,3,2,,BMAF3BCAE3,.32,13,BC123,BA,則MAMC

以點、AD分別為x軸、y軸的正方向建立平面直角坐標(biāo)系xAy,計算出

AE

【詳細詳細解析】以點AD分別為x軸、y軸的正方向建立如下圖所

示的平面直角坐標(biāo)系,

則點、、

因此,

故正確答案為:6

【點睛】本題考查平面向量數(shù)量積的計算,一般利用基底法和坐標(biāo)法進行計算,考查計算能力,

屬于中等題.

7.在△ABC中,若

______.

62ACBC2AC5BO垂直AC6,

361,建立平面直角坐標(biāo)系,根據(jù)BM20,因為AC,故解得ACx軸,

0,B0,3Ax,y故3

y3AB20y軸建立平面直1BC31213AC261.,623363BC2ABAC1,01BA,故x,2132,12cos120,即.yx,解得36BA求出M36,13y263162ACBC2AC5BO垂直AC6,

361,建立平面直角坐標(biāo)系,根據(jù)BM20,因為AC,故解得ACx軸,

0,B0,3Ax,y故3

y3AB20y軸建立平面直1BC31213AC261.,623363BC2ABAC1,01BA,故x,2132,12cos120,即.yx,解得36BA求出M36,13y2631,633112363,即M126,,33612,633614.4366112623

【詳細分析】

利用余弦定理可求得

的坐標(biāo),進而求得MAMC即可.

【詳細詳細解析】由余弦定理可得

AC2

過B作的延長線于O,再以O(shè)為坐標(biāo)原點,OC為OB為

角坐標(biāo)系.則C

設(shè)M,因為BM

x

故MAMC

623AD,AC2EFED6,,則實數(shù)的值為_______．EF3AD,ACED11133ACAC0,1,3AFED1EF13AFAD623AD,AC2EFED6,,則實數(shù)的值為_______．EF3AD,ACED11133ACAC0,1,3AFED1EF13AFAD不垂直,即EDEDBC,且111330,AF6,BCAC,進而可求得實數(shù)的值.ADEDAB,AB,AF13131,由題意得知與AC不垂直,由ED可1ACEDEF3AC,ED1AC3ABAC113

8.在銳角△ABC中,點D、E、F分別在邊AB、BC、CA上,若AB

BCED

【正確答案及詳細解析】:3

【詳細分析】

將表示為

【詳細詳細解析】如下圖所示:

AB

EF

EDBCAC

ABC是銳角三角形,則ED與

ED

EDEFAC30,AC,,,若點P是△ABC所在平面內(nèi)一點,且PBPCA0,0BtC0,t,ED3113ABACtABABEDEFAC30,AC,,,若點P是△ABC所在平面內(nèi)一點,且PBPCA0,0BtC0,t,ED3113ABACtABAB4t,EDBC11EDAC01t1t1,031ED034ACAC,再利用1,,,因此,.,則PBPC的最大值等于________.113ACED2311133EDBCEDAC

3

EDAC

故正確答案為:3.

9.已知AB

AP

【正確答案及詳細解析】:13

【詳細分析】

建立直角坐標(biāo)系,由向量式的幾何意義易得P的坐標(biāo),可化為17

基本不等式求得它的最大值.

【詳細詳細解析】解:由題意建立如圖所示的坐標(biāo)系,可得,

1,41,t14tABAB11t4tt1,41,t14tABAB11t4tt,即t4ACAC,PC4174t121t時,取等號41724t1t13,

P1,4,

PB

PBPC

t

PBPC的最大值為13,

故正確答案為:13.

【點睛】本題考查平面向量數(shù)量積的運算,涉及基本不等式求最值,屬中檔題.

三、參考解答題

（f(x)Pf12f(x)f(x)abab(cosx,sinx)R(ab)2ab{h(x)|h(x)x時,(cos)f(x)2f(x)2(cosx,sinx))2cosxsin3322）.,并求當(dāng)時方程的解集;h(x)2sinxf(x)3（f(x)Pf12f(x)f(x)abab(cosx,sinx)R(ab)2ab{h(x)|h(x)x時,(cos)f(x)2f(x)2(cosx,sinx))2cosxsin3322）.,并求當(dāng)時方程的解集;h(x)2sinxf(x)332x,sin2x化簡變形可得結(jié)果.3322(22,b1f(x)2212sinxP,b,bcos32xsin3x(sinx2,cos,D是函數(shù)h(x)與h(x定義域的交集且D不是,,(sinx2,cos(sinx2,cosx2)2sinxcosx2))x12x(ab2)x2)(xcos3x22（6時,代入,sinx2kxf(x)f(x)ab32kZ）,令f(x)或P)2x2)2,k56中化簡,可2k,

(ab)2ab

（1）化簡

（2）已知集合

空集},判斷元素f(x)與集合P的關(guān)系,說明理由.

【正確答案及詳細解析】:（1）

kZ;

（2）

【詳細分析】

（1）直接將向量a

求出的詳細解析式,再解方程即可;

（2）由

【詳細詳細解析】解:（1）因為a

f(x)

212sinxsin(x)212sinxsinx1f(x)f(x)2xxxxf(x)1212,22sinxsinx12212sinxsin(x)212sinxsinx1f(x)f(x)2xxxxf(x)1212,22sinxsinx1266f(x)22,時,,2kx2kx12sinxsinx12sinxf(x)或或2212sinxP565622sinx,當(dāng)212sin(x)sin(x)122kZ2k,時,,k,kZf(x)P

當(dāng)時,

由得,sin

解得

（2）當(dāng)

化簡得,

解得

所以當(dāng)

【點睛】此題考查向量的數(shù)量積和向量的加法運算,考查了三角函數(shù)恒等變形公式,屬于中檔

題.

atcabacbcabacatcbcbac

2

cbt2cbcbactcb22cbacatcabacbcabacatcbcbac

2

cbt2cbcbactcb22cbac0acbcAB4ACAPAQ）1tD.ac1t

01t

cbac2cbac

243,BC8,動點P自點C出發(fā)沿線段CB運動,到達點BbB.acbc,化簡得到ac1t

2

2

22

.aabbc4cbac,化簡整理得到:

21tcb02c2,t0,R則（）

一、選擇題

1.設(shè)a,b,c為非零不共線向量,若

A.

C.

【正確答案及詳細解析】:D

【詳細分析】

atc1tbcbac

故cb,得到正確答案.

【詳細詳細解析】,故ac1t

1t

即,

4cbac0,故cb0,故ac

故選:D.

2.已知△ABC中,,

時停止,動點Q自點B出發(fā)沿線段BC運動,到達點C時停止,且動點Q的速度是動點P的2

倍.若二者同時出發(fā),且一個點停止運動時,另一個點也停止,則該過程中的最大值是

（

722CPABAC,ABC60,ACB30ACCPABABAC2BQAC2722B.4CP4,ACBC2,2CPACCPAB2CP3214CP2CP時,722CPABAC,ABC60,ACB30ACCPABABAC2BQAC2722B.4CP4,ACBC2,2CPACCPAB2CP3214CP2CP時,.C.的一元二次函數(shù),配方,即可求得43,BC8,AB,BQACABcos30CPAPAQ取得最大值,492AC,ACBQCPABCPBCP4D.23ABCQABcos601272260,ACBCP2CP302CP249.cos1802,

【正確答案及詳細解析】:C

【詳細分析】

由題意BQ,,故

APAQBQ,展開可得關(guān)于

APAQ的最大值.

【詳細詳細解析】△ABC中,

AB2

由題意

APAQ

0

432CP

2CP

當(dāng)CP

故選:C.

e|1,aeb(1,0),ay2(1,0),ab4,則a1yy2b2144a0得出18ab382ab1(x,y),b11y12(x,y),b112122ac22c4b821(x,y22e|1,aeb(1,0),ay2(1,0),ab4,則a1yy2b2144a0得出18ab382ab1(x,y),b11y12(x,y),b112122ac22c4b821(x,y223,由此表示出ab2(x,y22aby21,2cabb2cab,最后通過4a2|4,則ab)1yy)e1b22、2ab4ab的最小值為_____由ae,b可求x,x,再代入|a(y,由,be1得:,16,解得:23y24a0,則2ab,然后根據(jù)2ca2b2b3)24x1xy2(y,c的24ab即可得出結(jié)果.24ab,1,從而可求出最小值.1

2y3)2c4be123,41,|4,可2

3.已知平面向量a,b,e滿足|,be,|a

【正確答案及詳細解析】:－4

【詳細分析】

設(shè)e

得

【詳細詳細解析】設(shè)e

又|a

ab12

故ab的最小值為-4.

故正確答案為:-4.

4.已知平面向量a、b、c滿足

取值范圍是______.

【正確答案及詳細解析】:

【詳細分析】

可根據(jù)c

ab

【詳細詳細解析】

4a0,b2cab2ab24ab2ab214A90,2xxc4b4cab16ab0222222222BCxCAyCB,則x22yyDA知,D在邊CA的延長線上,且A為CDa22ab4a0,b2cab2ab24ab2ab214A90,2xxc4b4cab16ab0222222222BCxCAyCB,則x22yyDA知,D在邊CA的延長線上,且A為CDa22abab1,214,2,點D滿足DA2y__________;,12,根據(jù)條件分別計算和|CE的中點,,18ab2ab572,AC,點E是CA在CE上的投影的取值范圍x22cabb2