中南大學(xué)開放式精品示范課堂高等數(shù)學(xué)建設(shè)組第2章一元函數(shù)微分學(xué)高等數(shù)學(xué)A2.1導(dǎo)數(shù)及微分2.1.13微分概念2.1.14微分的求法微分形式不變性2.1導(dǎo)數(shù)及微分微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用微分的定義基本初等函數(shù)的微分公式2.1.13微分概念可導(dǎo)與可微的關(guān)系微分的計(jì)算公式微分的幾何意義2.1.14微分的求法

微分形式不變性四則運(yùn)算法則復(fù)合函數(shù)的微分法則（一階微分形式不變性）求微分的習(xí)例2-102.1.15微分應(yīng)用于近似計(jì)算及誤差的估計(jì)微分在估計(jì)誤差中的應(yīng)用內(nèi)容小結(jié)及課堂練習(xí)導(dǎo)數(shù)及微分習(xí)題課結(jié)構(gòu)框圖內(nèi)容小結(jié)典型習(xí)例一.微分的概念

引例:正方形金屬薄片受熱后面積的改變量.問題:這個(gè)線性函數(shù)(改變量的主要部分)是否所有函數(shù)的改變量都有?它是什么?如何求?1.微分定義

定義：由定義可得:定理

證明:

3.微分的計(jì)算公式

解:

所以微分的計(jì)算公式如下：

注意

(1)一元函數(shù)的可導(dǎo)性與可微性是等價(jià)的.(2)微分的兩個(gè)特點(diǎn)是:

證明:4.微分的幾何意義

如圖所示

MNT）

P

Q二.微分運(yùn)算法則

1.基本初等函數(shù)的微分公式2.四則運(yùn)算法則定理3.

3.復(fù)合函數(shù)的微分法則

定理4.

注意：

無論u為中間變量還是自變量，都具有同一微分形式.這種性質(zhì)稱為一階微分形式不變性.三.求微分的習(xí)例例9.

在下列括號(hào)中填入適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)使等式成立:解:解:解:解:解:解:解:解:

利用一階微分形式不變性,有解:說明:

上述微分的反問題是不定積分要研究的內(nèi)容.注意:

數(shù)學(xué)中的反問題往往出現(xiàn)多值性.例10.在下列括號(hào)中填入適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)使等式成立:四、微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用當(dāng)很小時(shí),使用原則:得近似等式:特別當(dāng)很小時(shí),常用近似公式:很小)證明:令得的近似值.解:

設(shè)取則例11.

求的近似值.解:例12.

計(jì)算例13.

有一批半徑為1cm的球,為了提高球面的光潔度,要鍍上一層銅,厚度定為0.01cm,估計(jì)一下,每只球需用銅多少克.解:

已知球體體積為鍍銅體積為V

在時(shí)體積的增量因此每只球需用銅約為(g)五、微分在估計(jì)誤差中的應(yīng)用某量的精確值為A,其近似值為a,稱為a

的絕對誤差稱為a

的相對誤差若稱為測量

A

的絕對誤差限稱為測量

A

的相對誤差限誤差傳遞公式:已知測量誤差限為按公式計(jì)算

y

值時(shí)的誤差故y

的絕對誤差限約為相對誤差限約為若直接測量某量得x,例14.

設(shè)測得圓鋼截面的直徑

測量D的

絕對誤差限欲利用公式圓鋼截面積,試估計(jì)面積的誤差.解:計(jì)算A

的絕對誤差限約為

A

的相對誤差限約為計(jì)算(mm)內(nèi)容小結(jié)1.微分概念

微分的定義及幾何意義

可導(dǎo)可微2.微分運(yùn)算法則微分形式不變性:(u

是自變量或中間變量)3.微分的應(yīng)用近似計(jì)算估計(jì)誤差思考題：習(xí)題2.1第1題（15）思考題參考答案課堂練習(xí)：習(xí)題2.1第33題（5）到（7）第37題到第38題練習(xí)參考答案求導(dǎo)法則基本公式導(dǎo)數(shù)微分關(guān)系高階導(dǎo)數(shù)高階微分習(xí)題課內(nèi)容小結(jié)一.定義1.一階導(dǎo)數(shù)的定義2.高階導(dǎo)數(shù)的定義3.微分的定義二.基本公式1.基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式2.高階導(dǎo)數(shù)公式3.基本初等函數(shù)的微分公式三.求導(dǎo)法則1.函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則;2.反函數(shù)的求導(dǎo)法則;3.復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則;4.隱函數(shù)求導(dǎo)法則;5.對數(shù)求導(dǎo)法;6.參變量函數(shù)的求導(dǎo)法則;7.分段函數(shù)的求導(dǎo)法;四.函數(shù)極限存在、函數(shù)連續(xù)、函數(shù)可導(dǎo)、函數(shù)可微的關(guān)系函數(shù)極限存在函數(shù)連續(xù)函數(shù)可導(dǎo)函數(shù)可微五.常見題型1.求導(dǎo)數(shù)用定義求導(dǎo)數(shù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)數(shù)分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)表達(dá)式中含有絕對值或最值的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

參變量函數(shù)的導(dǎo)數(shù)隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)表達(dá)式中含有冪指函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求高階導(dǎo)數(shù)