多目標(biāo)規(guī)劃數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)201907多目標(biāo)規(guī)化模型■多目標(biāo)規(guī)劃是數(shù)學(xué)規(guī)劃的一個(gè)分支。研究多于一個(gè)的目標(biāo)函數(shù)在給定區(qū)域上的最優(yōu)化。又稱多目標(biāo)最優(yōu)化。通常記為MoP(mutiobjectiveprogramming在很多實(shí)際問題中,例如經(jīng)濟(jì)、管理、軍事科學(xué)和工程設(shè)計(jì)等領(lǐng)域,衡量一個(gè)方案的好壞往往難以用一個(gè)指標(biāo)來判斷,而需要用多個(gè)目標(biāo)來比較,而這些目標(biāo)有時(shí)不甚協(xié)調(diào)甚至是矛盾的。因此有許多學(xué)者致力于這方面的研究。例如,對(duì)企業(yè)產(chǎn)品的生產(chǎn)管理,既希望達(dá)到高利潤,又希望優(yōu)質(zhì)和低消耗,還希望減少對(duì)環(huán)境的污染等。這就是一個(gè)多目標(biāo)決策的問題。又如選購一個(gè)好的計(jì)算機(jī)系統(tǒng),似乎只有一個(gè)目標(biāo),但由于要從多方面去反映,要用多個(gè)不同的準(zhǔn)則來衡量,比如,性能要好,維護(hù)要容易,費(fèi)用要省。這些準(zhǔn)則自然構(gòu)成了多個(gè)目標(biāo),故也是一個(gè)多目標(biāo)決策問題。一般來說,多目標(biāo)決策問題有兩類。類是多目標(biāo)規(guī)劃問題,其對(duì)象是在管理決策過程中求解使多個(gè)目標(biāo)都達(dá)到滿意結(jié)果的最優(yōu)方案。另一類是多目標(biāo)優(yōu)選問題,其對(duì)象是在管理決策過程中根據(jù)多個(gè)目標(biāo)或多個(gè)準(zhǔn)則衡量和得出各種備選方案的優(yōu)先等級(jí)與排序。多目標(biāo)決策由于考慮的目標(biāo)多,有些目標(biāo)之間又彼此有矛盾,這就使多目標(biāo)間題成為一個(gè)復(fù)雜而困難的問題.但由于客觀實(shí)際的需要,多目標(biāo)決策問題越來越受到重視,因而出現(xiàn)了許多解決此決策問題的方法.一般來說,其基本途徑是,把求解多目標(biāo)問題轉(zhuǎn)化為求解單目標(biāo)問題.其主要步驟是,先轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)問題,然后和用單目標(biāo)模型的方法,求出單目標(biāo)模型的最優(yōu)解,以此作為多目標(biāo)問題的解化多目標(biāo)問題為單目標(biāo)問題的方法大致可分為兩類,一類是轉(zhuǎn)化為一個(gè)單目標(biāo)問題,另一類是轉(zhuǎn)化為多個(gè)單目標(biāo)問題,關(guān)鍵是如何轉(zhuǎn)化以下,我們會(huì)介紹幾種主要的轉(zhuǎn)化方法:主要目標(biāo)法、線性加權(quán)和法、字典序法、步驟法。、多目標(biāo)規(guī)劃及其解■多目標(biāo)規(guī)劃包含有三大要素:目標(biāo)、方案和決策者。在多目標(biāo)規(guī)劃中,目標(biāo)有多層次的含義。從最高層次來看目標(biāo)代表了問題要達(dá)到的總目標(biāo)。如確定最滿意的投資項(xiàng)目、選擇最滿意的食品。從較低層次來看,目標(biāo)可看成是體現(xiàn)總目標(biāo)得以實(shí)現(xiàn)的各個(gè)具體的目標(biāo),如投資項(xiàng)目的盈利要大、成本要低、風(fēng)險(xiǎn)要小;目標(biāo)也可看成衡量總目標(biāo)得以實(shí)現(xiàn)的各個(gè)準(zhǔn)則,如食品的味道要好,質(zhì)量要好,花費(fèi)要少。多目標(biāo)規(guī)劃中的方案即為決策變量,也稱為多目標(biāo)問題的解。備選方案即決策問題的可行解。在多目標(biāo)決策中,有些問題的方案是有限的,有些問題的方案是無限的。方案有其特征或特性,稱之為屬性。(一)任何多目標(biāo)規(guī)劃問題,都由兩個(gè)基本部分組成:(1)兩個(gè)以上的目標(biāo)函數(shù);(2)若干個(gè)約束條件。(二)對(duì)于多目標(biāo)規(guī)劃問題,可以將其數(shù)學(xué)模型一般地描寫為如下形式:max(minix)max(mio=F(X)=max(miy)(X)(1)max(miy(X)q1(X)81(2)④D(X)a2(X)≤G:(X)式中:Xp-;y為決策變量向量如果將(1)和(2)式進(jìn)一步縮寫,即:max(minZ=F(X)(3)Φ(x)≤G(4)式中:Z=F(X是k維函數(shù)向量,k是目標(biāo)函數(shù)的個(gè)數(shù);d(X是m維函數(shù)向量;G是m維常數(shù)向量;m是約束方程的個(gè)數(shù)。對(duì)于線性多目標(biāo)規(guī)劃問題,(3)和(4)式可以進(jìn)一步用矩陣表示:max(min)Z=AX(5)BX<6(6)式中:X為n維決策變量向量;A為k×n矩陣,即目標(biāo)函數(shù)系數(shù)矩陣;B為m×n矩陣,即約束方程系數(shù)矩陣;b為m維的向量,約束向量。(三)多目標(biāo)規(guī)劃解的特點(diǎn)對(duì)于上述多目標(biāo)規(guī)劃問題,求解就意味著需要做出如下的復(fù)合選擇:(1)每一個(gè)目標(biāo)函數(shù)取什么值,原問題可以得