北京大學(xué)信息科學(xué)技術(shù)學(xué)院

區(qū)域光纖通信網(wǎng)與新型光通信系統(tǒng)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室李正斌理科樓2424＃Tel：62754815Email：lizhengbin@2010年9~10月動(dòng)電力學(xué)2問題：在給定自由電荷分布以及周圍空間的介質(zhì)狀況、導(dǎo)體分布狀況的前提下，如何用麥克斯韋方程組或前述的電磁理論來描述靜電場概念：標(biāo)勢(shì)（電勢(shì)）、勢(shì)的疊加原理泊松方程和邊值關(guān)系靜電場的能量唯一性定理拉普拉斯方程靜電問題的格林函數(shù)方法鏡像法分離變量法*電多極矩第二章靜電場3dlP1P2C1C2E首先在靜電情況下，電場不隨時(shí)間變化，也無電流分布產(chǎn)生，由麥克斯韋方程組可知，電場僅是靜電荷產(chǎn)生的場。此時(shí)，描述電磁場的方程組僅為這三個(gè)關(guān)系式是解決靜電問題的基礎(chǔ)靜電場的無旋性電荷從P1點(diǎn)移到P2點(diǎn)，電場對(duì)它做的功與路徑無關(guān)，僅與兩端點(diǎn)有關(guān)。功的大小為稱為兩點(diǎn)之間的電勢(shì)差靜電場的標(biāo)勢(shì)——電勢(shì)電勢(shì)的定義、疊加性、電勢(shì)參考點(diǎn)電場對(duì)電荷作正功，電荷的電勢(shì)下降電勢(shì)差有物理意義寫成微分的形式4電場強(qiáng)度E是電勢(shì)的負(fù)梯度注：由于靜電場是無旋場，也叫保守場，同時(shí)梯度的旋度恒等于零，因此實(shí)際上可以直接將電場用標(biāo)量場的梯度來表示。電勢(shì)參考點(diǎn)，其上的電勢(shì)為零，從而整個(gè)空間的電勢(shì)被單值地確定或描述。參考點(diǎn)的選擇是任意的，對(duì)有限區(qū)域內(nèi)電荷分布的場，常選取無限遠(yuǎn)為參考點(diǎn)。在直流電路、數(shù)字電路實(shí)驗(yàn)中，常取大地（接地）為參考點(diǎn)再改寫成全微分的形式可以令用電場強(qiáng)度和靜電勢(shì)來描述靜電場是等效的。靜電勢(shì)是標(biāo)量函數(shù)，對(duì)求解靜電場問題更加方便。標(biāo)勢(shì)表達(dá)式：真空中r’處的電荷Q。在空間r處激發(fā)的電場強(qiáng)度為5點(diǎn)電荷的電勢(shì)由電場的疊加性，可以推出電勢(shì)也具有疊加性。注意：電場的疊加是矢量疊加，而電勢(shì)的疊加是標(biāo)量疊加。這正是引入電勢(shì)概念最大的好處。點(diǎn)電荷系、電荷連續(xù)分布的電勢(shì)表示式即用標(biāo)勢(shì)表示的庫侖定律的普遍表達(dá)式，與矢量的表示形式包含的物理意義是等價(jià)的，但是更加簡便。靜電學(xué)的核心問題：給定電荷空間分布，由庫侖定律確定空間任意一點(diǎn)的電勢(shì)。6線性介質(zhì)中靜電場情況下，沒有磁場，電磁場的總能量為被積函數(shù)并不表示電荷體系的能量密度，因?yàn)槟芰糠植荚陔妶鰞?nèi)，不僅僅在電荷分布的區(qū)域內(nèi)，因此該式表達(dá)的應(yīng)是靜電場的總能量大小靜電場的能量靜電場的總能量、靜電能的兩種表示方法當(dāng)全空間為均勻介質(zhì)時(shí)，由連續(xù)分布電荷分布產(chǎn)生的場的總能量為靜電場之所以能夠用電荷分布來表示電場能量，在于電荷決定電場，同時(shí)場區(qū)內(nèi)沒有獨(dú)立的運(yùn)動(dòng)，場的能量僅有電荷分布來決定。7例題2、均勻帶電的無限長直導(dǎo)線的電荷線密度為，求電勢(shì)例題1、求均勻電場的電勢(shì)，見教材P.55注意參考電勢(shì)的選取場點(diǎn)P、距導(dǎo)線的距離為R，電荷元dz到場點(diǎn)的距離為電荷沿?zé)o線長導(dǎo)線分布，不是有限區(qū)域。可以考慮場內(nèi)任意兩點(diǎn)的電勢(shì)差8選P0為電勢(shì)參考點(diǎn)，即該電勢(shì)的梯度為還可以用高斯定理得出結(jié)果思考：利用疊加原理求電偶極子在遠(yuǎn)處產(chǎn)生的電勢(shì)和偶極子軸線上的電場例題3、求半徑為a、帶電量Q的導(dǎo)電球的靜電場總能量，見教材P.569靜電勢(shì)的微分方程和邊值關(guān)系泊松方程、拉普拉斯方程；靜電邊值問題；靜電場的能量密度靜電場用靜電勢(shì)——標(biāo)量函數(shù)的梯度描述的僅是它的一部分規(guī)律或者特征，其另一部分規(guī)律則由高斯定理的微分形式來決定：得到泊松方程，靜電勢(shì)滿足的偏微分方程；區(qū)域內(nèi)無電荷，泊松方程變成拉普拉斯方程；解靜電場問題變成求解靜電勢(shì)的偏微分方程問題介質(zhì)不均勻，化成分區(qū)均勻的小區(qū)域，靜電勢(shì)都滿足泊松方程，在分界面上應(yīng)滿足邊值關(guān)系。得到用電勢(shì)表示的邊值關(guān)系n由介質(zhì)1指向介質(zhì)2特別注意：導(dǎo)體構(gòu)成靜電場的邊界條件為10靜電邊值問題由泊松方程、邊值關(guān)系、邊界條件構(gòu)成靜電邊值問題稱為第一類靜電邊值問題，Dirichlet邊界條件，Dirichlet問題。三類邊值問題，方程和邊值關(guān)系都相同，邊界條件不同第一類邊界條件——給定邊界上的電勢(shì)值第二類邊界條件——給定邊界上的電勢(shì)的法向微商即電場值又叫Neuman邊界條件，Neuman問題第三類—混合邊界條件，即部分邊界給定電勢(shì)值，部分邊界給定電勢(shì)的法向微商。邊值關(guān)系反映界面上電荷對(duì)空間場的影響，邊界條件反映求解（研究）區(qū)域外面的場對(duì)研究區(qū)域的影響（即通過界面?zhèn)鬟f）。靜電問題就歸結(jié)為解三類邊值問題，步驟為：邊值問題、解偏微分方程11討論：由泊松方程和靜電能量表達(dá)式可以得靜電場的能量密度12靜電問題就歸結(jié)為解三類邊值問題，一般是泊松方程和拉普拉斯方程。拉普拉斯方程是齊次線性二階偏微分方程，即有兩個(gè)線性無關(guān)的特解，是任意函數(shù)，其任意組合仍然是微分方程的解，從數(shù)學(xué)上講，通解就有無窮多個(gè)。泊松方程是非齊次線性偏微分方程，除拉普拉斯方程的通解外，還有一個(gè)滿足方程非齊次項(xiàng)的特解。問題描述——靜電問題中的物理數(shù)學(xué)描述要確定解需要用邊值關(guān)系和邊界條件。首先將給定的研究區(qū)域V分成若干均勻的子區(qū)域Vi介質(zhì)的分界面分別為S1、S2等等唯一性定理滿足邊值關(guān)系和邊界條件的解是否只有一個(gè)，即解是否是唯一的?；蛘哒f，在解決實(shí)際問題中，哪些因素可以完全確定靜電場；以及根據(jù)給定的條件如何分析，提出滿足微分方程的嘗試解，并使該解為唯一解。13已知V內(nèi)的電荷分布和V邊界上的電勢(shì)值(第一類)

或d/dn

值（第二類），或部分邊界給定部分給定d/dn

（第三類）則V內(nèi)的電勢(shì)分布，除一附加的常量外，由泊松方程以及介質(zhì)界面上的邊值關(guān)系唯一地確定轉(zhuǎn)換成數(shù)學(xué)問題設(shè)區(qū)域V內(nèi)給定自由電荷分布（x），在V的邊界S上給定如下條件（i）、電勢(shì)值（ii）、電勢(shì)的法向?qū)?shù)則V內(nèi)的電場唯一地確定即：V內(nèi)存在唯一解，它在每個(gè)均勻區(qū)域內(nèi)滿足泊松方程，在兩個(gè)均勻區(qū)域界面上滿足邊值關(guān)系，并在V的邊界上滿足給定的邊界條件。14證明：設(shè)有兩個(gè)不同的解’和’’都滿足唯一性定理的條件令因此在每一子區(qū)域Vi上同時(shí)有在兩個(gè)分區(qū)均勻的邊界面上在整個(gè)V的邊界面上在第i個(gè)均勻的Vi界面上設(shè)有一個(gè)輔助函數(shù)為矢量函數(shù)其通量為即15在整個(gè)研究的區(qū)域內(nèi)有均勻區(qū)域Vi和Vj的界面上和

的法向分量分別相等，但是dSi＝－dSj，積分后互相抵消，僅剩下整個(gè)V的界面S上的積分即對(duì)于被積函數(shù)即有從而’和’’至多差一個(gè)常量，但是電勢(shì)附加的常量對(duì)電場沒有影響，這就證明了唯一性定理。16有導(dǎo)體存在時(shí)的唯一性定理在靜電場中的導(dǎo)體具有如下特點(diǎn)1、每個(gè)導(dǎo)體上分布的電荷的總和等于所加置的電荷2、導(dǎo)體內(nèi)部不帶電，內(nèi)部電場為零，電荷僅以面電荷的形式分布在導(dǎo)體表面3、每個(gè)導(dǎo)體都是等勢(shì)體，整個(gè)導(dǎo)體的電勢(shì)相等，導(dǎo)體表面的電場必沿法線方向在V內(nèi)有若干導(dǎo)體，其邊界也分為三類A、給定各導(dǎo)體上的電勢(shì)B、給定各導(dǎo)體上的總電荷C、部分導(dǎo)體給定電勢(shì)，部分導(dǎo)體給定總電荷因此在導(dǎo)電體系中，通常有兩種類型的靜電問題1、給定空間的電荷分布、導(dǎo)體上的電勢(shì)值及區(qū)域邊界上的電勢(shì)或電勢(shì)的梯度值，求空間的電勢(shì)分布和導(dǎo)體上的面電荷分布2、給定空間的電荷分布、導(dǎo)體上的總電荷及區(qū)域邊界上的電勢(shì)或電勢(shì)的梯度值，求空間的電勢(shì)分布和導(dǎo)體上的面電荷分布17有導(dǎo)體存在時(shí)的唯一性定理已知區(qū)域V內(nèi)的電荷分布，其邊界上的電勢(shì)或d/dn值，再給定每個(gè)導(dǎo)體上的電勢(shì)值

i或每個(gè)導(dǎo)體上的總電荷Qi，或部分給定電勢(shì)值，部分給定總電荷，則V內(nèi)的電勢(shì)分布由泊松方程及介質(zhì)面上的邊值關(guān)系唯一確定泊松方程證明：設(shè)有兩個(gè)的解’和’’都滿足上述條件令則在區(qū)域Vi內(nèi)滿足或輔助函數(shù)f并求其通量18即’和’’至多相差一個(gè)常量，因而電場唯一確定通過對(duì)唯一性定理的證明過程，可以看出電場與電荷的相互制約關(guān)系電荷激發(fā)作用電場導(dǎo)體靜止導(dǎo)體上的電荷分布使得導(dǎo)體表面為一個(gè)等勢(shì)面，因此由導(dǎo)體上的總電荷和導(dǎo)體面為等勢(shì)面的條件同時(shí)確定空間中的電場以及導(dǎo)體上的電荷面密度不論是分區(qū)均勻介質(zhì)還是導(dǎo)電系，或介質(zhì)、導(dǎo)體混和存在的情況，對(duì)于給定的三類邊界條件，V內(nèi)的電勢(shì)分布除差一個(gè)常數(shù)外由泊松方程、邊值關(guān)系和各導(dǎo)體上電勢(shì)值或各導(dǎo)體上的總電荷唯一確定，與V外面的情況無關(guān)。唯一性定理的直接應(yīng)用是靜電屏蔽的解釋：接地導(dǎo)體殼，由于封閉邊界上電勢(shì)值固定，內(nèi)域的解只與內(nèi)部電荷分布和介質(zhì)決定，與外面的情況無關(guān)。19例題：兩個(gè)同心導(dǎo)體球殼之間充以兩種介質(zhì)，左半的電容率為1，右半部的電容率為2，設(shè)內(nèi)球殼帶總電荷為Q，外球殼接地，求電場和球殼上的電荷分布兩個(gè)介質(zhì)分界面上的邊值關(guān)系為假設(shè)嘗試解E仍然保持球?qū)ΨQ性左邊右邊A1、A2為待定常數(shù)，1、分界面電場與界面相切，2、分界面上沒有自由電荷，故：從而有E的球?qū)ΨQ使得其在導(dǎo)體球面上處處與球面垂直，從而保證導(dǎo)體球?yàn)榈葎?shì)面。通過求內(nèi)導(dǎo)體球上的積分來利用總電荷Q這個(gè)條件20S1、S2分別為左右半球面，有左邊右邊此解滿足唯一性定理的所有條件，因此其解是唯一的E保持球?qū)ΨQ，但D因?yàn)樽笥野肭虻碾娙萋什灰粯邮沟脤?dǎo)體球面上左右的面電荷密度分布不對(duì)稱左邊右邊思考：如何解釋兩半球上面電荷密度分布的不同，卻能使電場保持球?qū)ΨQ性21拉普拉斯方程分離變量法鏡像法直角坐標(biāo)系中的通解柱坐標(biāo)系中的通解球坐標(biāo)系中的通解平面反射鏡球面反射鏡平面半透鏡格林等效層22問題：引入靜電勢(shì)之后，靜電學(xué)的基本問題歸結(jié)為滿足邊界條件的泊松方程。在靜電場問題中場多為帶電導(dǎo)體決定，帶電導(dǎo)體外的空間不存在自由電荷分布，靜電問題簡化為拉普拉斯方程。產(chǎn)生靜電場的電荷都分布在區(qū)域的邊界上，通過邊界條件反映出來。當(dāng)研究區(qū)域的邊界與正交曲面坐標(biāo)系的坐標(biāo)面相吻合時(shí)，如平面、圓柱面、球面、橢球面，拉普拉斯方程可以通過分離變量法來獲得解析解邊界條件不論如何給定，邊界面總是與一定的坐標(biāo)曲面相對(duì)應(yīng)，因此邊界條件可以方便的給出。在直角、柱和球坐標(biāo)系中用分離變量法求拉普拉斯方程的方法在一般數(shù)理方程中有詳細(xì)推導(dǎo)直角坐標(biāo)系中的通解組合成實(shí)線性、指數(shù)、三角和（或）雙曲函數(shù)的各種乘積23為任意常量通解形式為柱坐標(biāo)系中通解24通解形式為為任意常量Jn(mr)和Nn(mr)為第一類和第二類柱貝塞爾函數(shù)以上解中的系數(shù)需要根據(jù)邊界條件確定25例1：只求圓柱內(nèi)域的解由于解應(yīng)該有界，故例2：解與z軸無關(guān)時(shí)，通解中m=0與Z無關(guān)，即（A’nz＋B’n）=const26解為單值，n為整數(shù)，A0’’=0，且B0=0故當(dāng)問題是對(duì)z軸對(duì)稱時(shí)，拉普拉斯方程的通解為在柱坐標(biāo)系中，通解中相對(duì)應(yīng)的還有另一種形式的解In(x)和Kn(x)分別稱為第一、二類修正的（或虛宗量）柱貝塞爾函數(shù)，其特點(diǎn)是In(x)

在x=0處為有限值，而在x

時(shí)In(x)

；Kn(x）在x=0

處趨于

27球坐標(biāo)系中通解通解形式為

是n階第一類連帶（關(guān)聯(lián)、締合）勒讓德函數(shù)，稱為球面調(diào)和函數(shù)28對(duì)軸對(duì)稱問題，取對(duì)稱軸為極軸，與無關(guān)，通解變?yōu)?/p>

為勒讓德多項(xiàng)式29例3、一個(gè)內(nèi)徑和外徑分別為R2和R3的導(dǎo)體球殼，帶電荷Q同心地包圍著一個(gè)半徑為R1的導(dǎo)體球（R1<R2）,使這個(gè)內(nèi)導(dǎo)體球接地，求空間各點(diǎn)的電勢(shì)和這個(gè)導(dǎo)體球的感應(yīng)電荷解：本問題有球?qū)ΨQ性，用球坐標(biāo)下的拉普拉斯方程解該問題，其中電勢(shì)不依賴于角度和，因此在通解式中n=0。則導(dǎo)體殼內(nèi)外電勢(shì)的試探解表示為邊界條件為：1、內(nèi)導(dǎo)體接地2、整個(gè)導(dǎo)體球殼是等勢(shì)體3、球殼所帶總電荷為Q30得到解是唯一的。導(dǎo)體球上的感應(yīng)電荷為31例4、有一半徑為a的長圓柱體介電放置在一真空均勻強(qiáng)電場E0中，圓柱體的軸與電場E0垂直，求柱內(nèi)外電勢(shì)分布和圓柱體表面的電荷分布解：界面形狀要求選取柱坐標(biāo)系。柱面內(nèi)無自由電荷，可在柱坐標(biāo)系中用分離變量法求解。取圓柱體的軸為坐標(biāo)系的Z軸，而柱體甚長，電勢(shì)分布與z無關(guān)，取x軸沿電場方向，使得電場分布相對(duì)x軸對(duì)稱，由柱坐標(biāo)系下的通解對(duì)柱內(nèi)電勢(shì)inside，由r=0處柱內(nèi)電勢(shì)有界，則Bn＝0對(duì)柱外電勢(shì)，outside

由r=∞處的場為E0，相應(yīng)的電勢(shì)為－E0x，使得從而32邊值關(guān)系為當(dāng)n=1時(shí)所以柱內(nèi)外電勢(shì)分布為解是唯一的。分析：柱外電勢(shì)分布除原來勻強(qiáng)電場E0的貢獻(xiàn)外，還與介質(zhì)柱極化電荷產(chǎn)生的場有關(guān)，柱內(nèi)為勻強(qiáng)電場柱面上的束縛電荷面密度為33鏡像法格林等效層定理問題：在研究區(qū)域V內(nèi)的電荷分布對(duì)V外一點(diǎn)場的貢獻(xiàn)，如圖所示可以將其貢獻(xiàn)轉(zhuǎn)化為等效面S的貢獻(xiàn)首先，格林公式為令由于r在V外，r’在V內(nèi)，所以在V內(nèi)34聯(lián)立解上述式子有意義為：V內(nèi)的電荷對(duì)V外一點(diǎn)場的貢獻(xiàn)等效于在V邊界面S上一面電荷分布和電偶極層分布P對(duì)V外一點(diǎn)場的貢獻(xiàn)取V邊界面S正好是原來場等勢(shì)面，即在S面上電勢(shì)S為常量，上述等式第二項(xiàng)為35無等效偶極層的貢獻(xiàn)，只有等效面電荷的貢獻(xiàn)，其總電荷大小為即S面上的總有效電荷等于S所包圍的V內(nèi)的總電荷。因此體電荷表示面電荷表示因此，若在電場分布的空間中某一閉合的等勢(shì)面用一很薄的導(dǎo)體面代替時(shí)，這個(gè)導(dǎo)體面放上之后并不影響原來外面場的分布，面內(nèi)部電荷分布對(duì)外面場的影響只由導(dǎo)體上的電荷分布決定，導(dǎo)體上感應(yīng)的總電荷恰好等于它所包圍的體積內(nèi)的總電荷，即如將V內(nèi)的全部電荷搬到導(dǎo)體上去與薄層內(nèi)的反號(hào)電荷相消剩下導(dǎo)體外表面的電荷就等于V內(nèi)的總電荷。等勢(shì)面包圍的體積V內(nèi)的電荷在V外產(chǎn)生的電勢(shì)與在此等勢(shì)面上置一導(dǎo)體面并將V內(nèi)的電荷搬到導(dǎo)體上所產(chǎn)生的電勢(shì)完全一樣。36鏡像法解邊值問題的一般方法靜電邊值問題有唯一解，問題是如何找到這個(gè)唯一解呢？當(dāng)邊界面與坐標(biāo)面吻合時(shí)用分離變量法有一類問題可以用“猜解”的辦法，鏡像法是其中之一主要思想是利用點(diǎn)電荷來模擬邊界面上的感應(yīng)電荷或極化電荷適宜用鏡像法的問題是：點(diǎn)電荷與導(dǎo)體（介質(zhì)）系統(tǒng)中，空間任意一點(diǎn)的場是由點(diǎn)或線電荷與界面感應(yīng)或極化電荷共同產(chǎn)生的。而次生電荷的分布一般不知道?？梢哉乙粋€(gè)或多個(gè)像電荷來等效代替導(dǎo)體面/介質(zhì)面上感應(yīng)或極化的電荷，從而將點(diǎn)、線電荷與界面感生電荷在待求區(qū)域產(chǎn)生的場的問題轉(zhuǎn)換為真實(shí)電荷與虛像電荷在待求區(qū)域所產(chǎn)生場的簡單疊加。37鏡像法的一般步驟1、列出電勢(shì)在待求區(qū)域所滿足的微分方程和邊界條件2、根據(jù)邊界條件分析像電荷的位置和個(gè)數(shù)3、寫出電勢(shì)分布的形式表達(dá)式（嘗試解）4、將邊界條件代入嘗試解中確定像電荷的位置和個(gè)數(shù)5、將求出的像電荷代入嘗試解得到真實(shí)的電荷分布6、求出電勢(shì)、電荷分布以及受力問題鏡像法中找虛像電荷的原則A、虛像電荷必須在求解區(qū)域之外B、虛像電荷必須與原電荷反號(hào)C、虛像電荷的位置與原電荷對(duì)稱38平面反射鏡在距無限大接地導(dǎo)體面a處放置一點(diǎn)電荷q，求右半空間電勢(shì)分布物理分析：導(dǎo)體面上有感應(yīng)電荷，感應(yīng)電荷與點(diǎn)電荷的場相互作用，達(dá)到靜電平衡時(shí)，感應(yīng)電荷和場的分布都不知道。我們僅知道電力線垂直于導(dǎo)體面，否則電荷仍然會(huì)移動(dòng)本問題所滿足的方程和邊界條件？取直角坐標(biāo)系39電勢(shì)Ф是電荷＋q和感應(yīng)電荷共同形成的，Ф－q/4π0r1是感應(yīng)電荷形成的，我們的目的是求Ф，由找虛像電荷的原則，像電荷在z=-a處，右半空間的電勢(shì)為將邊界條件代入確定a’和q’注意：虛像電荷不是真實(shí)存在的，真實(shí)存在的是感應(yīng)電荷，用虛像電荷代替感應(yīng)電荷產(chǎn)生的效應(yīng)只是一種數(shù)學(xué)技巧，一旦找到虛像電荷就不必考慮感應(yīng)電荷導(dǎo)體板上面電荷密度為導(dǎo)體板上面電荷密度為導(dǎo)體板上的總感應(yīng)電荷為正好等于像電荷40思考題1：復(fù)雜邊值問題也可以用鏡像法，如圖所示為無窮大直角導(dǎo)電壁放一點(diǎn)電荷q，求電勢(shì)分布思考題2：不接地?zé)o限大導(dǎo)體板前放一點(diǎn)電荷q，求電勢(shì)分布41翻譯成邊值問題球面反射鏡接地導(dǎo)體球球外一點(diǎn)電荷q，距球心為a，求球外電勢(shì)分布分析：球面有感應(yīng)電荷，由于接地，正電荷跑掉，球面帶負(fù)電，感應(yīng)電荷關(guān)于z軸對(duì)稱。用虛像電荷代替感應(yīng)電荷，－q’一定在z軸上，且在球內(nèi)，距原點(diǎn)為a’，解的形式為球面是哈哈鏡，與平面鏡不一樣，下式不成立有42只要同時(shí)能使前面等式成立球面上的分布電荷密度43討論：1、導(dǎo)體球不接地球面總體不帶電，即正電荷跑不掉，用鏡像法需要兩個(gè)像電荷。球面上已經(jīng)有－r0q/a電荷，根據(jù)電荷守恒還有＋r0q/a電荷留在球面上，相當(dāng)于接地導(dǎo)體再加r0q/a電荷，問題是這些電荷如何在球面上分布，若均勻分布，則相當(dāng)于第二個(gè)虛像電荷位于球心，并滿足靜電平衡條件。而球體電勢(shì)不再為零，電勢(shì)分布為2、導(dǎo)體球不接地再加置電荷Q3、導(dǎo)體球保持恒定電勢(shì)0由44平面半透鏡在z>0的空間充滿介電常數(shù)為的1介質(zhì)，在z<0的空間為2的介質(zhì)，在z=a處放置一點(diǎn)電荷，求全空間的電勢(shì)分布和分界面上的束縛電荷分析：由于是分區(qū)均勻介質(zhì)，體內(nèi)無極化電荷，界面上有極化電荷，將介質(zhì)分界面看成是平面半透鏡。因?yàn)闃O化電荷在界面兩側(cè)都產(chǎn)生場，需要用兩個(gè)虛像電荷來模擬極化電荷，如圖分別在（0,0,-a）和（0,0,a）處，翻譯成邊值問題為45在z>=0的半空間，將2看成是1，則電勢(shì)可以看作是q’和q在整個(gè)空間在均勻介質(zhì)1的無界空間中產(chǎn)生的在z<=0的半空間，將1看成是2，則電勢(shì)可以看作是q’’和q在整個(gè)空間在均勻介質(zhì)2的無界空間中產(chǎn)生的上述兩式自然滿足無窮遠(yuǎn)處的邊界條件，q’和q’’是待定的參數(shù)。利用z=0時(shí)r1=r2以及邊界條件46再利用第二個(gè)邊界條件從而得47點(diǎn)電荷密度的函數(shù)表示泊松方程格林函數(shù)的定義格林函數(shù)法48對(duì)點(diǎn)電荷的邊值問題的討論，不僅可以解決點(diǎn)電荷的特殊問題，還可以借助點(diǎn)電荷簡單的邊值問題來解決復(fù)雜的邊值問題。點(diǎn)電荷在電動(dòng)力學(xué)中具有重要的地位。不僅帶電粒子以及線度很小的帶電體可以作為點(diǎn)電荷來處理（數(shù)學(xué)模型），而且連續(xù)分布電荷所產(chǎn)生的電場也可以借助點(diǎn)電荷的場通過積分（疊加）表達(dá)出來。點(diǎn)電荷密度的函數(shù)表示2a單位點(diǎn)電荷的密度表示49函數(shù)的定義和性質(zhì)格林函數(shù)取格林函數(shù)G（r,r’）代表在r’處一個(gè)單位正電荷在r處產(chǎn)生的電勢(shì)，因此格林函數(shù)的物理實(shí)質(zhì)是單位點(diǎn)電荷源產(chǎn)生的勢(shì)。滿足泊松方程501、無界空間中的格林函數(shù)2、第一類格林函數(shù)G1（r,r’）滿足第一類邊界條件3、第二類格林函數(shù)G2（r,r’）滿足第二類邊界條件在第二類格林函數(shù)中，不能簡單取利用高斯定理格林函數(shù)有對(duì)稱性，體現(xiàn)互易原理不同的邊界條件下格林函數(shù)的形式靜電普遍公式不同邊界條件下的格林函數(shù)51在利用格林函數(shù)解邊值問題之前，先復(fù)習(xí)矢量積分定理高斯定理格林第一恒等式格林定理斯托克斯定理利用格林函數(shù)求解靜電問題52若在區(qū)域V內(nèi)給定電荷分布（r)，而且在邊界面S上給定第一類邊值S值或第二類邊值，則根據(jù)泊松方程求V內(nèi)的電勢(shì)分布利用格林定理其中邊界條件或

還不是電勢(shì)解的最后顯示表達(dá)，僅是一個(gè)積分方程，可以利用G(r,r’)作為杠桿，來解出現(xiàn)的問題53對(duì)第一類邊值問題（Dirichlet問題）（給定電勢(shì)），選擇由于第一類邊值問題靜電公式對(duì)第二類邊值問題（Neuman問題）（給定電勢(shì)在邊界導(dǎo)數(shù)值），選擇第二類邊值問題靜電公式通常，第二類邊值問題都是所謂的外域問題：一個(gè)有限的封閉曲面與一個(gè)無限大封閉曲面之間區(qū)域的電勢(shì)分布，如導(dǎo)體外空間的電勢(shì)分布，此時(shí)曲面積把求解給定區(qū)域V內(nèi)給定電荷分布（r)，而且在邊界面S上給定第一類邊值S值或第二類邊值(?/?n)|S

的普遍靜電問題歸結(jié)為求格林函數(shù)：同樣區(qū)域和邊界中，在滿足G＝0或者?G/?n=const的條件下，一個(gè)單位正電荷所產(chǎn)生的電勢(shì)。54典型空間解靜電問題的格林函數(shù)方法1、無界空間的格林函數(shù)為證明它滿足在r≠0的空間先取G(r,0)，令r’=0即位于原點(diǎn)的單位點(diǎn)電荷，在球坐標(biāo)系中相應(yīng)滿足在r=0處1/r是奇異的。取一小球面S包圍原點(diǎn)，并在該球域內(nèi)對(duì)2(1/r)求體積分55一般情況下，點(diǎn)電荷在r不在0處，|r-r’|為r’到r的距離，因此無界空間的格林函數(shù)滿足泊松方程有相應(yīng)由格林函數(shù)得到的的