高考數(shù)學(xué)平面向量題的七種解法玉林高中劉飛基底法例1．(2013·江蘇)設(shè)D，E分別是△ABC的邊AB，BC上的點(diǎn)，AD＝eq\f(1,2)AB，BE＝eq\f(2,3)BC.若eq\o(DE,\s\up6(→))＝λ1eq\o(AB,\s\up6(→))＋λ2eq\o(AC,\s\up6(→))(λ1，λ2為實(shí)數(shù))，則λ1＋λ2的值為________．【答案】eq\f(1,2)[解析]如圖所示，eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\o(BE,\s\up6(→))－eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(2,3)))eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→))，又eq\o(DE,\s\up6(→))＝λ1eq\o(AB,\s\up6(→))＋λ2eq\o(AC,\s\up6(→))，且eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(AC,\s\up6(→))不共線，所以λ1＝eq\f(1,2)－eq\f(2,3)，λ2＝eq\f(2,3)，即λ1＋λ2＝eq\f(1,2).例2．(2013·天津)在平行四邊形ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60°，E為CD的中點(diǎn)，若eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(BE,\s\up6(→))＝1，則AB的長(zhǎng)為________．【答案】eq\f(1,2)[解析]由題意得eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(AE,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))，所以eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(BE,\s\up6(→))＝(eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(AD,\s\up6(→))－\f(1,2)\o(AB,\s\up6(→))))＝eq\o(AD,\s\up6(→))2－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))2＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝1－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))2＋eq\f(1,2)|eq\o(AB,\s\up6(→))|×1×eq\f(1,2)＝1，解得|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\f(1,2)或0(舍去)．例3.（2007?天津）如圖，在中，，是邊上一點(diǎn)，，則．法一：選定基向量，，由圖及題意得，=∴=（）（）=+==法二：由題意可得∴，∵，∴=．故答案為：﹣．坐標(biāo)法例4．（2013?重慶）在平面上，，=1，．若||＜，則||的取值范圍是（）A．（0，]B．（，]C．（，]D．（，]解：根據(jù)條件知A，B1，P，B2構(gòu)成一個(gè)矩形A，B1PB2，以AB1，AB2所在直線為坐標(biāo)軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè)|AB1|=a，|AB2|=b，點(diǎn)O的坐標(biāo)為（x，y），則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（a，b），由=1，得，則∵||＜，∴∴∴∵（x﹣a）2+y2=1，∴x2+y2+a2=1+2ax≤1+a2+x2，∴y2≤1同理x2≤1∴x2+y2≤2②由①②知，∵||=，∴＜||≤故選D．例5．（2013?浙江）設(shè)△ABC，P0是邊AB上一定點(diǎn)，滿足，且對(duì)于邊AB上任一點(diǎn)P，恒有則（）A．∠ABC=90°B．∠BAC=90°C．AB=ACD．AC=BC解：以AB所在的直線為x軸，以AB的中垂線為y軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè)AB=4，C（a，b），P（x，0）則BP0=1，A（﹣2，0），B（2，0），P0（1，0）∴=（1，0），=（2﹣x，0），=（a﹣x，b），=（a﹣1，b）∵恒有∴（2﹣x）（a﹣x）≥a﹣1恒成立整理可得x2﹣（a+2）x+a+1≥0恒成立∴△=（a+2）2﹣4（a+1）≤0即△=a2≤0∴a=0，即C在AB的垂直平分線上∴AC=BC故△ABC為等腰三角形故選D本題主要考查了平面向量的運(yùn)算，向量的模及向量的數(shù)量積的概念，向量運(yùn)算的幾何意義的應(yīng)用，還考查了利用向量解決簡(jiǎn)單的幾何問題的能力模方法例6．△ABC內(nèi)接于以O(shè)為圓心的圓，且．則∠C=135°，cosA=．解：∵∴∴=∵A，B，C在圓上設(shè)OA=OB=OC=1∴根據(jù)得出A，B，C三點(diǎn)在圓心的同一側(cè)∴根據(jù)圓周角定理知∠C=180°﹣90°=135°同理求出=，cos∠BOC=∵∠A是∠BOC的一半∴故答案為：135°；例7．（2013?浙江）設(shè)、為單位向量，非零向量=x+y，x、y∈R．若、的夾角為30°，則的最大值等于2．解：∵、為單位向量，和的夾角等于30°，∴=1×1×cos30°=．∵非零向量=x+y，∴||===，∴====，故當(dāng)=﹣時(shí)，取得最大值為2，故答案為2．?dāng)?shù)量積法例8．給定兩個(gè)長(zhǎng)度為1的平面向量和，它們的夾角為.如圖所示，點(diǎn)C在以O(shè)為圓心的圓弧上變動(dòng).若其中,則的最大值是________.[解析]設(shè)，即∴例9．在△ABC中，AB=2AC=2，∠BAC=120°，，若（O是△ABC的外心），則x1+x2的值為．解答：解：如圖：以A為原點(diǎn)，以AB所在的直線為x軸，建立直角系：則A（0，0），B（2，0），C（﹣，）．∵O為△ABC的外心，∴O在AB的中垂線m：x=1上，又在AC的中垂線n上，AC的中點(diǎn)（﹣，），AC的斜率為﹣3，∴中垂線n的方程為y﹣=（x+）．把直線m和n的方程聯(lián)立方程組解得△ABC的外心O（1，），由條件=，得（1，）=x1（2，0）+x2（﹣，）=（2x1﹣x2，x2），∴2x1﹣x2=1，x2=，∴x1=，x2=，∴x1+x2=，故答案為：．點(diǎn)評(píng)：本題考查求兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)的方法，三角形外心的性質(zhì)，向量的坐標(biāo)表示及向量相等的條件，待定系數(shù)法求參數(shù)值．屬中檔題．幾何法例10．在△ABC中，若對(duì)任意k∈R，有|﹣k|≥||，則△ABC的形狀是（）A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形解：如圖：設(shè)=k，則﹣k=，不等式即||≥||，∴||是點(diǎn)A與直線BC上的點(diǎn)連線得到的線段中，長(zhǎng)度最小的一條，故有AC⊥BC，故則△ABC為直角三角形，故選A．本題考查向量和、差的模的幾何意義，體現(xiàn)了等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，把題中條件轉(zhuǎn)化為AC⊥BC．例11．（2013?湖南）已知，是單位向量，，若向量滿足，則的取值范圍為（）A．B．C．D．解：令，，，如圖所示：則，又，所以點(diǎn)C在以點(diǎn)D為圓心、半徑為1的圓上，易知點(diǎn)C與O、D共線時(shí)達(dá)到最值，最大值為+1，最小值為﹣1，所以的取值范圍為[﹣1，+1]．故選A．例12．圖32005年全國(guó)（I）卷第15題“的外接圓的圓心為，兩條邊上的高的交點(diǎn)為，，則實(shí)數(shù)=________”圖3先解決該題：作直經(jīng)，連，,有，，，，，故，故是平行四邊形，進(jìn)而，又∴故，所以評(píng)注：外心的向量表示可以完善為：若為的外心，為垂心，則。其逆命題也成立。面積法結(jié)論：.O為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，記，求證：證明：如圖4建立坐標(biāo)系。設(shè)則，從而由于故所以例13．（2007?南通模擬）已知O是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，，則△AOB與△AOC的面積的比值為．解：設(shè)M為AC的中點(diǎn)，則由向量加法的平行四邊形法則可得由可得，從而可得B，O，M三點(diǎn)共線即BM為AC邊上的中線由2OM=3BO可得，∴S△AOB=S△COB=∴故答案為：本題主要考查了平面向量的加法的平行四邊形的應(yīng)用，向量的共線與點(diǎn)共線的相互轉(zhuǎn)化，解題的關(guān)鍵是要發(fā)現(xiàn)由2OM=3BO可得，及三角形AOB與三角形BOC的面積相等射影法例14．已知P為△ABC的外心，且||=4，||=2，則?等于6．解：?＝?（﹣）作PD⊥AC于D，則∵P為△ABC的外心，∴=，可得?=||?||cos∠PAD=||?||=||2=8同理可得?=||2=2∴?（﹣）=?﹣?=8﹣2=6故答案為：6本題在三角形中給出外心，求向量數(shù)量積的式子．著重考查了三角形的外心的性質(zhì)、向量數(shù)量積的定義與運(yùn)算性質(zhì)等知識(shí)，屬于中檔題．例15.（2013?綿陽模擬）已知O為△ABC的外心，的最大值為（）A．B．C．D．法一、法二、解：如圖所示，以BC邊所在直線為x軸，BC邊的垂直平分線為y軸建立直角坐標(biāo)系（D為BC邊的中點(diǎn)）．由外接圓的性質(zhì)可得∠BOD=∠COD=∠BAC．由，不妨設(shè)外接圓的半徑R=3．則OA=OB=OC=3．∵，∴OD=1.．∴B，C，O（0，1），A（m，n）．則△ABC外接圓的方程為：x2+（y﹣1）2=9．（*）∵，∴（﹣m，