數(shù)學分析課件911§9.1定積分概念2021/7/172定積分的演示背景來源——面積的計算！矩形的面積定義為兩直角邊長度的乘積？一般圖形的面積是什么

我們可以用大大小小的矩形將圖形不斷填充，但閃爍部分永遠不可能恰好為矩形，這些“邊角余料”無外乎是右圖所示的“典型圖形”（必要時可旋轉）“典型圖形”面積的計算問題就產(chǎn)生了定積分2021/7/173一、問題提出1.曲邊梯形的面積設y=f(x)為區(qū)間[a,b]上連續(xù)函數(shù)，且f(x)≥0，由曲線y=f(x)，直線x=a，x=by=0所圍成的圖形稱為曲邊梯形。下面討論曲邊梯形的面積2021/7/174對于多邊形的面積，我們在中學就已經(jīng)會計算了，例如矩形的面積=底×高顯然，曲邊梯形的面積不能用這個公式來計算。直與曲不變與變2021/7/175磚是直邊的長方體煙囪的截面是彎曲的圓“直的磚”砌成了“彎的圓”局部以直代曲2021/7/176abxyoabxyo

雖然曲邊梯形的準確面積我們不會計算，但是我們可以用一些小矩形來近似算出它的面積。

（四個小矩形）（九個小矩形）從中可以得到一個什么樣的啟示？2021/7/177小曲邊梯形的底：小曲邊梯形的高：小曲邊梯形的面積：2021/7/178⑴分割用任意的一組分點：把[a,b]分成n

個小區(qū)間[xi-1,xi]i=1,2,…,n相應地把曲邊梯形分為n

個小曲邊梯形，其面積分別記為ΔSii=1,2,…,n（化整為零）2021/7/179⑵近似代替在每個小區(qū)間[xi-1,xi]上任取一點ξi

，其中（曲轉化為直）于是小曲邊梯形的面積2021/7/1710⑶求和（積零為整）大曲邊梯形的面積2021/7/1711⑷取極限令若極限存在，則定義此極限值為曲邊梯形的面積（直轉化為曲）讓每個小區(qū)間的長度趨于零再演示一下這個過程2021/7/1712│││││││││││定積分的演示1、分割

將[a，b]分割為n個小區(qū)間02、取介點

在每個小區(qū)間上任取一點xi3、局部以直代曲

每個小區(qū)間上的曲線y=f(x)用直線段y=f(xi)代替4、作和：S?=yx2021/7/1713定積分的演示1、分割

將[a，b]分割為n個小區(qū)間2、取介點

在每個小區(qū)間上任取一點xi3、局部以直代曲

每個小區(qū)間上的曲線y=f(x)用直線段y=f(xi)代替4、作和：S?=5、取極限

abyx2021/7/1714

求曲邊梯形的面積體現(xiàn)了曲轉化為直、直轉化為曲的辯證思想。這個計算過程，就是一個先微分后積分的過程。也就是說，把曲邊梯形分割成許多小曲邊梯形，在每個小曲邊梯形中，把曲邊看成直邊，用這些小“矩形”面積的和近似地表示原來大曲邊梯形的面積，從而實現(xiàn)了局部的曲轉化為局部的直，即“以直代曲”。2021/7/1715

然后，再把分割無限加細，通過取極限，就使小矩形面積的和，轉化為原來大曲邊梯形的面積。這樣局部的直又反過來轉化為整體的曲。這種曲轉化為直，直轉化為曲，以及由此所反映出來的化整為零、積零為整的思想方法，是微積分乃至整個高等數(shù)學的一個重要方法。2021/7/1716F雖然是變力，但在很短一段間隔內(nèi)，F(xiàn)的變化不大，可近似看作是常力作功問題。按照求曲邊梯形面積的思想，F(xiàn)(x)AB

再看一個變力做功的問題。設質(zhì)點m受力的作用，在變力F的作用下，沿直線由A點運動到B點，求變力作的功上一頁下一頁2021/7/1717⑴分割用任意的一組分點：把[a,b]分成n

個小區(qū)間[ti-1,ti]i=1,2,…,n⑵近似代替在[ti-1,ti]上任取一點ξi

，于是在該小區(qū)間上的力

作的功

2021/7/1718⑶求和總功⑷取極限令若極限存在，則定義此極限值為力所做的功2021/7/1719從上面例子看出，不管是求曲邊梯形的面積或是計算變力作的功，它們都歸結為對問題的某些量進行“分割、近似求和、取極限”，或者說都歸結為形如的和式極限問題。我們把這些問題從具體的問題中抽象出來，作為一個數(shù)學概念提出來就是今天要講的定積分。由此我們可以給定積分下一個定義

2021/7/1720二、定積分的定義定義:在[a,b]內(nèi)任取一組分點將[a,b]分成n個子區(qū)間Δi=[xi-1,xi

]i=1,2,…,n

這些分點構成[a,b]的一個分割，記為T={x0,x1,…,xn

}={Δ1,Δ2,…,Δn}記Δxi=xi–xi-1

，

并稱為分割T

的模2021/7/1721稱此和式為f

在[a,b]上的一個積分和，也稱為黎曼（Riemann）和定義:設函數(shù)f(x)在[a,b]上有定義,對[a,b]的一個分割T={Δ1,Δ2,…,Δn}，任取點i

Δi,i=1,2,…,n，作和2021/7/1722定義:設函數(shù)f(x)在[a,b]上有定義,若任給的ε>0，總存在δ>0，使得對[a,b]的任何分割T={Δ1,Δ2,…,Δn}，任意的i

Δi,i=1,2,…,n，只要||T||<δ,就有則稱函數(shù)f(x)在[a,b]上可積；數(shù)J

稱為f

在[a,b]上的定積分.記作2021/7/1723也可用極限符號來表達定積分注1：積分和的極限與函數(shù)的極限有很大的區(qū)別積分和的極限要比通常的函數(shù)極限復雜得多.2021/7/1724注2：定積分數(shù)值只與被積函數(shù)及積分區(qū)間[a,b]有關,與積分變量記號無關規(guī)定當a=b時,規(guī)定當a>b時,2021/7/1725曲線y=f(x)≥0，直線x=a，x=b，

y=0所圍成的曲邊梯形面積可用定積分表示為變力作功問題可表示為2021/7/17261.與的差別是的全體原函數(shù)是函數(shù)是一個和式的極限是一個確定的常數(shù)注：2021/7/17273．定積分的值與積分變量用什么字母表示無關，即有4．規(guī)定：

2.當?shù)臉O限存在時，其極限值僅與被積函數(shù)及積分區(qū)間有關，而與區(qū)間的分法及點的取法無關。f(x)[a,b]2021/7/1728例1求在區(qū)間[0,1]上，以拋物線y=x2為曲邊的曲邊三角形的面積解由定積分的幾何意義，有因為定積分存在，對區(qū)間[0,1]取特殊的分割2021/7/1729將區(qū)間[0,1]等分成n等份,分點為每個小區(qū)間的長度取則有2021/7/17302021/7/1731

定積分的演示——曲邊三角形面積的計算Archimedes的想法：把底邊[0,1]分成n等份,然后在每個分點作底邊的垂線,這樣曲邊三角形被分成n個窄條,用矩形來近似代替,然后把這些小矩形的面積加起來,得到一個近似值:因此,我們有理由相信,這個曲邊三角形的面積為:2021/7/1732與區(qū)間及被積函數(shù)有關；B.與區(qū)間無關與被積函數(shù)有關C.與積分變量用何字母表示有關；D.與被積函數(shù)的形式無關

在

上連續(xù)，則定積分

的值4.(B)中，積分上限是

積分下限是

積分區(qū)間是

2.(A)

及x軸所圍成的曲邊梯形的面積，用定積分表示為

與直線

由曲線(B)舉例

2-2[-2,2]0A3.定積分(A)2021/7/1733

三定積分的幾何意義.當f(x)≥0，定積分的幾何意義就是曲線y=f(x)直線x=a，x=b，

y=0所圍成的曲邊梯形的面積bAoxyay=f(x)S2021/7/1734當函數(shù)f(x)0，x[a,b]時

定積分就是位于x

軸下方的曲邊梯形面積的相反數(shù).即oxyaby=f(x)S2021/7/1735幾何意義：2021/7/1736例2

利用定義計算定積分解2021/7/17372021/7/1738四、小結１．定積分的實質(zhì)：特殊和式的極限．２．定積分的思想和方法：分割化整為零求和積零為整取極限