2021年安徽省亳州市張店職業(yè)中學(xué)高三數(shù)學(xué)文上學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.集合若，則M∪N=

（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：D2.設(shè)是實(shí)數(shù)，且是純虛數(shù)，則

A．

B．

C．

D．

參考答案：B3.設(shè)集合，，則集合中元素的個(gè)數(shù)為(A)4

(B)3

(C)2

(D)1參考答案：B略4.過(guò)點(diǎn)作圓的弦，其中弦長(zhǎng)為整數(shù)的共有（

）A.16條

B.17條

C.32條

D.34條

參考答案：C5.過(guò)拋物線(xiàn)焦點(diǎn)的直線(xiàn)交其于，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)．若，則的面積為（

）A．

B．

C．

D．2參考答案：C6.設(shè)為兩個(gè)平面，為兩條直線(xiàn)，且，有如下兩個(gè)命題：

①若；②若.那么（

）

A．①是真命題，②是假命題

B．①是假命題，②是真命題

C．①、②都是真命題

D．①、②都是假命題

參考答案：D略7.函數(shù)y=（ex﹣e﹣x）?sinx的圖象大致是（）A． B． C． D．參考答案：A考點(diǎn)：函數(shù)的圖象．專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．分析：通過(guò)函數(shù)的奇偶性，排除部分選項(xiàng)，然后利用0＜x＜π時(shí)的函數(shù)值，判斷即可．解答：解：函數(shù)f（﹣x）=（e﹣x﹣ex）（﹣sinx）=（ex﹣e﹣x）sinx=f（x），∴函數(shù)f（x）=（ex+e﹣x）sinx是偶函數(shù)，排除B、C；當(dāng)0＜x＜π時(shí)，f（x）＞0，排除D．∴A滿(mǎn)足題意．故選：A．點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的圖象的判斷，一般通過(guò)函數(shù)的定義域、值域．單調(diào)性，奇偶性，變化趨勢(shì)等知識(shí)解答．8.采用系統(tǒng)抽樣方法從960人中抽取32人做問(wèn)卷調(diào)查，為此將他們隨機(jī)編號(hào)為1,2，…，960，分組后在第一組采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法抽到的號(hào)碼為9．抽到的32人中，編號(hào)落入?yún)^(qū)間的人做問(wèn)卷，編號(hào)落入?yún)^(qū)間的人做問(wèn)卷，其余的人做問(wèn)卷．則抽到的人中，做問(wèn)卷的人數(shù)為

（

）

A．7

B．9

C．10

D．15參考答案：C9.已知是等比數(shù)列，，則公比=（

）A

B

C

2

D

參考答案：D10.如右圖，已知正四棱錐所有棱長(zhǎng)都為1，點(diǎn)E是側(cè)棱SC上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E垂直于SC的截面將正四棱錐分成上、下兩部分，記，截面下面部分的體積為，則函數(shù)的圖像大致為（

）參考答案：C略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則這個(gè)幾何體的體積為_(kāi)_________.參考答案：12.已知函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)且均為有理數(shù)，則n的值等于________.參考答案：7【分析】由，可得是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)．令．可得：．因此方程有兩個(gè)根，且均為有理數(shù)．，且為完全平方數(shù)．設(shè)，．進(jìn)而結(jié)論．【詳解】解：由，可得是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)．令．，，即．方程有兩個(gè)根，且均為有理數(shù)．，可得，且為完全平方數(shù)．設(shè)，．，經(jīng)過(guò)驗(yàn)證只有：，，，時(shí)滿(mǎn)足題意．方程即，解得，，均為有理數(shù)．因此．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解方法、方程的解法、恒等式變形，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．13.若的二項(xiàng)展開(kāi)式中，的系數(shù)為，則實(shí)數(shù)

．參考答案：二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為，由得，所以，即的系數(shù)為，所以，所以。14.已知集合，那么

.參考答案：{1，-1}

15.已知是曲線(xiàn)的兩條互相平行的切線(xiàn)，則與的距離的最大值為_(kāi)____.參考答案：略16.已知滿(mǎn)足約束條件，且恒成立，則的取值范圍為

。參考答案：17.若某棱錐的三視圖(單位：)如圖所示，則該棱錐的體積等于▲。參考答案：【知識(shí)點(diǎn)】三視圖

G2由三視圖知幾何體為三角形削去一個(gè)三棱錐如圖：

棱柱的高為5；底面為直角三角形，直角三角形的直角邊長(zhǎng)分別為3、4，

∴幾何體的體積故答案為.【思路點(diǎn)撥】由三視圖知幾何體為直三削去一個(gè)三棱錐，畫(huà)出其直觀(guān)圖，根據(jù)棱柱的高為5；底面為直角三角形，直角三角形的直角邊長(zhǎng)分別為3、4，計(jì)算三棱柱與三棱錐的體積，再求差可得答案．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.已知a∈R，函數(shù)f（x）=ex﹣ax（e=2.71828…是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．（I）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（﹣e，﹣1）上是減函數(shù)，求a的取值范圍；（II）若函數(shù)F（x）=f（x）﹣（ex﹣2ax+2lnx+a）在區(qū)間（0，）內(nèi)無(wú)零點(diǎn)，求a的最大值．參考答案：【考點(diǎn)】6B：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；6D：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值．【分析】（Ⅰ）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，分離參數(shù)a，由題意可得a＞ex在（﹣e，﹣1）上恒成立，求出ex在（﹣e，﹣1）上的范圍得答案；（Ⅱ）求出函數(shù)F（x），求其導(dǎo)函數(shù)F′（x）=a﹣=，可知當(dāng)a≤0時(shí)函數(shù)F（x）在區(qū)間（0，）上單調(diào)遞減，可得F（x）＞F（）＞0，函數(shù)F（x）在區(qū)間（0，）上無(wú)零點(diǎn)；當(dāng)a＞0時(shí)，分0＜a≤4和a＞4分類(lèi)分析，求得函數(shù)F（x）在區(qū)間（0，）內(nèi)無(wú)零點(diǎn)的a的范圍，則答案可求．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=ex﹣ax，∴f′（x）=ex﹣a，∵函數(shù)f（x）在區(qū)間（﹣e，﹣1）上是減函數(shù)，∴f′（x）=ex﹣a＜0在（﹣e，﹣1）上恒成立，∴a＞ex在（﹣e，﹣1）上恒成立，∵y=ex在（﹣e，﹣1）上為增函數(shù)，∴a＞e﹣1=；（Ⅱ）函數(shù)F（x）=f（x）﹣（ex﹣2ax+2lnx+a）=ax﹣2lnx﹣a，x∈，∴F′（x）=a﹣=，①當(dāng)a≤0時(shí)，F(xiàn)′（x）＜0在（0，）上恒成立，函數(shù)F（x）在區(qū)間（0，）上單調(diào)遞減，則F（x）＞F（）==ln4﹣＞0，∴a≤0時(shí)，函數(shù)F（x）在區(qū)間（0，）上無(wú)零點(diǎn)；②當(dāng)a＞0時(shí)，令F'（x）=0得，x=，令F'（x）＞0，得x＞，令F'（x）＜0，得0＜x＜，因此，函數(shù)F（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間是（0，）．（ⅰ）當(dāng)≥，即0＜a≤4時(shí)，函數(shù)F（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（0，），∴F（x）＞F（）=a﹣2ln﹣a=ln4﹣，要使函數(shù)F（x）在區(qū)間（0，）內(nèi)無(wú)零點(diǎn)，則ln4﹣≥0，得a≤4ln2；（ii）當(dāng)＜，即a＞4時(shí)，函數(shù)F（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（0，），單調(diào)遞增區(qū)間是（，），∴F（x）min=F（）=2﹣2ln﹣a=2﹣ln4+2lna﹣a，設(shè)g（a）=2﹣ln4+2lna﹣a∴g′（a）=﹣1=＜0，∴g（a）在（4，+∞）上單調(diào)遞減，∴g（a）＜g（4）=2﹣ln4+2ln4﹣4=ln4﹣2=2（ln2﹣lne）＜0，而當(dāng)x→0時(shí)，f（x）→+∞，∴函數(shù)F（x）在區(qū)間（0，）內(nèi)有零點(diǎn)，不合題意．綜上，要使函數(shù)F（x）=f（x）﹣（ex﹣2ax+2lnx+a）在區(qū)間（0，）內(nèi)無(wú)零點(diǎn)，則a的最大值為4ln2．19.如圖，在四棱錐中，平面,為上一點(diǎn)，平面.

（1）求證：平面；

（2）若，求四棱錐的體積.參考答案：20.已知圓C的圓心C與點(diǎn)A（2，1）關(guān)于直線(xiàn)4x+2y﹣5=0對(duì)稱(chēng)，圓C與直線(xiàn)x+y+2=0相切．（Ⅰ）設(shè)Q為圓C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若點(diǎn)P（1，1），M（﹣2，﹣2），求?的最小值；（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)P（1，1）作兩條相異直線(xiàn)分別與圓C相交于A，B，且直線(xiàn)PA和直線(xiàn)PB的傾斜角互補(bǔ)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，試判斷直線(xiàn)OP和AB是否平行？請(qǐng)說(shuō)明理由．參考答案：【考點(diǎn)】直線(xiàn)和圓的方程的應(yīng)用；直線(xiàn)的傾斜角．【專(zhuān)題】直線(xiàn)與圓．【分析】（Ⅰ）根據(jù)點(diǎn)與直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性求出圓心，利用數(shù)量積的坐標(biāo)公式即可求?的最小值；（Ⅱ）利用直線(xiàn)和圓的方程聯(lián)立，結(jié)合直線(xiàn)的斜率公式即可得到結(jié)論．【解答】解：Ⅰ）設(shè)圓心C（a，b），則A，C的中點(diǎn)坐標(biāo)為（），∵圓心C與點(diǎn)A（2，1）關(guān)于直線(xiàn)4x+y﹣5=0，∴，解得，∴圓心C（0，0）到直線(xiàn)x+y+2=0的距離r=，∴圓C的方程為x2+y2=2．設(shè)Q（x，y），則x2+y2=2，?=（x﹣1，y﹣1）?（x+2，y+2）=x2+y2+x+y﹣4=x+y﹣2，作直線(xiàn)l：x+y=0，向下平移此直線(xiàn)，當(dāng)與圓相切時(shí)，x+y取得最小值，此時(shí)切點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，﹣1），∴?的最小值﹣4．（Ⅱ）由題意知，直線(xiàn)PA和直線(xiàn)PB的斜率存在，且互為相反數(shù)，故可設(shè)PA：y﹣1=k（x﹣1），PB：y﹣1=﹣k（x﹣1），由，得（1+k2）x2+2k（1﹣k）x+（1﹣k）2﹣2=0．因?yàn)辄c(diǎn)P的橫坐標(biāo)x=1一定是該方程的解，故可得，同理，則==kOP∴直線(xiàn)AB和OP一定平行．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查直線(xiàn)和圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，結(jié)合直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性和直線(xiàn)的斜率公式是解決本題的關(guān)鍵．21.（本小題14分）已知拋物線(xiàn)C：y2=2px經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（1，2）．過(guò)點(diǎn)Q（0，1）的直線(xiàn)l與拋物線(xiàn)C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A，B，且直線(xiàn)PA交y軸于M，直線(xiàn)PB交y軸于N．（Ⅰ）求直線(xiàn)l的斜率的取值范圍；（Ⅱ）設(shè)O為原點(diǎn)，，，求證：為定值．

參考答案：解：（Ⅰ）因?yàn)閽佄锞€(xiàn)y2=2px經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（1，2），所以4=2p，解得p=2，所以?huà)佄锞€(xiàn)的方程為y2=4x．由題意可知直線(xiàn)l的斜率存在且不為0，設(shè)直線(xiàn)l的方程為y=kx+1（k≠0）．由得．依題意，解得k<0或0<k<1．又PA，PB與y軸相交，故直線(xiàn)l不過(guò)點(diǎn)（1，-2）．從而k≠-3．所以直線(xiàn)l斜率的取值范圍是（-∞，-3）∪（-3，0）∪（0，1）．（Ⅱ）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）．由（I）知，．直線(xiàn)PA的方程為y–2=．令x=0，得點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為．同理得點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為．由，得，．所