第三章—3變異指標(biāo)（統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的離中趨勢(shì)）第一節(jié)

變異指標(biāo)概述第二節(jié)

全距、分位差和平均差第三節(jié)

標(biāo)準(zhǔn)差和標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】通過本章的學(xué)習(xí)和習(xí)題演算，掌握變異指標(biāo)的意義和作用；標(biāo)準(zhǔn)差和標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)的計(jì)算和應(yīng)用。了解變異指標(biāo)的分布特性；極差、平均差和四分位差的概念、計(jì)算公式和特點(diǎn)；分布的偏度與峰度。第四節(jié)

偏度和峰度變異指標(biāo)△△變異指標(biāo)引例

投資風(fēng)險(xiǎn)的評(píng)價(jià)

在金融證券領(lǐng)域，一項(xiàng)投資的的預(yù)期收益率的變化通常用該項(xiàng)投資的風(fēng)險(xiǎn)來衡量。預(yù)期收益率的變化越小，投資風(fēng)險(xiǎn)越低，預(yù)期收益率的變化越大，投資風(fēng)險(xiǎn)就越高。下面的兩個(gè)直方圖，分別反映了200種商業(yè)類股票和200種高科技類股票的收益率分布。在股票市場(chǎng)上，高收益率往往伴隨著高風(fēng)險(xiǎn)。但投資于哪類股票，往往與投資者的類型有一定關(guān)系。變異指標(biāo)02550收益率（%）頻數(shù)(a)商業(yè)類股票

收益率（%）頻數(shù)(b)高科技類股票

02550變異指標(biāo)

(1)你認(rèn)為該用什么樣的統(tǒng)計(jì)測(cè)度值來反映投資的風(fēng)險(xiǎn)？

(2)如果選擇風(fēng)險(xiǎn)小的股票進(jìn)行投資，應(yīng)該選擇商業(yè)類股票還是高科技類股票？

(3)如果你進(jìn)行股票投資，你會(huì)選擇商業(yè)類股票還是高科技類股票？討論

一、離中趨勢(shì)的涵義變異指標(biāo)第一節(jié)變異指標(biāo)概述

二、變異指標(biāo)的作用三、變異指標(biāo)的種類

一、離中趨勢(shì)的涵義變異指標(biāo)第一節(jié)變異指標(biāo)概述指總體中各單位標(biāo)志值背離分布中心的規(guī)?；虺潭?，用標(biāo)志變異指標(biāo)來反映。離中趨勢(shì)反映統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)差異程度的綜合指標(biāo)，也稱為標(biāo)志變動(dòng)度變異指標(biāo)值越大，平均指標(biāo)的代表性越?。环粗?，平均指標(biāo)的代表性越大。

二、變異指標(biāo)的作用變異指標(biāo)第一節(jié)變異指標(biāo)概述衡量和比較平均數(shù)代表性的大?。皇沁M(jìn)行質(zhì)量控制的基礎(chǔ)；是衡量風(fēng)險(xiǎn)程度的尺度。 例如：某車間有兩個(gè)生產(chǎn)小組，各有7名工人，各人日產(chǎn)量如下:甲組：20，40，60，70，80，100，120乙組：67，68，69，70，71，72，73變異指標(biāo)第一節(jié)變異指標(biāo)概述變異指標(biāo)第一節(jié)變異指標(biāo)概述供貨計(jì)劃完成百分比(%)季度總供貨計(jì)劃執(zhí)行結(jié)果1月2月3月鋼廠甲廠100323434乙廠100203050【專欄3－3】

國家統(tǒng)計(jì)局日前發(fā)布的報(bào)告稱，與2005年的工資數(shù)據(jù)相比，2006年全國城鎮(zhèn)單位在崗職工的年平均工資增加了2596元，日平均工資增加了10.36元。（中國證券報(bào)3月26日）溫家寶總理在十屆全國人大五次會(huì)議記者招待會(huì)上曾說：“一個(gè)艦隊(duì)決定它速度快慢的不是那個(gè)航行最快的船只，而是那個(gè)最慢的船只。”同樣，決定全國城鎮(zhèn)單位在崗職工工資整體發(fā)展速度的是廣大低收入者的增長情況。別把平均指標(biāo)看得過重

變異指標(biāo)【專欄3－3】

目前，雖然過去15年中，中國居民工資性收入穩(wěn)步增長，但收入差距的擴(kuò)大，已成為工資分配中的突出問題。1月31日，國家發(fā)改委官方網(wǎng)站公布系列收入分配報(bào)告顯示，1990～2005年，城鄉(xiāng)居民的工資性收入在居民總收入中所占的比重從45.3%逐步提高到63.2%.但也就在這一時(shí)期，平均貨幣工資收入最高最低行業(yè)之比由1.76∶1擴(kuò)大為4.88∶1。如果我們不注重行業(yè)間的收入差距過大問題，不采取措施彌補(bǔ)這種差距，而是任其擴(kuò)大，一味追求平均指標(biāo)的增長，那就無助于“整個(gè)社會(huì)的生活狀況”的改善，因?yàn)橐粋€(gè)艦隊(duì)的速度，取決于那個(gè)最慢的船只。別把平均指標(biāo)看得過重

變異指標(biāo)變異指標(biāo)第一節(jié)變異指標(biāo)概述三、變異指標(biāo)的種類以標(biāo)志值之間相互比較說明變異情況

以平均數(shù)為比較標(biāo)準(zhǔn)來說明標(biāo)志的變異情況

以正態(tài)分布為標(biāo)準(zhǔn)說明分配數(shù)列偏離情況的指標(biāo)平均差標(biāo)準(zhǔn)差平均差系數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)方差峰度偏度全距分位差變異指標(biāo)還有一類，是以次數(shù)之間相互比較說明變異情況

異眾比率

它是指非眾數(shù)組的頻數(shù)占總頻數(shù)的比率，用于衡量眾數(shù)的代表性。計(jì)算公式為：變異指標(biāo)【例】根據(jù)下表中的數(shù)據(jù)，計(jì)算異眾比率。某城市居民關(guān)注廣告類型的頻數(shù)分布

廣告類型人數(shù)(人)頻率(%)商品廣告服務(wù)廣告金融廣告房地產(chǎn)廣告招生招聘廣告其他廣告1125191610256.025.54.58.05.01.0合計(jì)200100解：

在所調(diào)查的200人當(dāng)中，關(guān)注非商品廣告的人數(shù)占44%，異眾比率還是比較大。因此，用“商品廣告”來反映城市居民對(duì)廣告關(guān)注的一般趨勢(shì)，其代表性不是很好。

Vr

=200-112200

=1-

112

200

=0.44=44%第二節(jié)全距、分位差和平均差

變異指標(biāo)一、全距二、分位差三、平均差第二節(jié)全距、分位差和平均差

變異指標(biāo)指所研究的數(shù)據(jù)中，最大值與最小值之差，又稱極差。一、全距最大變量值或最高組上限或開口組假定上限最小變量值或最低組下限或開口組假定下限第二節(jié)全距、分位差和平均差

變異指標(biāo)【例】某售貨小組5人某天的銷售額分別為440元、480元、520元、600元、750元，則一、全距第二節(jié)全距、分位差和平均差

變異指標(biāo)一、全距【例】某季度某工業(yè)公司18個(gè)工業(yè)企業(yè)產(chǎn)值計(jì)劃完成情況如下：計(jì)劃完成程度（﹪）組中值（﹪）企業(yè)數(shù)（個(gè)）計(jì)劃產(chǎn)值（萬元）90以下90～100100～110110以上8595105115231038002500172004400合計(jì)—1824900第二節(jié)全距、分位差和平均差

變異指標(biāo)一、全距缺點(diǎn):①僅取決于兩個(gè)極端值的水平，不能反映其間的變量分布情況；②受個(gè)別極端值的影響過于顯著，不符合穩(wěn)健性和耐抗性的要求。全距的特點(diǎn)優(yōu)點(diǎn):計(jì)算方法簡單、易懂；第二節(jié)全距、分位差和平均差

變異指標(biāo)二、分位差從變量數(shù)列中，剔除了一部分極端值后計(jì)算的類似于極差的指標(biāo)。四分位差十六分位差十分位差八分位差三十二分位差百分位差第二節(jié)全距、分位差和平均差

變異指標(biāo)四分位差【例】根據(jù)下表數(shù)據(jù)，計(jì)算甲城市家庭對(duì)住房滿意狀況評(píng)價(jià)的四分位差。甲城市家庭對(duì)住房狀況評(píng)價(jià)的頻數(shù)分布回答類別甲城市戶數(shù)(戶)累計(jì)頻數(shù)

非常不滿意

不滿意

一般

滿意

非常滿意2410893453024132225270300合計(jì)300—是上四分位數(shù)與下四分位數(shù)之差。主要用于測(cè)度定序數(shù)據(jù)的離散程度。數(shù)值型數(shù)據(jù)也可以計(jì)算四分位差，但不適合于定類數(shù)據(jù)。

第二節(jié)全距、分位差和平均差

變異指標(biāo)四分位差

解：設(shè)非常不滿意為1,不滿意為2,一般為3,滿意為4,非常滿意為5已知

Q1=不滿意=2，Q3=

滿意=

4

四分位差：

QD=Q3－

Q1=4－

2

=2第二節(jié)全距、分位差和平均差

變異指標(biāo)三、平均差⑴簡單平均差——適用于未分組資料是各個(gè)數(shù)據(jù)與其算術(shù)平均數(shù)的離差絕對(duì)值的算術(shù)平均數(shù)，用表示。計(jì)算公式：總體算術(shù)平均數(shù)總體單位總數(shù)第個(gè)單位的變量值第二節(jié)全距、分位差和平均差

變異指標(biāo)三、平均差【例】某售貨小組5個(gè)人，某天的銷售額分別為440元、480元、520元、600元、750元，求該售貨小組銷售額的平均差。解：即該售貨小組5個(gè)人銷售額的平均差為93.6元。第二節(jié)全距、分位差和平均差

變異指標(biāo)三、平均差⑵加權(quán)平均差——適用于分組資料總體算術(shù)平均數(shù)第組變量值出現(xiàn)的次數(shù)第組的變量值或組中值第二節(jié)全距、分位差和平均差

變異指標(biāo)三、平均差優(yōu)點(diǎn):不易受極端數(shù)值的影響，能綜合反映全部單位標(biāo)志值的實(shí)際差異程度；缺點(diǎn):用絕對(duì)值的形式消除各標(biāo)志值與算術(shù)平均數(shù)離差的正負(fù)值問題，不便于作數(shù)學(xué)處理和參與統(tǒng)計(jì)分析運(yùn)算。平均差的特點(diǎn)第三節(jié)標(biāo)準(zhǔn)差與標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)

變異指標(biāo)一、標(biāo)準(zhǔn)差二、標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)三、是非標(biāo)志總體的標(biāo)準(zhǔn)差第三節(jié)標(biāo)準(zhǔn)差和標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)變異指標(biāo)⑴簡單標(biāo)準(zhǔn)差——適用于未分組資料是各個(gè)數(shù)據(jù)與其算術(shù)平均數(shù)的離差平方的算術(shù)平均數(shù)的開平方根，用來表示；標(biāo)準(zhǔn)差的平方又叫作方差，用來表示。一、標(biāo)準(zhǔn)差計(jì)算公式：總體單位總數(shù)第個(gè)單位的變量值總體算術(shù)平均數(shù)第三節(jié)標(biāo)準(zhǔn)差和標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)變異指標(biāo)【例】某售貨小組5個(gè)人，某天的銷售額分別為440元、480元、520元、600元、750元，求該售貨小組銷售額的標(biāo)準(zhǔn)差。解：第三節(jié)標(biāo)準(zhǔn)差和標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)變異指標(biāo)一、標(biāo)準(zhǔn)差⑵加權(quán)標(biāo)準(zhǔn)差——適用于分組資料總體算術(shù)平均數(shù)第組變量值出現(xiàn)的次數(shù)第組的變量值或組中值第三節(jié)標(biāo)準(zhǔn)差和標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)變異指標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)差的特點(diǎn)不易受極端數(shù)值的影響，能綜合反映全部單位標(biāo)志值的實(shí)際差異程度；用平方的方法消除各標(biāo)志值與算術(shù)平均數(shù)離差的正負(fù)值問題，可方便地用于數(shù)學(xué)處理和統(tǒng)計(jì)分析運(yùn)算.第三節(jié)標(biāo)準(zhǔn)差和標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)變異指標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)化值1.也稱標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù);2. 給出某一個(gè)值在一組數(shù)據(jù)中的相對(duì)位置；3. 可用于判斷一組數(shù)據(jù)是否有離群點(diǎn)(異常值判斷）；4. 用于對(duì)變量的標(biāo)準(zhǔn)化處理；5.計(jì)算公式為（補(bǔ)充）第三節(jié)標(biāo)準(zhǔn)差和標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)變異指標(biāo)【例】甲、乙兩名學(xué)生六門課程高考成績及全部考生相應(yīng)的平均分和標(biāo)準(zhǔn)差如下：語文數(shù)學(xué)外語政治物理化學(xué)總分學(xué)生甲學(xué)生乙平均分標(biāo)準(zhǔn)差7090708.05751554.04540425.080858010.060723612.07062504.0380420第三節(jié)標(biāo)準(zhǔn)差和標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)變異指標(biāo)甲、乙兩名學(xué)生六門課程標(biāo)準(zhǔn)化后的分值:語文數(shù)學(xué)外語政治物理化學(xué)總分學(xué)生甲學(xué)生乙0.02.50.5-1.00.6-0.40.00.52.03.05.03.08.17.6第三節(jié)標(biāo)準(zhǔn)差和標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)變異指標(biāo)思考題

一家公司在招收職員時(shí)，首先要通過兩項(xiàng)能力測(cè)試。在A項(xiàng)測(cè)試中，其平均分?jǐn)?shù)是100分，標(biāo)準(zhǔn)差是15分；在B項(xiàng)測(cè)試中，其平均分?jǐn)?shù)是400分，標(biāo)準(zhǔn)差是50分。一位應(yīng)試者在A項(xiàng)測(cè)試中得了115分，在B項(xiàng)測(cè)試中得了425分。與平均分?jǐn)?shù)相比，該位應(yīng)試者哪一項(xiàng)測(cè)試更為理想？

第三節(jié)標(biāo)準(zhǔn)差和標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)變異指標(biāo)二、標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)用來對(duì)比不同水平的同類現(xiàn)象，特別是不同類現(xiàn)象總體平均數(shù)代表性的大小——標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)小的總體，其平均數(shù)的代表性大；反之，亦然。應(yīng)用:第三節(jié)標(biāo)準(zhǔn)差和標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)變異指標(biāo)可比變異系數(shù)指標(biāo)第三節(jié)標(biāo)準(zhǔn)差和標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)變異指標(biāo)身高的差異水平：cm體重的差異水平：kg用變異系數(shù)可以相互比較可比第三節(jié)標(biāo)準(zhǔn)差和標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)變異指標(biāo)【例】如果投資項(xiàng)目A的預(yù)期回報(bào)率（均值）為7%，標(biāo)準(zhǔn)差為5%；而投資項(xiàng)目B的預(yù)期回報(bào)率為12%，標(biāo)準(zhǔn)差為7%，試問哪個(gè)投資項(xiàng)目風(fēng)險(xiǎn)較大？解：因?yàn)橥顿Y項(xiàng)目A每單位回報(bào)率承受0.714單位的風(fēng)險(xiǎn)，而投資項(xiàng)目B每單位回報(bào)率的風(fēng)險(xiǎn)為0.583單位，因此，投資項(xiàng)目A的風(fēng)險(xiǎn)較大。第三節(jié)標(biāo)準(zhǔn)差和標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)變異指標(biāo)三、是非標(biāo)志總體的標(biāo)準(zhǔn)差分組單位數(shù)變量值具有某一屬性不具有某一屬性10合計(jì)—為研究是非標(biāo)志總體的數(shù)量特征，令指總體中全部單位只具有“是”或“否”、“有”或“無”兩種表現(xiàn)形式的標(biāo)志，又叫交替標(biāo)志。是非標(biāo)志第三節(jié)標(biāo)準(zhǔn)差和標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)變異指標(biāo)三、是非標(biāo)志總體的標(biāo)準(zhǔn)差具有某種標(biāo)志表現(xiàn)的單位數(shù)所占的成數(shù)不具有某種標(biāo)志表現(xiàn)的單位數(shù)所占的成數(shù)指是非標(biāo)志總體中具有某種表現(xiàn)或不具有某種表現(xiàn)的單位數(shù)占全部總體單位總數(shù)的比重。成數(shù)第三節(jié)標(biāo)準(zhǔn)差和標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)變異指標(biāo)三、是非標(biāo)志總體的標(biāo)準(zhǔn)差均值標(biāo)準(zhǔn)差第三節(jié)標(biāo)準(zhǔn)差和標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)變異指標(biāo)三、是非標(biāo)志總體的標(biāo)準(zhǔn)差【例】某廠某月份生產(chǎn)了400件產(chǎn)品，其中合格品380件，不合格品20件。求產(chǎn)品質(zhì)量分布的集中趨勢(shì)與離中趨勢(shì)。解：第四節(jié)偏度與峰度

變異指標(biāo)一、分布的矩二、測(cè)定分布的偏度三、測(cè)定分布的峰度偏度與峰度的形狀第六章變異指標(biāo)第四節(jié)偏度與峰度左偏分布右偏分布扁平分布尖峰分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布比較！偏度峰度變異指標(biāo)一、分布的矩矩的基本形式第i個(gè)變量常數(shù)權(quán)數(shù)第六章變異指標(biāo)變異指標(biāo)第四節(jié)偏度與峰度原點(diǎn)矩中心矩未分組資料分組資料未分組資料分組資料變異指標(biāo)矩法

定義M=∑(X-A)k/n為變量X關(guān)于A的k階矩。當(dāng)A=0，即以原點(diǎn)為中心，上式稱為““K階原點(diǎn)矩”。K=1，2，3時(shí)，有：一階原點(diǎn)矩μ1=∑(X-0)1/n=∑X/n二階原點(diǎn)矩μ2=∑(X-0)2/n=∑X2/n三階原點(diǎn)矩μ3=∑(X-0)3/n=∑X3/n變異指標(biāo)二、測(cè)定分布的偏度當(dāng)A=，即以為中心，上式稱為“K階中心矩”。K=1，2，3時(shí)，有：一階中心矩二階中心矩三階中心矩變異指標(biāo)二、測(cè)定分布的偏度矩法所以，ν3可以測(cè)定偏度。為消除量綱，轉(zhuǎn)變?yōu)橄禂?shù)，再除以σ3。<0負(fù)偏態(tài)（左偏）=0對(duì)稱分布>0正偏態(tài)（右偏）<0＝0>0變異指標(biāo)二、測(cè)定分布的偏度矩法矩法變異指標(biāo)二、測(cè)定分布的偏度【例】已知某年我國農(nóng)村居民家庭按純收入分組的有關(guān)數(shù)據(jù)如表所示。試計(jì)算偏態(tài)系數(shù)。某年農(nóng)村居民家庭純收入數(shù)據(jù)按純收入分組（元）戶數(shù)比重（%）500以下500~10001000~15001500~20002000~25002500~30003000~35003500~40004000~45004500~50005000以上2.2812.4520.3519.5214.9310.356.564.132.681.814.94變異指標(biāo)從直方圖上觀察：戶數(shù)比重(%)252015105500←10001500200025003000400035004500→5000結(jié)論：1.為右偏分布

2.峰度適中農(nóng)村居民家庭村收入數(shù)據(jù)的直方圖變異指標(biāo)農(nóng)村居民家庭純收入數(shù)據(jù)偏態(tài)及峰度計(jì)算表按純收入分組（百元）組中值Xi戶數(shù)比重(%)Fi(Xi-X)Fi3(Xi-X