四川省成都市新民場(chǎng)中學(xué)高三數(shù)學(xué)理上學(xué)期摸底試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知雙曲線的右焦點(diǎn)F，直線與其漸近線交于A，B兩點(diǎn)，且為鈍角三角形，則雙曲線離心率的取值范圍是(

)A.（）

B.（1，）

C.（）

D.（1，）參考答案：D2.已知一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）A． B． C． D．參考答案：C【考點(diǎn)】由三視圖求面積、體積．【分析】根據(jù)幾何體的三視圖知該幾何體是等底同高的三棱錐與三棱柱的組合體，結(jié)合圖中數(shù)據(jù)即可求出它的體積．【解答】解：根據(jù)幾何體的三視圖知，該幾何體是等底同高的三棱錐與三棱柱的組合體，畫出直觀圖如圖所示；則幾何體的體積為V幾何體=V三棱柱+V三棱錐=××2+×××2=．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了空間幾何體三視圖的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．3.已知函數(shù),則是最小正周期為的奇函數(shù)

最小正周期為的偶函數(shù)最小正周期為的奇函數(shù)

最小正周期為的偶函數(shù)參考答案：A4.函數(shù)y=+sinx的圖象大致是(

)參考答案：C5.F1、F2分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，A是其右頂點(diǎn)，過F2作x軸的垂線與雙曲線的一個(gè)交點(diǎn)為P，G是的重心，若，則雙曲線的離心率是（

）

A．2

B．C．3

D．參考答案：C略6.某企業(yè)從2005年初貸款M萬元，年利率為m，從該年末開始，每年償還的金額都是萬元，并計(jì)劃恰好在10年內(nèi)還清，則=

（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：答案：C7.已知x，y都是實(shí)數(shù)，命題p：|x|＜1；命題q：x2﹣2x﹣3＜0，則p是q的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件參考答案：A【考點(diǎn)】必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【分析】解出兩個(gè)不等式，結(jié)合充要條件的定義，可得答案．【解答】解：命題p：|x|＜1?﹣1＜x＜1，命題q：x2﹣2x﹣3＜0?﹣1＜x＜3，故p是q的充分不必要條件，故選：A8.設(shè)函數(shù)的圖象的一條對(duì)稱軸的方程是

（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：答案:A9.設(shè)，若不等式對(duì)于任意恒成立，則的最小值是

A.1

B.

C.0

D.2參考答案：D略10.如圖幾何體的主（正）視圖和左（側(cè)）視圖都正確的是 （

）

參考答案：C略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知數(shù)列{an}，若，則數(shù)列{anan+1}的前n項(xiàng)和為________.參考答案：因?yàn)樗詢墒较鄿p得所以設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為Sn則

12.設(shè)，若，則_________

參考答案：或略13.設(shè)數(shù)列都是等差數(shù)列,若,則______。參考答案：35

14.過點(diǎn)，且與直線垂直的直線方程是.參考答案：直線的斜率為1，所以過點(diǎn)，且與直線垂直的直線的斜率為，所以對(duì)應(yīng)方程為，即。15.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)F為拋物線x2=8y的焦點(diǎn)，則F到雙曲線的漸近線的距離為．參考答案：考點(diǎn)：雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．分析：求得拋物線的焦點(diǎn)和雙曲線的漸近線方程，再由點(diǎn)到直線的距離公式計(jì)算即可得到所求值．解答：解：拋物線x2=8y的焦點(diǎn)F（0，2），雙曲線的漸近線方程為y=±3x，則F到雙曲線的漸近線的距離為d==．故答案為：．點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線和拋物線的方程和性質(zhì)，主要考查焦點(diǎn)和漸近線方程的求法，考查點(diǎn)到直線的距離公式的運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題．16.設(shè)數(shù)列是等比數(shù)列，且，，則數(shù)列的前15項(xiàng)和為

．參考答案：等比數(shù)列首項(xiàng)為,第二項(xiàng)為,故是首項(xiàng)為,公比為的等比數(shù)列.所以,所以,其前n項(xiàng)和為,時(shí),為.

17.我國(guó)唐代詩人王維詩云：“明月松間照，清泉石上流”，這里明月和清泉，都是自然景物，沒有變，形容詞“明”對(duì)“清”，名詞“月”對(duì)“泉”，詞性不變，其余各詞均如此．變化中的不變性質(zhì)，在文學(xué)和數(shù)學(xué)中都廣泛存在．比如我們利用幾何畫板軟件作出拋物線C：x2=y的圖象（如圖），過交點(diǎn)F作直線l交C于A、B兩點(diǎn)，過A、B分別作C的切線，兩切線交于點(diǎn)P，過點(diǎn)P作x軸的垂線交C于點(diǎn)N，拖動(dòng)點(diǎn)B在C上運(yùn)動(dòng)，會(huì)發(fā)現(xiàn)是一個(gè)定值，該定值是

．參考答案：1【考點(diǎn)】直線與拋物線的位置關(guān)系．【分析】線段AB是過拋物線x2=y焦點(diǎn)F的弦，過A，B兩點(diǎn)分別作此拋物線的切線，兩切線相交于N點(diǎn)．N點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上．根據(jù)拋物線的定義知：NF=NP，∴現(xiàn)是一個(gè)定值1．【解答】解：線段AB是過拋物線x2=y焦點(diǎn)F的弦，過A，B兩點(diǎn)分別作此拋物線的切線，兩切線相交于N點(diǎn)．N點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上．下面證明證明：由拋物線x2=y，得其焦點(diǎn)坐標(biāo)為F（0，）．設(shè)A（x1，x12），B（x2，x22），直線l：y=kx+代入拋物線x2=y得：x2﹣kx﹣=0．∴x1x2=﹣…①．又拋物線方程為：y=x2，求導(dǎo)得y′=2x，∴拋物線過點(diǎn)A的切線的斜率為2x1，切線方程為y﹣x12=2x1（x﹣x1）…②拋物線過點(diǎn)B的切線的斜率為2x2，切線方程為yx22﹣=2x2（x﹣x2）…③由①②③得：y=﹣．∴P的軌跡方程是y=﹣，即N在拋物線的準(zhǔn)線上；根據(jù)拋物線的定義知：NF=NP，∴是一個(gè)定值1．故答案為：1三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數(shù)f（x）=2ax+bx﹣1﹣2lnx（a∈R）．（1）當(dāng)b=0時(shí)，討論函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）若對(duì)?α∈[1，3]，?x∈（0，+∞），f（x）≥2bx﹣3恒成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍；（3）當(dāng)x＞y＞e﹣1時(shí)，求證：exln（y+1）＞eyln（x+1）．參考答案：【考點(diǎn)】6B：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；3R：函數(shù)恒成立問題；6K：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用．【分析】（1）當(dāng)b=0時(shí)，求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，即可求得f（x）單調(diào)區(qū)間；（2）將原不等式轉(zhuǎn)化成a+﹣≥，對(duì)?x∈（0，+∞）?α∈[1，3]恒成立，構(gòu)造輔助函數(shù)，求導(dǎo)，求得函數(shù)的最小值，由a的取值范圍，即可求得實(shí)數(shù)b的取值范圍；（3）由題意可知：exln（y+1）＞eyln（x+1）．只需證＞，構(gòu)造輔助函數(shù)，求導(dǎo)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求得g（x）＞g（y），即可證明不等式成立．【解答】解：（1）當(dāng)b=0時(shí)，f（x）=2ax﹣1﹣2lnx，求導(dǎo)f′（x）=2a﹣=，（x＞0），當(dāng)a≤0時(shí)，f′（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，當(dāng)a＞0時(shí)，由f′（x）＜0，解得：0＜x＜，由f′（x）＞0，解得：x＞，∴f（x）在（0，）單調(diào)遞減，在（，+∞）單調(diào)遞增，綜上可知：當(dāng)a≤0時(shí)，（0，+∞）上單調(diào)遞減；當(dāng)a＞0時(shí)，在（0，）單調(diào)遞減，在（，+∞）單調(diào)遞增，（2）由已知對(duì)?a∈[1，3]，f（x）≥2bx﹣3對(duì)，?x∈（0，+∞）恒成立，則2ax+bx﹣1﹣2lnx≥2bx﹣3，對(duì)?x∈（0，+∞）?α∈[1，3]恒成立，即a+﹣≥，對(duì)?x∈（0，+∞）?α∈[1，3]恒成立，設(shè)g（x）=a+﹣，?x∈（0，+∞）?α∈[1，3]，求導(dǎo)g′（x）=﹣﹣=，則g（x）在（0，e2）單調(diào)遞減，在（e2，+∞）單調(diào)遞增，當(dāng)x＞0時(shí)，g（x）min=g（e2）=a﹣，即≤a﹣，由a∈[1，3]，則≤1﹣，即a≤2﹣∴實(shí)數(shù)b的取值范圍（﹣∞，2﹣]；（3）證明：x＞y＞e﹣1，則x+1＞y+1＞e，∴l(xiāng)n（x+1）＞ln（y+1）＞1，欲證exln（y+1）＞eyln（x+1）．只需證＞，令g（x）=，x∈（e﹣1，+∞），求導(dǎo)g′（x）=，顯然函數(shù)h（x）=ln（x+1）﹣，在（e﹣1，+∞）上單調(diào)遞增，h（x）=1﹣＞0，即g′（x）＞0，g（x）在（e﹣1，+∞）上單調(diào)遞增，∴x＞y＞e﹣1時(shí)，g（x）＞g（y），即＞，∴當(dāng)x＞y＞e﹣1時(shí)，exln（y+1）＞eyln（x+1）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，考查不等式恒成立，不等式的證明，考查分離參數(shù)的應(yīng)用，屬于難題．19.空氣質(zhì)量問題，全民關(guān)注，有需求就有研究，某科研團(tuán)隊(duì)根據(jù)工地常用高壓水槍除塵原理，制造了霧霾神器﹣﹣﹣霧炮，雖然霧炮不能徹底解決問題，但是能在一定程度上起到防霾、降塵的作用，經(jīng)過測(cè)試得到霧炮降塵率的頻率分布直方圖：若降塵率達(dá)到18%以上，則認(rèn)定霧炮除塵有效．（1）根據(jù)以上數(shù)據(jù)估計(jì)霧炮除塵有效的概率；（2）現(xiàn)把A市規(guī)劃成三個(gè)區(qū)域，每個(gè)區(qū)域投放3臺(tái)霧炮進(jìn)行除塵（霧炮之間工作互不影響），若在一個(gè)區(qū)域內(nèi)的3臺(tái)霧炮降塵率都低于18%，則需對(duì)該區(qū)域后期追加投入20萬元繼續(xù)進(jìn)行治理，求后期投入費(fèi)用的分布列和期望．參考答案：【考點(diǎn)】離散型隨機(jī)變量的期望與方差；離散型隨機(jī)變量及其分布列．【分析】（1）估計(jì)霧炮除塵有效的概率P=5×0.05+5×0.04+5×0.03+5×0.01．（2）由（1）可得：在一個(gè)區(qū)域內(nèi)的3臺(tái)霧炮降塵率都低于18%，則需對(duì)該區(qū)域后期追加投入20萬元繼續(xù)進(jìn)行治理，因此在一個(gè)區(qū)域內(nèi)需對(duì)該區(qū)域后期追加投入20萬元繼續(xù)進(jìn)行治理的概率P==．后期投入?yún)^(qū)域X～B．后期投入費(fèi)用ξ=20X（萬元）．利用P（ξ=20k）=P（X=k）=即可得出．【解答】解：（1）估計(jì)霧炮除塵有效的概率P=5×0.05+5×0.04+5×0.03+5×0.01=．（2）由（1）可得：在一個(gè)區(qū)域內(nèi)的3臺(tái)霧炮降塵率都低于18%，則需對(duì)該區(qū)域后期追加投入20萬元繼續(xù)進(jìn)行治理，因此在一個(gè)區(qū)域內(nèi)需對(duì)該區(qū)域后期追加投入20萬元繼續(xù)進(jìn)行治理的概率P==．∴后期投入?yún)^(qū)域X～B．后期投入費(fèi)用ξ=20X（萬元）．P（ξ=20k）=P（X=k）=．ξ的分布列為：ξ0204060PEξ=0++40×+60×=7.5（萬元）．20.（14分）（2007?福建）已知函數(shù)f（x）=ex﹣kx，（1）若k=e，試確定函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）若k＞0，且對(duì)于任意x∈R，f（|x|）＞0恒成立，試確定實(shí)數(shù)k的取值范圍；（3）設(shè)函數(shù)F（x）=f（x）+f（﹣x），求證：F（1）F（2）…F（n）＞（n∈N+）．參考答案：(I)單調(diào)遞增區(qū)間是（1，+∞）,單調(diào)遞減區(qū)間是（﹣∞，1）;(II)0＜k＜e;（III），n∈N*.（Ⅰ）由k=e得f（x）=ex﹣ex，所以f'（x）=ex﹣e．由f'（x）＞0得x＞1，故f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（1，+∞），由f'（x）＜0得x＜1，故f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（﹣∞，1）．（Ⅱ）由f（|﹣x|）=f（|x|）可知f（|x|）是偶函數(shù)．于是f（|x|）＞0對(duì)任意x∈R成立等價(jià)于f（x）＞0對(duì)任意x≥0成立．由f'（x）=ex﹣k=0得x=lnk．①當(dāng)k∈（0，1]時(shí)，f'（x）=ex﹣k＞1﹣k≥0（x＞0）．此時(shí)f（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增．故f（x）≥f（0）=1＞0，符合題意．②當(dāng)k∈（1，+∞）時(shí)，lnk＞0．當(dāng)x變化時(shí)f'（x），f（x）的變化情況如下表：x（0，lnk）lnk（lnk，+∞）f′（x）﹣0+f（x）單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增由此可得，在[0，+∞）上，f（x）≥f（lnk）=k﹣klnk．依題意，k﹣klnk＞0，又k＞1，∴1＜k＜e．綜合①，②得，實(shí)數(shù)k的取值范圍是0＜k＜e．（Ⅲ）∵F（x）=f（x）+f（﹣x）=ex+e﹣x，∴F（x1）F（x2）=，∴F（1）F（n）＞en+1+2，F(xiàn)（2）F（n﹣1）＞en+1+2，F(xiàn)（n）F（1）＞en+1+2．由此得，[F（1）F（2）F（n）]2=[F（1）F（n）][F（2）F（n﹣1）][F（n）F（1）]＞（en+1+2）故，n∈N*．21.（本題滿分12分）已知橢圓的離心率為，且過點(diǎn).（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）若過點(diǎn)C（-1，0）且斜率為的直線與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)，試問在軸上是否存在點(diǎn)，使是與無關(guān)的常數(shù)？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.參考答案：：（1）∵橢圓離心率為，∴，∴.

1分又橢圓過點(diǎn)（，1），代入橢圓方程，得.

2分所以.

4分∴橢圓方程為，即.

5分（2）在x軸上存在點(diǎn)M，使是與K無關(guān)的常數(shù).

6分證明：假設(shè)在x軸上存在點(diǎn)M（m,0）,使是與k無關(guān)的常數(shù)，∵直線L過點(diǎn)C（-1，0）且斜率為K,∴L方程為，由得.

7分設(shè)，則

8分∵∴

9分====

10分ks5u設(shè)常數(shù)為t，則.

11分整理得對(duì)任意的k恒成立，ks5u解得，

即在x軸上存在點(diǎn)M（），使是與K