八年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題

八年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料第一章直角三角形1、直角三角形的性質(zhì)：①直角三角形的兩銳角互余。②直角三角形斜邊上的中線等于斜邊上的一半。例如，在直角三角形ABC中，CD是斜邊AB的中線，因此CD等于AB的一半。③在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半。例如，在直角三角形ABC中，如果∠A=30°，那么BC等于AB的一半。例如，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，則正確的結(jié)論是AC2+BC2=AB2。④在直角三角形中，如果一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對(duì)的角等于30°。例如，在直角三角形ABC中，如果BC等于AB的一半，那么∠A=30°。例如，如果等腰三角形一腰上的高等于腰長(zhǎng)的一半，那么頂角的度數(shù)是60°。⑤勾股定理及其逆定理（1）勾股定理：直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方，即a2+b2=c2。求斜邊的長(zhǎng)度，可以用c=√(a2+b2)；求直角邊的長(zhǎng)度，可以用a=√(c2-b2)或b=√(c2-a2)。例如，在圖中的拉線電線桿示意圖中，已知CD⊥AB，∠CAD=60°，那么拉線AC的長(zhǎng)度是6m。例如，如果一個(gè)直角三角形的兩邊長(zhǎng)分別為6和10，那么這個(gè)三角形的第三條邊長(zhǎng)是√136。（2）逆定理：如果三角形的三邊長(zhǎng)a、b、c有關(guān)系，那么這個(gè)三角形是直角三角形?？梢苑謩e計(jì)算“a2+b2”和“c2”，如果相等就是直角三角形，不相等就不是直角三角形。例如，在Rt△ABC中，如果AC=2，BC=7，AB=3，那么正確的結(jié)論是∠C=90°。例如，如果一塊木板如圖所示，已知AB=4，BC=3，DC=12，AD=13，∠B=90°，那么這塊木板的面積是18。例如，某校把一塊形狀為直角三角形的廢地開辟為生物園，如圖所示，∠ACB=90°，AC=80米，BC=60米，若線段CD是一條小渠，且D點(diǎn)在邊AB上，已知水渠的造價(jià)為10元/米，問D點(diǎn)在距A點(diǎn)多遠(yuǎn)處時(shí)，水渠的造價(jià)最低？最低造價(jià)是多少？直角三角形性質(zhì)及勾股定理的應(yīng)用常見于各種圖形中。例如，如下圖所示，梯子AB靠在墻上，底端A到墻根O的距離為7米，頂端B到地面的距離為24米。現(xiàn)將梯子的底端A向外移動(dòng)到A′，使得A′到墻根O的距離等于15米。同時(shí)，頂端B下降至B′。求出BB′的長(zhǎng)度。又如下圖所示，放置在水平桌面上的臺(tái)燈的燈臂AB長(zhǎng)為40厘米，燈罩BC長(zhǎng)為30厘米，底座厚度為2厘米。燈臂與底座構(gòu)成的∠BAD為60度，光線最佳時(shí)燈罩BC與水平線所成的角為30度。求出燈罩頂端C到桌面的高度CE是多少厘米？直角三角形的判定方法有三種：有兩個(gè)角互余、一條邊上的中線等于這條邊的一半、三邊長(zhǎng)a、b、c有關(guān)系a+b=c。例如，若一個(gè)三角形三邊滿足(a+b)2-c2=2ab，則這個(gè)三角形是直角三角形。若∠A：∠B:∠C=2:3:5，則△ABC是銳角三角形。已知a、b、c是三角形的三邊長(zhǎng)，如果滿足2a+2b+2c-2ab-2bc-2ac=0，則三角形的形狀是直角三角形。直角三角形全等有五種判定方法：SAS、ASA、SSS、AAS、HL。例如，如下圖所示，在ΔABC中，D為BC的中點(diǎn)，DE⊥BC交∠BAC的平分線AE于點(diǎn)E，EF⊥AB于點(diǎn)F，EG⊥AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G。則BF=CG。角平分線的性質(zhì)定理是：角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等。例如，如下圖所示，在ΔABC中，∠C=90°，∠ABC的平分線BD交AC于點(diǎn)D，若BD=10厘米，BC=8厘米，DC=6厘米，則點(diǎn)D到直線AB的距離是8厘米。又如在△ABC中，O是∠ABC與∠ACB的平分線的交點(diǎn)。則點(diǎn)O在∠A的平分線上。如圖，在直角三角形ABC中，∠B=90°，AD是∠BAC的平分線，交BC于點(diǎn)D，已知BC=10cm，CD=6cm，則點(diǎn)D到AC的距離是多少？解法：根據(jù)角平分線定理，有$\dfrac{BD}{DC}=\dfrac{AB}{AC}$，即$\dfrac{BD}{6}=\dfrac{AB}{\sqrt{BC^2+AC^2}}$。又因?yàn)?\triangleABC$為直角三角形，所以$AB=\sqrt{AC^2-BC^2}$，代入上式得$\dfrac{BD}{6}=\dfrac{\sqrt{AC^2-BC^2}}{AC}$，整理得$BD=\dfrac{3\sqrt{AC^2-BC^2}}{AC}$。又因?yàn)?\triangleABD$和$\triangleADC$共邊且相似，所以$\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{AB}{AC}$，即$AD=\dfrac{AB^2}{AC}$。代入$AB=\sqrt{AC^2-BC^2}$得$AD=\dfrac{AC^2-BC^2}{AC}$。因?yàn)辄c(diǎn)D到線段AC的距離等于$AD\cdot\dfrac{BD}{BD+DC}$，所以所求距離為$\dfrac{3(AC^2-BC^2)}{2AC+3\sqrt{AC^2-BC^2}}$。如圖，在直角三角形ABC中，AC=4，BC=3，AB=5，點(diǎn)P是三角形內(nèi)心，求點(diǎn)P到AB的距離。解法：因?yàn)辄c(diǎn)P是三角形ABC的內(nèi)心，所以AP、BP分別是∠BAC、∠ABC的平分線，所以$\dfrac{AP}{PB}=\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{4}{3}$。又因?yàn)?\triangleABP$為直角三角形，所以$\dfrac{AP}{AB}=\sin\angleBAP$，$\dfrac{BP}{AB}=\sin\angleABP$。根據(jù)正弦定理，有$\dfrac{AP}{\sin\angleBAP}=\dfrac{BP}{\sin\angleABP}$，即$\dfrac{AP}{\sin\angleBAP}=\dfrac{4}{3}\cdot\dfrac{BP}{\sin\angleBAP}$，化簡(jiǎn)得$\dfrac{AP}{BP}=\dfrac{4}{3}\cdot\dfrac{\sin\angleBAP}{\sin\angleABP}$。又因?yàn)?\sin\angleBAP=\cos\angleABC$，$\sin\angleABP=\cos\angleBAC$，所以$\dfrac{AP}{BP}=\dfrac{4}{3}\cdot\dfrac{\cos\angleABC}{\cos\angleBAC}$。根據(jù)余弦定理，有$\cos\angleABC=\dfrac{BC}{AB}=\dfrac{3}{5}$，$\cos\angleBAC=\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{4}{5}$，代入上式得$\dfrac{AP}{BP}=\dfrac{16}{9}$，即$AP=\dfrac{16}{25}AB$，$BP=\dfrac{9}{25}AB$。因?yàn)辄c(diǎn)P到線段AB的距離等于$\dfrac{2S_{\triangleABP}}{AB}$，所以所求距離為$\dfrac{2}{5}\sqrt{15}$。4、特殊四邊形的性質(zhì)與判定平行四邊形的性質(zhì)：對(duì)邊平行且相等，對(duì)角線互相平分，對(duì)角線不是軸對(duì)稱圖形，是中心對(duì)稱圖形。平行四邊形的判定方法：方法1：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形。方法2：兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形。方法3：一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形。方法4：對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形。例如，在四邊形ABCD中，如果AB∥CD且AB=CD，或者AD∥BC且AD=BC，則四邊形ABCD是平行四邊形。對(duì)于題目中的例題，可以將其改寫為：已知一個(gè)三角形ABC，其中AB=10，AC=12，BC=16，求由三條中位線所圍成的三角形的周長(zhǎng)。6、矩形的性質(zhì)與判定矩形的性質(zhì)：對(duì)邊相等且平行，四個(gè)角都是直角，對(duì)角線互相平分且相等。矩形是軸對(duì)稱圖形，也是中心對(duì)稱圖形。矩形的判定方法：方法1：有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形。方法2：對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形。例如，在四邊形ABCD中，如果∠A=90°，則四邊形ABCD是矩形。對(duì)于題目中的例題，可以將其改寫為：已知矩形ABCD，其中AB=4，∠AOB=60°，求對(duì)角線AC的長(zhǎng)度。刪除無用段落。菱形的性質(zhì)：四條邊相等，對(duì)角線相等且互相平分且垂直，鄰角互補(bǔ)。因此，菱形是軸對(duì)稱圖形，也是中心對(duì)稱圖形。菱形的面積等于兩條對(duì)角線的長(zhǎng)度乘積的一半。菱形的判定方法有兩種：一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，或者四邊都相等的四邊形是菱形，或者對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形。例如，在矩形ABCD中，對(duì)角線AC的垂直平分線與邊AD、BC分別相交于E、F?？梢宰C明四邊形AFCE為菱形。又如，如果矩形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，AB=6，AC=10，則矩形的面積為30。如果菱形的周長(zhǎng)為20，一條對(duì)角線長(zhǎng)為6，則其面積為9。正方形的性質(zhì)：四條邊相等，四個(gè)角都是直角，對(duì)角線相等且互相平分且垂直相等。因此，正方形也是軸對(duì)稱圖形和中心對(duì)稱圖形。正方形的判定方法有兩種：一組鄰邊相等且有一個(gè)角是直角的平行四邊形是正方形，或者有一個(gè)角是直角的菱形是正方形，或者有一組鄰邊相等的矩形是正方形。例如，順次連接對(duì)角線相等的四邊形各邊中點(diǎn)所得的四邊形是平行四邊形。如果把一個(gè)長(zhǎng)方形紙片對(duì)折兩次，然后剪下一個(gè)角，為了得到一個(gè)正方形，剪刀與折痕所成的角的度數(shù)應(yīng)為45°。對(duì)角線互相垂直平分的四邊形是菱形，對(duì)角線平分且相等的四邊形是矩形，對(duì)角線互相垂直且相等的四邊形是正方形，對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形。在平面圖形的鑲嵌中，關(guān)鍵是圍繞一點(diǎn)拼在一起的多邊形的內(nèi)角加在一起恰好組成一個(gè)周角。例如，只用正六邊形地磚就能夠鋪滿地面。在正方形、正五邊形、正六邊形、正八邊形中，能與邊長(zhǎng)為a的正三角形作平面鑲嵌的是正六邊形和正八邊形。最后，坐標(biāo)系中的點(diǎn)用有序?qū)崝?shù)對(duì)來表示，其中第一個(gè)數(shù)代表橫坐標(biāo)，第二個(gè)數(shù)代表縱坐標(biāo)。例如，點(diǎn)(4,2)的橫坐標(biāo)為4，縱坐標(biāo)為2。2、在平面直角坐標(biāo)系中，橫軸為X軸，縱軸為Y軸，原點(diǎn)為O，方向?yàn)檎?。第一象限坐?biāo)為（+，+），第二象限坐標(biāo)為（—，+），第三象限坐標(biāo)為（—，—），第四象限坐標(biāo)為（+，—）。例如，對(duì)于點(diǎn)P（-2，3），它位于第二象限。若點(diǎn)P（a，b）位于第四象限，則點(diǎn)Q（-a，b-1）位于第二象限。3、方位角指的是一個(gè)向量與某個(gè)參考方向之間的夾角。例如，北偏西60°表示向量與正北方向的夾角為60度，且向左偏離正西方向。4、關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱性，對(duì)于直角坐標(biāo)系內(nèi)的點(diǎn)P（a，b），它關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)為P1（a，－b），關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)為P2（－a，b），關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)為P3（－a，－b）。對(duì)于點(diǎn)M（2，-3）關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)N，其坐標(biāo)為（-2，-3）。對(duì)于點(diǎn)P（m+3，m+1）在x軸上，其坐標(biāo)為（m+3，0）。對(duì)于已知A（-2,3）和B（2,3）兩點(diǎn)，結(jié)論①正確，即A、B關(guān)于x軸對(duì)稱。對(duì)于已知點(diǎn)A（m-1，3）和點(diǎn)B（2，n-1）關(guān)于x軸對(duì)稱，可得m=3，n=5。對(duì)于已知點(diǎn)P（3，-1）關(guān)于y軸對(duì)稱點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（-3，1），則a的值為-6。5、對(duì)于直角坐標(biāo)系內(nèi)的點(diǎn)P（a，b），向左平移h個(gè)單位，坐標(biāo)變?yōu)镻（a－h(huán)，b）；向右平移h個(gè)單位，坐標(biāo)變?yōu)镻（a＋h，b）；向上平移h個(gè)單位，坐標(biāo)變?yōu)镻（a，b＋h）；向下平移h個(gè)單位，坐標(biāo)變?yōu)镻（a，b－h(huán)）。例如，對(duì)于點(diǎn)A（2，－1），向上平移2個(gè)單位，再向右平移5個(gè)單位，坐標(biāo)變?yōu)锳（7，1）。將四邊形ABCD先向左平移3個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位，點(diǎn)A（3，-2）的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A'的坐標(biāo)為（0，0）。對(duì)于已知點(diǎn)A（m，n），向左平移3個(gè)單位后與點(diǎn)B(4,-3)關(guān)于y軸對(duì)稱，則m=7，n=-3。1、函數(shù)自變量的取值：整式的自變量取全體實(shí)數(shù)，分式的自變量分母不能為0，二次根式的自變量必須滿足根號(hào)下的數(shù)≥0。·函數(shù)y=x+1的自變量x的取值范圍是全體實(shí)數(shù)?！ず瘮?shù)y=2x-3的自變量x的取值范圍是全體實(shí)數(shù)?！ず瘮?shù)y=√(x+5)的自變量x的取值范圍是x≥-5?！ず瘮?shù)y=1/(x-2)的自變量x的取值范圍是x≠2。2、一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)的圖象是一條直線(含正比例函數(shù)y=kx)?！は铝泻瘮?shù)解析式中是一次函數(shù)的有y=2x+3，y=5，y=x/2，y=3x^2。①求k的取值：y隨x增大而增大則k>0；y隨x增大而減小則k<0。再解出不等式?！と艉瘮?shù)y=kx+2在x>3時(shí)的值域?yàn)閥≥5，則k≥3/2?！と粽壤瘮?shù)y=kx的圖象過點(diǎn)(2,4)，則k=2?！と艉瘮?shù)y=k/x的圖象過點(diǎn)(2,1)，則k=2?！と艉瘮?shù)y=kx^2在x<0時(shí)的值域?yàn)閥≥1，則k≤-1。3、在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)表示了點(diǎn)在平面上的位置，點(diǎn)與坐標(biāo)是一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。例·若點(diǎn)P到X軸的距離為5，到Y(jié)軸的距離為3，且點(diǎn)P在第四象限，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-5,-3)。4、在平面直角坐標(biāo)系中，可以通過平移、軸對(duì)稱等方式得到新圖形，新圖形的頂點(diǎn)坐標(biāo)可以通過坐標(biāo)變換得到。例·如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，□ABCD的頂點(diǎn)A、B、D的坐標(biāo)分別是(-3,2)，(5,2)，(2,3)，則頂點(diǎn)C的坐標(biāo)是(4,3)。5、一次函數(shù)y=kx+b的圖象是一條直線，可以通過求出兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)或者一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)和斜率k來確定這條直線。例·已知一次函數(shù)y=2x-1，求它在x=3和x=-2處的函數(shù)值以及它的斜率。當(dāng)x=3時(shí)，y=2*3-1=5；當(dāng)x=-2時(shí)，y=2*(-2)-1=-5。斜率k=2。6、平面直角坐標(biāo)系中的圖形可以通過坐標(biāo)變換得到新的圖形，常見的坐標(biāo)變換包括平移、軸對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)等。例·如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(3,5)、B(1,1)、C(5,3)，連成△ABC。①作出△ABC關(guān)于x軸對(duì)稱的ΔA'B'C'，并寫出三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)；②作出△ABC關(guān)于原點(diǎn)O成中心對(duì)稱的ΔA''B''C''，并寫出三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)；③將△ABC向左平移6個(gè)單位長(zhǎng)度，畫出平移后的ΔA'''B'''C'''，并寫出三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)。①ΔA'B'C'的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A'(3,-5)、B'(1,-1)、C'(5,-3)。②ΔA''B''C''的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A''(-3,-5)、B''(-1,-1)、C''(-5,-3)。③ΔA'''B'''C'''的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A'''(-3,5)、B'''(-5,1)、C'''(-1,3)。7、一次函數(shù)y=kx+b表示了一條直線，它的斜率k決定了這條直線的傾斜程度，截距b決定了這條直線與y軸的交點(diǎn)位置。例·已知一次函數(shù)y=3x-2的圖象過點(diǎn)(2,4)，求這條直線與x軸和y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)。當(dāng)y=0時(shí)，3x-2=0，解得x=2/3，所以這條直線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(2/3,0)。當(dāng)x=0時(shí)，y=-2，所以這條直線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,-2)。1.k5是一個(gè)正比例函數(shù)，其中k和a是比例系數(shù)。改寫：k5表示一個(gè)正比例函數(shù)，其中k和a是比例系數(shù)。2.在函數(shù)xm23中，隨著x的增加，y會(huì)減小，因此m的值為負(fù)數(shù)。改寫：函數(shù)xm23中，隨著x的增加，y會(huì)減小，因此m為負(fù)數(shù)。3.函數(shù)3m23是一次函數(shù)，因此m的值可以確定，并且隨著x的增加，y也會(huì)增加。改寫：由于函數(shù)3m23是一次函數(shù)，因此m的值可以確定，并且隨著x的增加，y也會(huì)增加。4.在y=kx+b的一次函數(shù)中，當(dāng)k大于0時(shí)，函數(shù)圖像會(huì)經(jīng)過第一和第三象限；當(dāng)k小于0時(shí)，函數(shù)圖像會(huì)經(jīng)過第二和第四象限。當(dāng)b大于0時(shí)，函數(shù)圖像會(huì)向上移動(dòng)；當(dāng)b小于0時(shí)，函數(shù)圖像會(huì)向下移動(dòng)。因此，可以確定一次函數(shù)y=-5x+7的圖像會(huì)經(jīng)過第一象限。對(duì)于一次函數(shù)y=2x+b，如果它的圖像不經(jīng)過第二象限，那么b的取值范圍是什么？改寫：在一次函數(shù)y=kx+b中，當(dāng)k>0時(shí)，函數(shù)圖像經(jīng)過第一和第三象限；當(dāng)k<0時(shí)，函數(shù)圖像經(jīng)過第二和第四象限。當(dāng)b>0時(shí)，函數(shù)圖像向上移動(dòng)；當(dāng)b<0時(shí)，函數(shù)圖像向下移動(dòng)。因此，可以確定一次函數(shù)y=-5x+7的圖像經(jīng)過第一象限。對(duì)于一次函數(shù)y=2x+b，如果它的圖像不經(jīng)過第二象限，那么b的取值范圍是什么？5.如果一次函數(shù)y=2mxm2的圖像經(jīng)過原點(diǎn)，那么m的值可以確定。改寫：如果一次函數(shù)y=2mxm2的圖像經(jīng)過原點(diǎn)，那么m的值是確定的。6.一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）的圖像可以通過改變b的值來平移。如果b增加，圖像會(huì)向上移動(dòng)；如果b減少，圖像會(huì)向下移動(dòng)。改寫：一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）的圖像可以通過改變b的值來平移。當(dāng)b增加時(shí)，圖像會(huì)向上移動(dòng)；當(dāng)b減少時(shí)，圖像會(huì)向下移動(dòng)。7.如果兩條直線的斜率相等，則它們平行；如果兩條直線的斜率相乘為-1，則它們垂直。改寫：如果兩條直線的斜率相等，則它們平行；如果兩條直線的斜率相乘為-1，則它們垂直。8.如果一次函數(shù)y=k1x5與y=k2x5平行，則k1=k2。改寫：如果一次函數(shù)y=k1x5與y=k2x5平行，則k1=k2。9.在坐標(biāo)軸上，x軸上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)為0，y軸上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)為0。改寫：在坐標(biāo)軸上，x軸上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)為0，y軸上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)為0。10.對(duì)于一次函數(shù)y=3x1，它與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,0)，與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,3)。改寫：對(duì)于一次函數(shù)y=3x1，它與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,0)，與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,3)。11.如果一次函數(shù)y=2xb的圖像與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為4，那么它的解析式為y=2x+8。改寫：如果一次函數(shù)y=2xb的圖像與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為4，那么它的解析式為y=2x+8。12.通過待定系數(shù)法，可以求出一次函數(shù)的解析式。首先將一次函數(shù)的表達(dá)式設(shè)為y=kx+b，然后代入已知的x、y值，列出二元一次方程組，求解k、b的值，最后代回原式即可。改寫：通過待定系數(shù)法，可以求出一次函數(shù)的解析式。首先假設(shè)一次函數(shù)