大學(xué)物理第4佔(zhàn)講薛定諤方程一、薛定諤方程假設(shè)一個(gè)質(zhì)量為m的粒子被限制沿x軸運(yùn)動(dòng),所受力為F(x1)。經(jīng)典力學(xué)中要解決的問(wèn)題是確定在給定任意時(shí)刻這個(gè)粒子的位置:x(t)并由此求出我們感興趣的其它物理量。確定x(1)是通過(guò)求解牛頓運(yùn)動(dòng)方程F=mad2xaU其中力可以表示為勢(shì)能函數(shù)Udt2的導(dǎo)數(shù)F(x,t)量子力學(xué)中要解決的問(wèn)題不是確定x()而是要尋找粒子的波函數(shù)v(x,t),得到這個(gè)波函數(shù)是通過(guò)求解薛定諤方程:ay(x,t)h=ay(,,)+Uy(,t)at2max大學(xué)物理oy(x,t)hay(x,t)2mr2+UP(x,t)上式中,讠是-1的平方根,h=h是約化普朗克常量,U是限制粒子運(yùn)動(dòng)的勢(shì)能函數(shù)薛定諤方程的作用和地位就像經(jīng)典力學(xué)中的牛頓第二定律:給定適當(dāng)?shù)某跏紬l件y(x,0),薛定諤方程確定以后所有時(shí)刻的波函數(shù)Y(x,t),然后可以根據(jù)波函數(shù)求出感興趣的動(dòng)力學(xué)量的期待值。薛定諤方程是量子力學(xué)的一條基本原理,它揭示了微觀世界中物質(zhì)運(yùn)動(dòng)的基本規(guī)律。大學(xué)物理定態(tài)薛定諤方程要得到波函數(shù)y(x,t)必須要解薛定諤方程,假設(shè)U不隨時(shí)間變化即U(x),則可以通過(guò)分離變量法來(lái)求解:先將波函數(shù)寫(xiě)成4(x,)=v(x)(t)于是(xqa-y(,t)dy代入薛定諤方程y=dy2mdx2toye兩邊同時(shí)除以Wqhuy+Udt2mydx上式左邊僅是t的函數(shù),右邊僅是x的函數(shù)。這樣方程成立的唯一可能就是兩邊都是常數(shù),記這個(gè)常數(shù)為E大學(xué)物理這樣就得到兩個(gè)方程h-1d-yin1do-Edt2mydrop+UE第一個(gè)方程可以直接解出()=Ce-lb由于我們感興趣的是乘積V,所以常數(shù)C可以并到里,這樣o(t)iEl/N第二個(gè)方程可以寫(xiě)成稱(chēng)為定態(tài)薛定諤方程L2mdr3+U=v如果不指定具體的U(x)我們將無(wú)法繼續(xù)求解定態(tài)薛定諤方程大學(xué)物理注意:1、盡管波函數(shù)本身y(x,t)=y(x)e明顯與時(shí)間有關(guān),但概率密度即波函數(shù)模的平方y(tǒng)(x1)2=yy=v(x)c"y(x)e=lv(x)卻不依賴(lài)時(shí)間—一時(shí)間因子被相互抵消。因此以后我們可以簡(jiǎn)單的用來(lái)代替y2、定態(tài)是能量取確定值的狀態(tài)經(jīng)典力學(xué)中,總能量(動(dòng)能加勢(shì)能)稱(chēng)為哈密頓量通過(guò)標(biāo)準(zhǔn)的替換規(guī)