專(zhuān)題34線(xiàn)性規(guī)劃

學(xué)習(xí)目標(biāo)

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

1.會(huì)從實(shí)際情境中抽象出二元一次不等式組，了解二元一次不等式的幾何意義，能用平面

區(qū)域表示二元一次不等式組，會(huì)從實(shí)際情境中抽象出一些簡(jiǎn)單的二元線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題，并能

加以解決.

2.掌握確定平面區(qū)域的方法；理解目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，注意線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題與其他知識(shí)的

綜合.

二.知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

【知識(shí)要點(diǎn)】

1.二元一次不等式表示的平面區(qū)域

（1）二元一次不等式〃+故+00在平面直角坐標(biāo)系中表示直線(xiàn)4x+/+C=0某一側(cè)的所有

點(diǎn)組成的平面區(qū)域（半平面），不包括邊界直線(xiàn).

不等式Ax+By+C^Q所表示的平面區(qū)域（半平面）包括邊界直線(xiàn).

（2）在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)直線(xiàn)加+如+<?=0（8不為0）及點(diǎn)尸（劉，㈤，貝IJ

①若皮0,Ax^Byo+OQ,則點(diǎn)。（施，k）在直線(xiàn)的上方，此時(shí)不等式4x+少+。0表示直線(xiàn)

Ax+By-\-C—Q的上方的區(qū)域.

②若及0,而。+旗+儀0,則點(diǎn)尸在直線(xiàn)的下方，此時(shí)不等式4x+/+戊0表示直線(xiàn)4x+故

+C=0的下方的區(qū)域.

③若是二元一次不等式組，則其平面區(qū)域是所有平面區(qū)域的公共部分.

2.線(xiàn)性規(guī)劃相關(guān)概念

名稱(chēng)意義

約束條件目標(biāo)函數(shù)中的變量所要滿(mǎn)足的不等式組

線(xiàn)性約束

由X,y的一次不等式（或方程）組成的不等式組

條件

目標(biāo)函數(shù)關(guān)于x,y的函數(shù)解析式

可行解滿(mǎn)足線(xiàn)性約束條件的解

可行域所有可行解組成的集合

線(xiàn)性目標(biāo)函數(shù)目標(biāo)函數(shù)是關(guān)于變量的一次函數(shù)

最優(yōu)解使目標(biāo)函數(shù)取得最大或最小值的可行解

線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題在線(xiàn)性約束條件下，求線(xiàn)性目標(biāo)函數(shù)的最大值或最小值

3.常見(jiàn)簡(jiǎn)單的二元線(xiàn)性規(guī)劃實(shí)際問(wèn)題

一是在人力、物力、資金等資源一定的條件下，如何使用它們完成最多的任務(wù)；二是給定

一項(xiàng)任務(wù)，如何合理安排和規(guī)劃，能以最少的人力、物力、資金等資源來(lái)完成該項(xiàng)任務(wù).

解線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題的一般步驟：

審題、設(shè)元一一列出約束條件

（通常為不等式組）一一建立目標(biāo)函數(shù)作出可行域求最優(yōu)解.

三.解題方法總結(jié)

.二元一次不等式（組）表示的平面區(qū)域確定的方法

第一種：若用y=kx+b表示的直線(xiàn)將平面分成上下兩部分

不等式區(qū)域

y>kx+b表示直線(xiàn)上方的半平面區(qū)域

y<kx+b表示直線(xiàn)下方的半平面區(qū)域

第二種：用Ax+By+C=O（BWO）表示的直線(xiàn)將平面分成上下兩部分（B=0讀者完成）

不等式B>0B<0

Ax+By+C>0表示直線(xiàn)上方的半平面區(qū)域表示直線(xiàn)下方的半平面區(qū)域

Ax+By+CVO表示直線(xiàn)下方的半平面區(qū)域表示直線(xiàn)上方的半平面區(qū)域

聯(lián)系：將Ax+By+C=O表示的直線(xiàn)轉(zhuǎn)化成y=kx+b的形式即是第一種.

第三種：選特殊點(diǎn)判定（如原點(diǎn)），取一點(diǎn)坐標(biāo)代入二元一次不等式（組），若成立，則平面

區(qū)域包括該點(diǎn)，反之，則不包括.

2.線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題求解策略

（1）解決線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題時(shí)，找出約束條件和目標(biāo)函數(shù)是關(guān)鍵，一般步驟如下：

①作：確定約束條件，并在坐標(biāo)系中作出可行域；

②移：由z=aX+by變形為y=-表+今所求z的最值可以看成是求直線(xiàn)丫=一聲+旌y

軸上的截距的最值（其中a,b是常數(shù)，z隨x,y的變化而變化），將直線(xiàn)ax+by=O平移，

在可行域中觀(guān)察使注最大（或最?。r(shí)所經(jīng)過(guò)的點(diǎn)；

③求：求出取得最大值或最小值的點(diǎn)的坐標(biāo)，并將其代入目標(biāo)函數(shù)求得最大值和最小值;

④答：寫(xiě)出最后結(jié)論.

(2)可行域可以是一個(gè)一側(cè)開(kāi)放的平面區(qū)域，也可以是一個(gè)封閉的多邊形，若是一個(gè)多邊形，

目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解一般在多邊形的某個(gè)頂點(diǎn)處取得.

(3)若要求的最優(yōu)解是整數(shù)解，而通過(guò)圖象求得的是非整數(shù)解，這時(shí)應(yīng)以與線(xiàn)性目標(biāo)函數(shù)的

距離為依據(jù)，在直線(xiàn)的附近尋求與此直線(xiàn)最近的整點(diǎn)，或者用“調(diào)整優(yōu)值法”去尋求最優(yōu)

解.

四.命題陷阱類(lèi)型分析

1.簡(jiǎn)單的線(xiàn)性規(guī)劃

x+y<6

例1.若實(shí)數(shù)滿(mǎn)足條件｛x-3y4-2,則2x+3y的最大值為()

x>l

A.21B.17C.14D.5

【答案】B

【解析】作可行域?yàn)槿鐖D所示的"C,其中/(L5)田(U),C(4,2),設(shè)z=2x+3y,則

y=-^x+-z,表示斜率為一:，縱截距為;的直線(xiàn)，作直線(xiàn)》=—gx并平移，使其經(jīng)過(guò)可行域內(nèi)的點(diǎn),

33333

當(dāng)直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)X(L5)時(shí)，z取得最大值，2皿=2x1+3x5=17.故選

XK

尤21

練習(xí)1.已知實(shí)數(shù)X,y滿(mǎn)足｛x—2y+l〈0,則z=x+3y的最大值是()

x+yW3

17

A.4B.7C.8D.—

3

【答案】B

【解析】作出可行域，如圖所示：

當(dāng)直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)B（l,2）時(shí)，z=x+3y最大，即z=l+6=7,

故選：B

y<3x-l

2.已知實(shí)數(shù)滿(mǎn)足｛x+y<4,則目標(biāo)函數(shù)z=x—y的最大值為（）

yzi

A.-3B.3C.2D.-2

【答案】C

【解析】

如圖所示，當(dāng)x=3,y=l時(shí)，

目標(biāo)函數(shù)2=》一y的最大值為3-1=2

故選C。

【方法總結(jié)】本題主要考查的是線(xiàn)性規(guī)劃的基本應(yīng)用的問(wèn)題。由約束條件作出不等式組對(duì)

應(yīng)的平面區(qū)域，利用二的幾何意義是解決線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題的關(guān)鍵，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，聯(lián)立

方程組求得最優(yōu)解的坐標(biāo)，代入目標(biāo)函數(shù)即可求解

2.與斜率有關(guān)的線(xiàn)性規(guī)劃

2x+y-2>Q

例2已知實(shí)數(shù)x、y滿(mǎn)足｛x—2y+420，求2=區(qū)的最大值是（）

x+1

3x-y-3W0

157

A.9B.—C.3D.—

715

【答案】C

2x+y-2>0

【解析】由線(xiàn)性約束條件｛x-2y+420作出可行

3x-y-3<0

域如圖,

2=答的幾何意義為可行域內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)耳-1-1）連線(xiàn)的斜率'

一斤1%=2_(T)

,.1-(-1)2'%0-(-1)'

”誓的最大值為3?

故選C.

x-y+2<Q

練習(xí)1.設(shè)變量X,y滿(mǎn)足約束條件｛x+y-7W0，則」的最大值為（）

%>1"

o

A.6B.3C.-D.1

5

【答案】A

【解析】畫(huà)出不等式組表示的可行域（如圖陰影部分所示）.

q表示可行域內(nèi)的點(diǎn)M（x,y）與原點(diǎn)連線(xiàn)的斜率.結(jié)合圖形可得，可行域內(nèi)的點(diǎn)A與原點(diǎn)

連線(xiàn)的斜率最大.

由｛「，解得｛,,故得A（l,6）.

x-\y=6

所以（上]=《M=6,選A.

I%/max

練習(xí)2.實(shí)數(shù)滿(mǎn)足d+y2+4x+3=0,則上的取值范圍是（）

X

A.[―B.（—00,—有M3+8）C.D.

【答案】C

【解析】設(shè)）二h即kx-y=Q,

x

由圓方程，+/+以+3=0,得到（x+2）2+/=1得到圓心坐標(biāo)為（-2,0）,半徑廣，

由題意,圓心到直線(xiàn)的距離金,即-^=Q，

解得：等“邛,

則女的取值范圍是一理、

故選：c.

【方法總結(jié)】：利用線(xiàn)性規(guī)劃求最值的步驟:

(1)在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)作出可行域.

(2)考慮目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，將目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行變形.常見(jiàn)的類(lèi)型有截距型(以+公，型)、

斜率型(上了型)和距離型((x+a『+(y+0)2型).

(3)確定最優(yōu)解：根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的類(lèi)型，并結(jié)合可行域確定最優(yōu)解.

(4)求最值：將最優(yōu)解代入目標(biāo)函數(shù)即可求出最大值或最小值。

注意解答本題時(shí)不要忽視斜率不存在的情形.

3.已知實(shí)數(shù)滿(mǎn)足｛x+2y-5W0,求以=9匕的取值范圍__________.

【答案】4,—

_3_

【解析】作出可行域如圖所示：

令t=1表示可行域內(nèi)的點(diǎn)(xj)到原點(diǎn)的斜率，由圖聯(lián)立直線(xiàn)可得A(L2)1(3』)=tcN

1=色宜=，+2孫+/=*+2=t+1+2.

孫>yyxt

易知"=t+；+2在［；［］單調(diào)遞減，在［L2］單調(diào)遞熠.

t=」時(shí),u=—,t=lB寸,徂=4,t=2時(shí)，”=—>

332

所以〃G.

故答案為：4,—.

_3_

【方法總結(jié)】：本題主要考查線(xiàn)性規(guī)劃中利用可行域求目標(biāo)函數(shù)的最值，屬簡(jiǎn)單題.求目標(biāo)

函數(shù)最值的一般步驟是“一畫(huà)、二移、三求”：(1)作出可行域(一定要注意是實(shí)線(xiàn)還是

虛線(xiàn))；(2)找到目標(biāo)函數(shù)對(duì)應(yīng)的最優(yōu)解對(duì)應(yīng)點(diǎn)(在可行域內(nèi)平移變形后的目標(biāo)函數(shù)，最先

通過(guò)或最后通過(guò)的頂點(diǎn)就是最優(yōu)解)；(3)將最優(yōu)解坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)求出最值.

3.與距離有關(guān)的線(xiàn)性規(guī)劃

x<4

例3.關(guān)于x、y的不等式組｛y>2所表示的平面區(qū)域記為M,不等式

x-y+2>0

(x-4)2+(y-3)2<l所表示的平面區(qū)域記為N,若在M內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則該點(diǎn)取自N的

概率為()

A.—B.-C.-1).-

16842

【答案】A

i7E7[

【解析】M的面積為一x4x4=8,半圓的面積為一，故概率為一.

2216

x<0

練習(xí)1.設(shè)點(diǎn)P(x,y)是平面區(qū)域｛x+y+140內(nèi)的任意一點(diǎn)，則爐+)2-4》的最小值

2x+y+220

為

()

19

A.—B.1C.—D.5

22

【答案】B

【解析】作可行域如圖，x2+y2-4x=(x—2『+y2_4=A/p2—4，其中M(2,0),因

為四4=亞％=石二x2+/-4x的最小值為5-4=1,選B

練習(xí)2.M在不等式組｛3x+4yN4所表示的平面區(qū)域上，點(diǎn)N在曲線(xiàn)

y-3<0

/+y2+4x+3=0上，那么|MN|的最小值是()

1°2前八2加,c,

A.-B.----C.------1D.1

233

【答案】D

【解析】

如圖，畫(huà)出平面區(qū)域（陰影部分所示）,

由圓心c（—2,0）向直線(xiàn)3x+4y—4=0作垂線(xiàn),

|3x(-2)+4x0-4|

圓心。（一2,0）到直線(xiàn)3x+4y—4=0的距離為=2,

^3^

又圓的半徑為1,所以可求得|MN|的最小值是1.

故選D.

【方法總結(jié)】利用線(xiàn)性規(guī)劃求最值的步驟:

（D在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)作出可行域.

（2）考慮目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，將目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行變形.常見(jiàn)的類(lèi)型有截距型（火+外型）、

斜率型（1三型）和距離型（（x+a）2+（y+O）2型）.

（3）確定最優(yōu)解：根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的類(lèi)型，并結(jié)合可行域確定最優(yōu)解.

（4）求最值：將最優(yōu)解代入目標(biāo)函數(shù)即可求出最大值或最小值.

注意解答本題時(shí)不要忽視斜率不存在的情形.

%—y+220

3.若實(shí)數(shù)滿(mǎn)足不等式組｛x+2y—420，且3（x—a）+2（y+l）的最大值為5，則a等

2x+y-5<0

于（）

A.2B.-1C.-2D.1

【答案】A

x-y+2之0

【解析】實(shí)數(shù)x,y滿(mǎn)足不等式組（4+2丁-4之0,的可行域如圖:

2x+y-5<0

3（x—a）+2（y+l）=3x+2y+2-3a的最大值為：5,由可行域可知z=3x+2y+2-3a,經(jīng)過(guò)A

時(shí)，z取得最大值,

x-y+2=0

由｛，可得A（l,3）可得3+6+2-3a=5,

2x+y-5=0

解得a=2.

故選：A.

【方法總結(jié)】：本題考查的是線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題，解決線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題的實(shí)質(zhì)是把代數(shù)問(wèn)題幾何化,

即數(shù)形結(jié)合思想.需要注意的是：一，準(zhǔn)確無(wú)誤地作出可行域;二，畫(huà)目標(biāo)函數(shù)所對(duì)應(yīng)的直

線(xiàn)時(shí)，要注意讓其斜率與約束條件中的直線(xiàn)的斜率進(jìn)行比較，避免出錯(cuò);三，一般情況下，

目標(biāo)函數(shù)的最大值或最小值會(huì)在可行域的端點(diǎn)或邊界上取得.

4.對(duì)于實(shí)數(shù)x,定義國(guó)是不超過(guò)x的最大整數(shù)，例如：[2.3]=2.在直角坐標(biāo)平面內(nèi),

若（x,y）滿(mǎn)足[x-1]2+[y—=4,則（x+2）2+V的最小值為—

【答案】2

[解析]?.[x_iy+[y_l]2=4

[x-l]=±2[x-1]=0-2<X-1<-1BJC2<X-1<3

或者｛即｛或

[y-i]=o[y-l]=±20<y-i<1

0<x-l<l

-2<y-l<-lsK2<y-l<3

???(x+2)2+y2可以看作可行域內(nèi)點(diǎn)到點(diǎn)(_2,o)距離的平方

由圖可知，可行域內(nèi)的點(diǎn)到(-1,1)到點(diǎn)(-2,0)的距離的平方最小

(x+2『+y2的最小值為2

故答案為2.

【方法總結(jié)】：本題考查線(xiàn)性規(guī)劃，點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離公式以及新定義問(wèn)題，屬于難題.新

定義題型的特點(diǎn)是：通過(guò)給出一個(gè)新概念，或約定一種新運(yùn)算，或給出幾個(gè)新模型來(lái)創(chuàng)設(shè)

全新的問(wèn)題情景，要求考生在閱讀理解的基礎(chǔ)上，依據(jù)題目提供的信息，聯(lián)系所學(xué)的知識(shí)

和方法，實(shí)現(xiàn)信息的遷移，達(dá)到靈活解題的目的.解答本題的關(guān)鍵是理解新定義，畫(huà)出正確

的可行域.

2x+y>2

5.P(x,y)滿(mǎn)足｛x—y-lW0,則/+產(chǎn)的最小值為—

x+2y<4

4

【答案】-

5

【解析】作出可行域：

，+/的表示可行域上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的平方，其最小值顯然是原點(diǎn)到直線(xiàn)AC距離的平方:

fO+O-lY_4

I1+1J5

故答案為：q4

【方法總結(jié)】：線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題，首先明確可行域?qū)?yīng)的是封閉區(qū)域還是開(kāi)放區(qū)域、分界線(xiàn)是

實(shí)線(xiàn)還是虛線(xiàn)，其次確定目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，是求直線(xiàn)的截距、兩點(diǎn)間距離的平方、直

線(xiàn)的斜率、還是點(diǎn)到直線(xiàn)的距離等等，最后結(jié)合圖形確定目

4.可行域含參數(shù)

2x-y>Q,

例4.若實(shí)數(shù)x,y滿(mǎn)足｛y>x,且z=2x+y的最小值為4,則實(shí)數(shù)6的值為（）

y>-x+b,

A.1B.2C.-D.3

2

【答案】D

【解析】作出不等式組對(duì)于的平面區(qū)域如圖：

且y=-2x+z,則直線(xiàn)y=-2x+z的截距最小時(shí)，z也取得最小值，

則不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域在直線(xiàn)y=-2x+z的上方,

=4;,解得廣\

=0y=2

即A（1,2）,

此時(shí)A也在直線(xiàn)y=-x+b上,

即2=-1+b,

解得b=3,

故選：D

【方法總結(jié)】：線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題，首先明確可行域?qū)?yīng)的是封閉區(qū)域還是開(kāi)放區(qū)域、分界線(xiàn)是

實(shí)線(xiàn)還是虛線(xiàn)，其次確定目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，是求直線(xiàn)的截距、兩點(diǎn)間距離的平方、直

線(xiàn)的斜率、還是點(diǎn)到直線(xiàn)的距離等等，最后結(jié)合圖形確定目標(biāo)函數(shù)最值取法、值域范圍.

y>0

練習(xí)1設(shè)不等式組（x+yWl,所表示的區(qū)域面積為SwR）.若SW1,則（）

y>mx

A.m<-2B.-2<m<0C.0<m<2D.m>2

【答案】A

【解析】如圖:

當(dāng)了+丁=1與y=〃式交點(diǎn)為（-1,2）時(shí)面積為1,此時(shí)加=一2,若SW1則/wW-2

故選A

x-y>0

練習(xí)2.已知不等式組｛x+yNO表示平面區(qū)域的面積為4,點(diǎn)P（x,y）在所給的平面區(qū)域

x<a

內(nèi)，則z=2x+y的最大值為（）

A.2B.4C.6D.8

【答案】C

【解析】作可行域如圖，可得gxax2a=4，。=2，所以直線(xiàn)z=2x+y過(guò)點(diǎn)A⑵2）時(shí)z

取最大值6,選C.

3.設(shè)滿(mǎn)足約束條件｛OWyAa,且目標(biāo)函數(shù)z=2x+y的最大值為16,則。=（）

x+y>0

A.10B.8C.6D.4

【答案】A

【解析】根據(jù)題意畫(huà)出可行域，是一個(gè)封閉的三角形區(qū)域，目標(biāo)函數(shù)化為7=-2x+z,當(dāng)目標(biāo)函數(shù)過(guò)點(diǎn)(3e)

時(shí)，有最大值16,此時(shí)6+。=16=。=10.

故答案為：Ao

5.目標(biāo)函數(shù)含參數(shù)

3x-y-6<0

例5.設(shè)x,y滿(mǎn)足約束條件｛x-y+220，若目標(biāo)函數(shù)z=ac+y(a>0)的最大值為

x>0,^>0

18,則a的值為()

A.3B.5C.7D.9

【答案】A

【解析】根據(jù)不等式組得到可行域是一個(gè)封閉的四邊形區(qū)域，目標(biāo)函數(shù)化為y=-ax+z

當(dāng)直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)(4,6)時(shí)，有最大值，將點(diǎn)代入得到z=4a+6=18na=3.

故答案為：A.

x+y20,

練習(xí)1.若不等式組｛x-y+220,所表示的平面區(qū)域被直線(xiàn)/：皿-y+根+1=0分為

2x-y-2<0,

面積相等的兩部分，則加=()

A.—B.2C.--D.-2

22

【答案】A

【解析】由題意可畫(huà)出可行域?yàn)槿鐖D△/a1及其內(nèi)部所表示的區(qū)域，

聯(lián)立可行域邊界所在直線(xiàn)方程，可得4(—1,1),C(4,6).因?yàn)橹本€(xiàn)1：y=

欣x+D+1過(guò)定點(diǎn)4(—1,1),直線(xiàn)1平分a'的面積，所以直線(xiàn)1過(guò)邊比,的中點(diǎn)。，易

(78、1

得0|,代入mx—y+m+1=0,得m——,故選A.

133)2

2x-y+2>0

練習(xí)2.已知實(shí)數(shù)滿(mǎn)足約束條件｛x—2y-2W0,若z=x-ay(a>0)的最大值為4,

x+j-2<0

則a=()

3

A.2B.-C.3D.4

2

【答案】C

2x-y+2>0

【解析】由約束條件｛x—2y—2W0作出可行域如圖,

x+y—2<0

聯(lián)立｛尹-'+2一°,解得東一2,-2),由圖得3(2,0).化目標(biāo)函數(shù)z=x—ay(a>0)

x-2y-2=Q

77

為丁=二x一三.當(dāng)直線(xiàn)y=Xt-三.過(guò)A或8時(shí)，直線(xiàn)在y軸上的截距最小，z有最大值.

ciciaa

把A(—2,—2)代入z=—2+2a=4,得a=3,符合題意；

把3(2,0)代入得z=2/4./.a=3.

故選C.

x+3y<3,

練習(xí)3.設(shè)x,y滿(mǎn)足線(xiàn)性約束條件｛x—>21,若目標(biāo)函數(shù)z=[x+i<y(a>())取得最

”0,

大值的最優(yōu)解有無(wú)數(shù)個(gè)，則z=-x+6^y的最小值為()

A,—4B.-3C.—2D.—1

【答案】B

xz

由z=-x+ay,(。>0)得y=—十—

aa

?；a>0

???平移直線(xiàn)》=二+4，由圖像可知當(dāng)直線(xiàn)y和直線(xiàn)y=X+i平行時(shí)，此時(shí)目標(biāo)函數(shù)取得最大值的

aaaa

最優(yōu)解有無(wú)數(shù)個(gè)，此時(shí)1=1

a

.\z=-x+y

二當(dāng)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(3,0)時(shí)，z取最小值-3

故選B

x-y+l>0,

4.設(shè)變量滿(mǎn)足約束條件｛x-2y<0,若目標(biāo)函數(shù)z="+y取得最大值時(shí)的最優(yōu)

2x+y-4<0.

解不唯一，則實(shí)數(shù)a的值為.

【答案】一1或2

【解析】可行域如圖所示，當(dāng)a>0,因z=or+y取最大值時(shí)的最優(yōu)解不唯一，故取最大

值時(shí)動(dòng)直線(xiàn)々c+y-z=0與直線(xiàn)2x+y-4=0重合，此時(shí)。=2；當(dāng)。<0時(shí)，因

z=℃+y取最大值時(shí)的最優(yōu)解不唯一，故取最大值時(shí)動(dòng)直線(xiàn)依+y-z=0與直線(xiàn)

x-y+l=0重合，此時(shí)。=-1,填一1或2.

5.當(dāng)實(shí)數(shù)x,y滿(mǎn)足丫*1時(shí)，ax+yW4恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

3-1

—OO—

【答案】,‘2

B（2,1）,在x-y-l=O中取y=0得

A(l,0),由ax+”4得y￡ax+4,要使ax+”4恒成立，則平面區(qū)域在直線(xiàn)y=-ax+4的下方,

若a=°,則不等式等價(jià)為y&4,此時(shí)滿(mǎn)足條件,若-a>0,即a<平面區(qū)域滿(mǎn)足條件,若-a<0,

即a>°時(shí)，要使平面區(qū)域在直線(xiàn)丫=ax+4的下方，則只要B在直線(xiàn)的下方即可，即2a+l44,

33/3]/31

0<a<-a<-I-I-叱一

得2,綜上2,.?.實(shí)數(shù)a的取值范圍是I2],故答案為|2].

6.含絕對(duì)值得線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題

x-2y+l>0

例6.已知實(shí)數(shù)x、y滿(mǎn)足：｛x<2,z=|2x-2y-l,則z的取值范圍是()

x+y-l>0

A.[-,5]B.[0,5]

3

C.[0,5)D.[-,5)

3

【答案】C

u+1

【解析】畫(huà)出約束條件限定的可行域?yàn)槿鐖D陰影區(qū)域，令u=2x—2y—1,則y^x~~,

125

先畫(huà)出直線(xiàn)尸x,再平移直線(xiàn)y=x,當(dāng)經(jīng)過(guò)點(diǎn)4(2,-1),B0,5)時(shí)，可知一、Wu〈5,二

z—|z/|e[0,5),故選C.

x—3y+4W0

練習(xí)1.實(shí)數(shù)x,,滿(mǎn)足｛?小?，目標(biāo)函數(shù)z=x—2y的最大值為()

y>|x-3|+l

A.1B.-1C.2D.-2

【答案】B

【解析】

x—3y+4<0,

畫(huà)出｛尸耳，-3|+1表示的可行域'如圖區(qū)域?yàn)殚_(kāi)放的陰影部分'可求得3(5，“，由圖可知,函數(shù)

2=%-2y過(guò)點(diǎn)(5,3)時(shí)，zB31I=x-2y=5-6=-1,函數(shù)z=x-2y的最大值為-1,故選B.

【方法總結(jié)】本題主要考查線(xiàn)性規(guī)劃中利用可行域求目標(biāo)函數(shù)的最值，屬簡(jiǎn)單題.求目標(biāo)函

數(shù)最值的一股步驟是“一畫(huà)、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是實(shí)線(xiàn)還是虛

線(xiàn)）；（2）找到目標(biāo)函數(shù)對(duì)應(yīng)的最優(yōu)解對(duì)應(yīng)點(diǎn)（在可行域內(nèi)平移變形后的目標(biāo)函數(shù)，最先通

過(guò)或最后通過(guò)的頂點(diǎn)就是最優(yōu)解）；（3）將最優(yōu)解坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)求出最值.

y>x+2

練習(xí)2已知實(shí)數(shù)滿(mǎn)足｛x+y<6,則z=2上一2|+可的最小值是（）

x>l

A.6B.5C.4D.3

【答案】C

y>X+2

【解析】由約束條件｛x+y?6作出可行域如圖,

x>\

y=x+2

聯(lián)立｛,解得A(2,4),

y=6

z=21x-2|+|y|=-2x+y+4,化為y=2x+z-4.

由圖可知，當(dāng)直線(xiàn)y=2x+z-4過(guò)A時(shí)，直線(xiàn)在y軸上的截距最小，z有最小值為4.

故選：C.

y?7—3x、|2x-3>+4|

3.己知實(shí)數(shù)滿(mǎn)足｛x+3y<13,則z=的最小值為（）

x<y+l

【答案】D

【解析】由題意得，作出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖所示,

設(shè)z=2x—3y+4,

當(dāng)｝解得x=Ly=4,此時(shí)z=2xl-3x3+4=-6,

x+3y=13

則|z|=6,此時(shí)z=（；『"必取得最小值，最小值為z=（；Jq,故選D.

4.若滿(mǎn)足約束條件｛2x—yNO,則|x—2y—4|+2x的最大值為（）

（2x+l）（x-l）＜0

A.3B.7C.9D.10

【答案】C

【解析】畫(huà)出不等式組表示的可行域（如圖陰影部分所示），

13

由可行域可知，一一<x<l,--<y<2,

22?

x—2y—4<0，

**?|x-2y—4+2x——(x—2y—4)+2x=x+2y+4,

設(shè)z=x+2y+4,則y=-gx+gz—2.

平移直線(xiàn)了二-3了+3?-2,由圖形可得，當(dāng)直線(xiàn)經(jīng)過(guò)可行域內(nèi)的點(diǎn)A時(shí)，直線(xiàn)在y軸上

的截距最大，此時(shí)z取得最大值.

X—\X?—1

由｛一八解得｛,?故點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,2).

2x-y=0y=2

/.zinax=l+2x2+4=9?C.

5.若對(duì)圓(x-l)-+(y-l)2=/(r>0)上任意一點(diǎn)P(x,y),|3x-4y+6|+|3x-4y-9|

的取值與無(wú)關(guān)，則實(shí)數(shù)廠(chǎng)的取值范圍是()

A.r>lB.r<\C.l<r<2D.r>2

【答案】B

【解析】令3x-4y=f,則等價(jià)于|/+6|+”9|的值與f無(wú)關(guān)，

所以-6<r<9,即一6W3x-4y<9,所以圓的區(qū)域位于兩平行線(xiàn)區(qū)域之間，

所以4=2,4=1，

所以故選B。

x+2y>2

6.變量滿(mǎn)足約束條件｛2x+yW4，則目標(biāo)函數(shù)z=2刎*T的取值范圍是()

4x-y>-l

A.I，9B.-1,6C.[-2,3]D.[2^,512]

【答案】D

【解析】不等式表示的區(qū)域?yàn)槿鐖D所示的陰影部分,三個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)分別為

(0#"別，(2,0).

目標(biāo)函數(shù)m=3國(guó)+僅一3|=3x-y+3,BPy=3x+3-m

目標(biāo)函數(shù)過(guò)⑵0)時(shí),取得最大值為9,過(guò)時(shí),取得最小值為,，

3

目標(biāo)函數(shù)加=3|x|+|y—3］的取值范圍是1,9

則z=2駟由T的取值范圍是［2&,512］.

本題選擇。選項(xiàng).

7.設(shè)滿(mǎn)足約束條件｛.I.,則z=|x|+|y|的最大值是

\2x+y\<2

【答案】2

【解析】畫(huà)出不等式組表示的平面區(qū)域如圖中的陰影部分所示.

=N+N=x+y,且當(dāng)直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（o,2）時(shí)Z有最大值

2,故可得z=W+|y|的最大值為2.

答案：2

7.其它的非線(xiàn)性規(guī)劃

x<myn

例7..己知直線(xiàn)/:x=陽(yáng)+〃（〃>0）過(guò)點(diǎn)4（56,5）,若可行域｛尤一"yNO的外接圓

”0

直徑為20,則"=.

【答案】1。小

由題意知可行域?yàn)閳D中△。岱及其內(nèi)部，

解得胤孔0)J1=Js-5后)2+25,

又由叱4。巳=軍，則/Ng30。，

3

由正弦定理得\AB\=IRsinAAOB=20x$加30。=10,

解得月=104.

故答案為：10AA.

y-2x<0

Y1

練習(xí)1.設(shè)實(shí)數(shù)滿(mǎn)足約束條件｛2x+y-6W0，則2=士+上的最小值為.

2y

”1

【答案】1

【解析】畫(huà)出可行域如圖所示,

可求得當(dāng)y為常數(shù)時(shí)，要使z=：|+L最小，則x須最小，這樣的點(diǎn)在同一水平線(xiàn)可

行域內(nèi)的最左側(cè)，因此所有可能讓z取到最小值的點(diǎn)在線(xiàn)段AB上，此時(shí)該點(diǎn)坐標(biāo)滿(mǎn)足方程

y=2x,ye[1,3],2Hlz=；+1=,+當(dāng)且僅當(dāng)y=2w[L3]

2》4y

取等號(hào).

【方法總結(jié)】：線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題，首先明確可行域?qū)?yīng)的是封閉區(qū)域還是開(kāi)放區(qū)域、分界線(xiàn)是

實(shí)線(xiàn)還是虛線(xiàn)，其次確定目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，是求直線(xiàn)的截距、兩點(diǎn)間距離的平方、直

線(xiàn)的斜率、還是點(diǎn)到直線(xiàn)的距離等等，最后結(jié)合圖形確定目標(biāo)函數(shù)最值取法、值域范圍.

練習(xí)2.)已知log](%+y+4)<log,(3x+y—2),若x—4恒成立，則人的取值范圍

22

是.

【答案】[10,+8)

【解析】由logj(x+y+4)Gog1(3x+y-2)得，x+y+4>3x+y-2>0,可行域如圖中陰

22

影部分所示，不包括邊界.而了一尺力恒成立等價(jià)于(x—y)而W4，由可行域知，z=x-y

過(guò)點(diǎn)4(3,-7)時(shí)取得最大值10,而點(diǎn)4不在可行域內(nèi)，所以?xún)旱娜≈捣秶荹10,+8).

【方法總結(jié)】：線(xiàn)性規(guī)劃的實(shí)質(zhì)是把代數(shù)問(wèn)題幾何化，即數(shù)形結(jié)合的思想.需要注意的是：

一，準(zhǔn)確無(wú)誤地作出可行域；二，畫(huà)目標(biāo)函數(shù)所對(duì)應(yīng)的直線(xiàn)時(shí)，要注意與約束條件中的直

線(xiàn)的斜率進(jìn)行比較，避免出錯(cuò)；三，一般情況下，目標(biāo)函數(shù)的最大或最小值會(huì)在可行域的

端點(diǎn)或邊界上取得.

3.己知實(shí)數(shù)。、。滿(mǎn)足一lWaW2,且0<匕一2〃<1,則3/+3^+8H—。+為的

33

取值范圍是

【答案】一’,574

、2

【解析】3a2+-b2+8ab-a+-4b=3(a+-4b

333)3

4/、?

令a+-^b=r,則

當(dāng)過(guò)（2,9）時(shí)，"*=574,

所以原式的取值范圍是-1-,574。

_12

x<0

4.己知點(diǎn)尸（x,力的坐標(biāo)滿(mǎn)足｛yNx則的取值范圍為

V0.1Jx1+y2

y<2x4-1XJ

【答案】卜加』］

【解析】作出滿(mǎn)足條件的可行域如圖中陰影部分所示，

設(shè)4（1,1）,Plx,y）為可行域內(nèi)的一動(dòng)點(diǎn)，向量，的夾角為0,

,：\0P\^M+）2^4?OP

=x+y,

x+y

.*?cos0=

\f2^x2+y2

7T

,「當(dāng)產(chǎn)運(yùn)動(dòng)到萬(wàn)時(shí),&有最小值二,當(dāng)產(chǎn)運(yùn)動(dòng)到C時(shí)有最大值兀,

4

iWcos,則一wwi.

2

...-嚴(yán)一的取值范圍為［一后,1］.

【方法總結(jié)】：線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題，首先明確可行域?qū)?yīng)的是封閉區(qū)域還是開(kāi)放區(qū)域、分界線(xiàn)是

實(shí)線(xiàn)還是虛線(xiàn)，其次確定目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，是求直線(xiàn)的截距、兩點(diǎn)間距離的平方、直

線(xiàn)的斜率、還是點(diǎn)到直線(xiàn)的距離等等，最后結(jié)合圖形確定目標(biāo)函數(shù)最值取法、值域范圍.

5.己知函數(shù)/（X）=（3X-1）6Z-2X+/?.

（1）若嗚）/,且a>0，>>0,求他的最大值；

（2）當(dāng)兀目0,1］時(shí)，恒成立，且2a+3匕23,求z=的取值范圍.

r7-

【答案】（1）（\ab/\max=16：（2）—5,3.

【解析】試題分析：（1）由=m可得4+8=8,利用基本不等式即可求得的最

b-a<1

大值；⑵當(dāng)XG［0,1］時(shí)，/（力<1恒成立等價(jià)于｛6+2°43，利用線(xiàn)性規(guī)劃求解，

2。+3b23

畫(huà)出可行域，要求Z="+'+2=2±1+I的范圍,先根據(jù)可行域以及經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)的斜率公式

a+1a+1

~2-

求經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)（。/）與（一1,-1）的直線(xiàn)的斜率的取值范圍是-,2,從而可得結(jié)果.

試題解析：⑴??,〃x）=（3a—2）x+b—a,噌）二爭(zhēng)

a+b--=—,即a+b=8,工。+,4>yfabab<16

33ff

?：a>0,h>0,當(dāng)且僅當(dāng)a=h=4時(shí)等號(hào)成立，

即（必）=16.

（2）?.?當(dāng)XG[0,1]時(shí),恒成立，S.2a+3b>3,

b-a<\

/（0）<1

,且2。+3〃23,即｛b+2a<3

”1）?1

2。+3人23

滿(mǎn)足此不等式組的點(diǎn)（。泊）構(gòu)成圖中的陰影部分,

7

由圖可得，經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)（。/）與的直線(xiàn)的斜率的取值范圍是1,2

.。+/?+2b+1…A.TT.-,/士

??Z=------------=---------F1白'J取值氾圍是3

。+1。+1r

五.高考真題演練

'2x+3y-3<0

1.12017課標(biāo)H,理5】設(shè)龍，y滿(mǎn)足約束條件,2x—3y+3N0,則z=2x+y的最小值

y+320

是（）

A.-15B.-9C.1D.9

【答案】A

【解析】

試題分析：繪制不等式組表示的可行域，

目標(biāo)函數(shù)即：y=-2x+z,其中z表示斜率為攵=-2的直線(xiàn)系與可行域有交點(diǎn)時(shí)直線(xiàn)的截

距值，

數(shù)形結(jié)合可得目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)3（-6,-3）處取得最小值z(mì)=-12-3=-15,故選A。

【考點(diǎn)】應(yīng)用線(xiàn)性規(guī)劃求最值

【名師點(diǎn)睛】求線(xiàn)性目標(biāo)函數(shù)z=ax+"(a好0)的最值，當(dāng)6>0時(shí)，直線(xiàn)過(guò)可行域且在y

軸上截距最大時(shí)，z值最大，在y軸截距最小時(shí)，z值最??；當(dāng)6V0時(shí)，直線(xiàn)過(guò)可行域且在

y軸上截距最大時(shí)，z值最小，在y軸上截距最小時(shí)，z值最大。

2x+y>0,

x+2y-2>0,

2.12017天津，理2】設(shè)變量滿(mǎn)足約束條件《,則目標(biāo)函數(shù)z=x+y的最

x<0,

J43,

大值為

23

(A)-(B)1(C)-(D)3

32

【答案】。

324

【解析】目標(biāo)函數(shù)為四邊形ABCD及其內(nèi)部，其中^(0,1),5(0,3),C(--,3),2)(--:-),所以直線(xiàn)z=x+y

過(guò)點(diǎn)B時(shí)取最大值3,選D.

【考點(diǎn)】線(xiàn)性規(guī)劃

【名師點(diǎn)睛】線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題有三類(lèi)：(1)簡(jiǎn)單線(xiàn)性規(guī)劃，包括畫(huà)出可行域和考查截距型目標(biāo)

函數(shù)的最值，有時(shí)考查斜率型或距離型目標(biāo)函數(shù)；(2)線(xiàn)性規(guī)劃逆向思維問(wèn)題，給出最值或

最優(yōu)解個(gè)數(shù)求參數(shù)取值范圍；(3)線(xiàn)性規(guī)劃的實(shí)際應(yīng)用，本題就是第三類(lèi)實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題.

%-y+3<0

3.12017山東，理4】已知x,y滿(mǎn)足,3x+y+540,則z=x+2y的最大值是

x+3>0

(A)0(B)2(C)5(D)6

【答案】C

jc-y+3<0

【解析】試題分析：由Sx+y+5<0畫(huà)出可行域及直線(xiàn)x+2y=0如圖所示，平移x+2y=0發(fā)現(xiàn),

x+3>0

當(dāng)其經(jīng)過(guò)直線(xiàn)3x+y+5=。與x=-3的交點(diǎn)(-3,4)時(shí)，z=x+2y最大為z=-3+2x4=5,選C.

【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單的線(xiàn)性規(guī)劃

【名師點(diǎn)睛】利用線(xiàn)性規(guī)劃求最值，一般用圖解法求解，其步驟是：

(1)在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)作出可行域；

(2)考慮目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，將目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行變形；

(3)確定最優(yōu)解：在可行域內(nèi)平行移動(dòng)目標(biāo)函數(shù)變形后的直線(xiàn)，從而確定最優(yōu)解；

(4)求最值：將最優(yōu)解代入目標(biāo)函數(shù)即可求出最大值或最小值.

4.12017山東，理7】若a〉b〉0,且。6=1,則下列不等式成立的是

1r<log2(a+b)<a+3

(A)<log2(tZ+(B)

1b\og(a+b)<a+^<^

(C)ciH—<logo(a+0)<—2

b62v7T(D)

【答案】B

【解析】試題分析：因?yàn)榍掖?=1,所以

?>1,0<ZJ<1,<1,log,{a+b)>log22-Jab-1,

2h>a+—>a+b=>a+—>log(a+h)，所以選B.

bb2

【考點(diǎn)】1.指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì).2.基本不等式.

【名師點(diǎn)睛】比較基或?qū)?shù)值的大小,若基的底數(shù)相同或?qū)?shù)的底數(shù)相同,通常利用指數(shù)函數(shù)

或?qū)?shù)函數(shù)單調(diào)性進(jìn)行比較,若底數(shù)不同,可考慮利用中間量進(jìn)行比較.本題雖小，但考查的

知識(shí)點(diǎn)較多，需靈活利用指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及基本不等式作出判斷.

5.12017課標(biāo)3,理9］等差數(shù)列｛4｝的首項(xiàng)為1,公差不為0.若改,備，色成等比數(shù)列,

則｛%｝前6項(xiàng)的和為

A.-24B.-3C.3D.8

【答案】A

【解析】

試題分析：設(shè)等差數(shù)列的公差為d，由食，&,a成等比數(shù)列可得：，

即：(l+2d)2=(l+d)(l+5d)，整理可得：d2+2d=Q,公差不為0,則1=一2,

數(shù)列的前6項(xiàng)和為S6=6q+6x(,1)d=6x1+6x(『)x(-2)=-24.

故選A.

【考點(diǎn)】等差數(shù)列求和公式；等差數(shù)列基本量的計(jì)算

【名師點(diǎn)睛】(1)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前〃項(xiàng)和公式，共涉及五個(gè)量a,,,d,n,