安徽省合肥市肥東縣第三中學(xué)高三數(shù)學(xué)理摸底試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有是一個符合題目要求的1.若關(guān)于x的方程有五個互不相等的實(shí)根，則k的取值范圍是A.

B.

C.

D.

參考答案：D2.正方形ABCD的邊長為2，向正方形ABCD內(nèi)投擲200個點(diǎn)，有30個落入圖形M中，則圖形M的面積估計為（）A． B． C． D．參考答案：C【考點(diǎn)】CF：幾何概型．【分析】設(shè)圖形M的面積為S′，利用幾何概型的概率計算公式求出S′的值．【解答】解：設(shè)圖形M的面積為S′，根據(jù)幾何概型的概率計算公式，P==，∴S′=×22=．故選：C．3.設(shè)，則“”是“”的A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件參考答案：B化簡不等式，可知推不出；由能推出，故“”是“”的必要不充分條件，故選B.

4.一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是

A．

B．1

C．

D．參考答案：.試題分析：由題意知，該幾何體為一個長方體截去了兩個三棱錐所得的圖形，所以其體積為，，，所以，故應(yīng)選.考點(diǎn)：1、三視圖；2、空間幾何體的體積；5.已知{an}為等差數(shù)列，a3+a8=22，a6=7，則a5=（

）A.10

B.12

C．13

D.15參考答案：D略6.已知平面內(nèi)的兩個單位向量，，它們的夾角是60°，與、向量的夾角都為30°，且，若，則值為（

）A. B. C.2 D.4參考答案：D【分析】由在的角平分線上，得到，即，再由，根據(jù)向量的數(shù)量積的運(yùn)算列出方程，即可求解，得到答案.【詳解】由題意，可得在的角平分線上，所以,再由可得，即，再由，得，解得，故，所以，故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了平面向量的基本定理，以及向量的數(shù)量積運(yùn)算，其中解答中熟記平面向量的基本定理，得到，再利用向量的數(shù)量積的運(yùn)算公式，準(zhǔn)確運(yùn)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.7.若雙曲線與直線無交點(diǎn)，則離心率的取值范圍A．

B．

C． D．【解析】因?yàn)殡p曲線的漸近線為，要使直線與雙曲線無交點(diǎn)，則直線，應(yīng)在兩漸近線之間，所以有，即，所以，，即，，所以，選B.參考答案：因?yàn)殡p曲線的漸近線為，要使直線與雙曲線無交點(diǎn)，則直線，應(yīng)在兩漸近線之間，所以有，即，所以，，即，，所以，選B.【答案】B

8.若向量；則(

)

參考答案：B略9.如果集合，，那么集合等于（

）（A）（B）（C）（D）參考答案：C略10.已知函數(shù)，則不等式的解集為（

）A．(－∞,－1)∪(3,+∞)

B．(－∞,－3)∪(1,+∞)C．(－3,－1)∪(－1,1)

D．(－1,1)∪(1,3)參考答案：C當(dāng)時，，故其在內(nèi)單調(diào)遞增，又∵函數(shù)定義域?yàn)椋?，故其為偶函?shù)，綜上可得在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增且圖象關(guān)于軸對稱，即等價于且，即不等式的解集為，故選C.

二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.某艦艇在A處測得遇險漁船在北偏東45°距離為10海里的C處，此時得知，該漁船沿北偏東105°方向，以每小時9海里的速度向一小島靠近，艦艇時速21海里，則艦艇到達(dá)漁船的最短時間是___________分鐘．參考答案：4012.在的二項(xiàng)展開式中，的系數(shù)為

參考答案：略13.在等比數(shù)列中，若，，則公比__________，當(dāng)__________時，的前項(xiàng)積最大．參考答案：，在等比數(shù)列中，，，設(shè)前項(xiàng)積為．，，∵此等比數(shù)列各項(xiàng)均為負(fù)數(shù)，當(dāng)為偶數(shù)時，為正，故當(dāng)取最大值時為偶數(shù)．設(shè)當(dāng)時，取得最大值，，∵，∴，∴，整理后：，又∵，∴，解出，∵，∴，故取時，取得最大值．14.

參考答案：答案：解析：，,又因?yàn)榕c不共線,所以,所以15.已知球與棱長均為2的三棱錐各條棱都相切，則該球的表面積為

.參考答案：將該三棱錐放入正方體內(nèi)，若球與三棱錐各棱均相切等價于球與正方體各面均相切，所以,則球的表面積為.16.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸入l=2，m=3，n=5，則輸出的y的值參考答案：68試題分析：第一次循環(huán)：；第二次循環(huán)：；第三次循環(huán)：；結(jié)束循環(huán)，輸出考點(diǎn)：循環(huán)結(jié)構(gòu)流程圖【名師點(diǎn)睛】算法與流程圖的考查，側(cè)重于對流程圖循環(huán)結(jié)構(gòu)的考查.先明晰算法及流程圖的相關(guān)概念，包括選擇結(jié)構(gòu)、循環(huán)結(jié)構(gòu)、偽代碼，其次要重視循環(huán)起點(diǎn)條件、循環(huán)次數(shù)、循環(huán)終止條件，更要通過循環(huán)規(guī)律，明確流程圖研究的數(shù)學(xué)問題，是求和還是求項(xiàng).17.若變量滿足約束條件，且的最小值為4，則

參考答案：1三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.(本小題滿分12分)

已知A，B分別為橢圓(a，b>0)的左、右頂點(diǎn)，F(xiàn)為橢圓的右焦點(diǎn)，AF=3·FB，若橢圓上的點(diǎn)C在AB上的射影恰為F，且△ABC的面積為3．

(I)求橢圓的方程；(II)設(shè)P為直線x=4上不同于點(diǎn)(4，0)的任意一點(diǎn)，若直線AP，BP分別與橢圓相交于點(diǎn)A，M和點(diǎn)B，N，證明點(diǎn)B在以MN為直徑的圓內(nèi)．參考答案：略19.已知函數(shù)f（x）=ax2﹣ex（a∈R）（Ⅰ）當(dāng)a=1時，判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間并給予證明；（Ⅱ）若f（x）有兩個極值點(diǎn)x1，x2（x1＜x2），證明：﹣＜f（x1）＜﹣1．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值．【專題】導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．【分析】（Ⅰ）a=1時，f（x）=x2﹣ex，f′（x）=2x﹣ex，f″（x）=2﹣ex，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性可得當(dāng)x=ln2時，函數(shù)f′（x）取得最大值，f′（ln2）=2ln2﹣2＜0，即可得出．（II）f（x）有兩個極值點(diǎn)x1，x2（x1＜x2），可得f′（x）=2ax﹣ex=0有兩個實(shí)根x1，x2（x1＜x2），由f″（x）=2a﹣ex=0，得x=ln2a．f′（ln2a）=2aln2a﹣2a＞0，得ln2a＞1，解得2a＞e．又f′（0）=﹣1＜0，f′（1）=2a﹣e＞0，可得0＜x1＜1＜ln2a，進(jìn)而得出．【解答】（Ⅰ）解：a=1時，f（x）=x2﹣ex，f′（x）=2x﹣ex，f″（x）=2﹣ex，令f″（x）＞0，解得x＜ln2，此時函數(shù)f′（x）單調(diào)遞增；令f″（x）＜0，解得x＞ln2，此時函數(shù)f′（x）單調(diào)遞減．∴當(dāng)x=ln2時，函數(shù)f′（x）取得最大值，f′（ln2）=2ln2﹣2＜0，∴函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞減．（Ⅱ）證明：f（x）有兩個極值點(diǎn)x1，x2（x1＜x2），∴f′（x）=2ax﹣ex=0有兩個實(shí)根x1，x2（x1＜x2），由f″（x）=2a﹣ex=0，得x=ln2a．f′（ln2a）=2aln2a﹣2a＞0，得ln2a＞1，解得2a＞e．又f′（0）=﹣1＜0，f′（1）=2a﹣e＞0，∴0＜x1＜1＜ln2a，由f′（x1）==0，可得，f（x1）===（0＜x1＜1）．∴可知：x1是f（x）的極小值點(diǎn)，∴f（x1）＜f（0）=﹣1．f（x1）＞=﹣2ax1＞．【點(diǎn)評】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)（兩次求導(dǎo)）研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．20.（本小題滿分12分）已知函數(shù)，其中，．(Ⅰ)若函數(shù)的最小值為，試判斷函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)，并說明理由；(Ⅱ)若函數(shù)極小值大于零，求的取值范圍．參考答案：（I）， 1分當(dāng)時，有最小值為，所以，即， 2分因?yàn)?，所以? 3分所以，所以在上是減函數(shù)，在，上是增函數(shù)， 4分而，， 5分故函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)有3個； 6分(Ⅱ)，令，得， 7分函數(shù)存在極值，， 8分由及（I），只需考慮的情況．當(dāng)變化時，的符號及的變化情況如下表：

0＋0－0＋↗極大值↘極小值↗

因此，函數(shù)在處取得極小值， 10分

要使，必有可得， 11分所以的取值范圍是． 12分21.如圖，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=，AF=1，M是線段EF的中點(diǎn)。

（1）求證AM//平面BDE；

（2）求二面角A-DF-B的大小；

（3）試在線段AC上確定一點(diǎn)P，使得PF與BC所成的角是60°。參考答案：解析:方法一解:(Ⅰ)記AC與BD的交點(diǎn)為O,連接OE,∵O、M分別是AC、EF的中點(diǎn)，ACEF是矩形，∴四邊形AOEM是平行四邊形，∴AM∥OE?！咂矫鍮DE，平面BDE，∴AM∥平面BDE。

(Ⅱ)在平面AFD中過A作AS⊥DF于S，連結(jié)BS，∵AB⊥AF，AB⊥AD，∴AB⊥平面ADF，∴AS是BS在平面ADF上的射影，由三垂線定理得BS⊥DF。∴∠BSA是二面角A—DF—B的平面角。在RtΔASB中，∴∴二面角A—DF—B的大小為60o。（Ⅲ）設(shè)CP=t（0≤t≤2）,作PQ⊥AB于Q，則PQ∥AD，∵PQ⊥AB，PQ⊥AF，，∴PQ⊥平面ABF，平面ABF，∴PQ⊥QF。在RtΔPQF中，∠FPQ=60o，PF=2PQ。∵ΔPAQ為等腰直角三角形，∴又∵ΔPAF為直角三角形，∴，∴所以t=1或t=3(舍去)即點(diǎn)P是AC的中點(diǎn)。方法二（Ⅰ）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系。設(shè)，連接NE，則點(diǎn)N、E的坐標(biāo)分別是（、（0,0,1）,∴NE=(,

又點(diǎn)A、M的坐標(biāo)分別是（）、（∴AM=（∴NE=AM且NE與AM不共線，∴NE∥AM。又∵平面BDE，平面BDE，∴AM∥平面BDF。（Ⅱ）∵AF⊥AB，AB⊥AD，AF∴AB⊥平面ADF。∴為平面DAF的法向量?！逳E·DB=（·=0，∴NE·NF=（·=0得NE⊥DB，NE⊥NF，∴NE為平面BDF的法向量。∴cos<AB,NE>=∴AB與NE的夾角是60o。即所求二面角A—DF—B的大小是60o。（Ⅲ）設(shè)P(t,t,0)(0≤t≤)得

∴CD=（，0，0）又∵PF和CD所成的角是60o。∴解得或（舍去），即點(diǎn)P是AC的中點(diǎn)。22.如圖1，⊙O的直徑AB=4，點(diǎn)C、D為⊙O上兩點(diǎn)，且∠CAB=45°，∠DAB=60°，F(xiàn)為的中點(diǎn)．沿直徑AB折起，使兩個半圓所在平面互相垂直（如圖2）．（1）求證：OF∥平面ACD；（2）求二面角C﹣AD﹣B的余弦值；（3）在上是否存在點(diǎn)G，使得FG∥平面ACD？若存在，試指出點(diǎn)G的位置，并求直線AG與平面ACD所成角的正弦值；若不存在，請說明理由．參考答案：考點(diǎn)：用空間向量求平面間的夾角；直線與平面平行的判定；二面角的平面角及求法．.專題：空間角．分析：（1）以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以AB所在直線為y軸，以O(shè)C所在直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出向量與的坐標(biāo)，利用向量共線的坐標(biāo)表示求證OF∥AC，從而說明線面平行；（2）根據(jù)，∠DAB=60°求出D點(diǎn)坐標(biāo)，然后求出平面ACD的一個法向量，找出平面ADB的一個法向量，利用兩平面法向量所成角的余弦值求解二面角C﹣AD﹣B的余弦值；（3）假設(shè)在上存在點(diǎn)G，使得FG∥平面ACD，根據(jù)（1）中的結(jié)論，利用兩面平行的判定定理得到平面OFG∥平面ACD，從而得到OG∥AD，利用共線向量基本定理得到G的坐標(biāo)（含有參數(shù)），然后由向量的模等于圓的半徑求出G點(diǎn)坐標(biāo)，最后利用向量與平面ACD的法向量所成角的關(guān)系求直線AG與平面ACD所成角的正弦值．解答：（1）證明：如圖，因?yàn)椤螩AB=45°，連結(jié)OC，則OC⊥AB．以AB所在的直線為y軸，以O(shè)C所在的直線為z軸，以O(shè)為原點(diǎn)，作空間直角坐標(biāo)系O﹣xyz，則A（0，﹣2，0），C（0，0，2）．，∵點(diǎn)F為的中點(diǎn)，∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為，．∴，即OF∥AC．∵OF?平面ACD，AC?平面ACD，∴OF∥平面ACD．（2）解：∵∠DAB=60°，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)，．設(shè)二面角C﹣AD﹣B的大小為θ，為平面ACD的一個法向量．由有即取x=1，解得，．∴=．取平面ADB的一個法向量=（0，