A.A.y—ln(1+x2)B.y—xcosx高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)】形考作業(yè)1參考答案第1章函數(shù)第2章極限與連續(xù)(一)單項選擇題1?下列各函數(shù)對中，(C)中的兩個函數(shù)相等.A.f(x)二(Jx)2,g(x)=xB.f(x)=\：'x2,g(x)=xD.f(x)=x+1,C.f(x)=InxD.f(x)=x+1,分析：判斷函數(shù)相等的兩個條件(1)對應(yīng)法則相同(2)定義域相同A、f(x)—(vx)2—x，定義域｛兀1x—；g(x)=x，定義域為R定義域不同，所以函數(shù)不相等；B、f(x)-辰—|x|，g(x)—x對應(yīng)法則不同，所以函數(shù)不相等；C、f(x)—Inx3—3lnx,定義域為｛xIx>o｝,g(x)—3lnx,定義域為｛xIx>o｝所以兩個函數(shù)相等x2一1

D、f(x)=x+1，定義域為R;g(x)==x+1，定義域為｛x1x丘R,x豐1｝x一1定義域不同，所以兩函數(shù)不等。故選C2?設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為(一卩+Q，則函數(shù)f(x)+f(-x)的圖形關(guān)于(C)對稱.A.坐標(biāo)原點B.x軸C.y軸D.y—x分析：奇函數(shù)，f(-x)—-f(x)，關(guān)于原點對稱;偶函數(shù)，f(-x)—f(x)，關(guān)于y軸對稱y—f(x)與它的反函數(shù)y—f-1(x)關(guān)于y—x對稱，奇函數(shù)與偶函數(shù)的前提是定義域關(guān)于原點對稱設(shè)g(x)=f(x)+f(-x)，則g(-x)—f(—x)+f(x)=g(x)所以g(x)=f(x)+f(-x)為偶函數(shù)，即圖形關(guān)于y軸對稱故選C3?下列函數(shù)中為奇函數(shù)是(B).1x1xT8xXSx分析：A、y(一x)=ln(1+(-x)2)=lnG+x2)=y(x)，為偶函數(shù)B、y(一x)=-xcos(一x)=-xcosx=-y(x)，為奇函數(shù)ax+a-xc.y=2d.y=ln(l+x)或者X為奇函數(shù)，cosx為偶函數(shù)，奇偶函數(shù)乘積仍為奇函數(shù)a-x+axC、y(—x丿=2=y丿，所以為偶函數(shù)D、y(—x)=ln(1—x)，非奇非偶函數(shù)故選B下列函數(shù)中為基本初等函數(shù)是(C).a.y=x+1b.y二一xc.y=x2D.y—1,6)y=arcsinx6)y=arcsinx,[-1,1],y=arccosx,[—1,1],反三角函數(shù)分析：六種基本初等函數(shù)y=c(常值)常值函數(shù)y=x?,a為常數(shù)一一幕函數(shù)(3)y=ax(a〉0,a豐1)指數(shù)函數(shù)(4)y=logx(a〉0,a豐1)對數(shù)函數(shù)ayy=sinx,y=cosx,y=tanx,y=cotx一一三角函數(shù)y=arctanx,y=arccotx分段函數(shù)不是基本初等函數(shù)，故D選項不對對照比較選C下列極限存計算不正確的是(D).A.limxT8B.limln(1+x)=0xt0C.sinxlim一D.limxsin1=0x2分析：A、已知lim丄=0(n>0),limx^-=lim——=lim.函數(shù)f(x)二上藝J.函數(shù)f(x)二上藝J+ln(1+x)的定義域是—{xIx>3}xTWx"xTWx2+x一3xTWx2]2xtw1+1x一3++x2x2x2B、limln(1+x)=ln(1+0)=0,初等函數(shù)在期定義域內(nèi)是連續(xù)的xt0=lim-sinx=lim-sinx=0,x時，-是無窮小量，sinx是有界函數(shù)，無xC、limxtwxxtwx窮小量X有界函數(shù)仍是無窮小量-sint令-sint令t=t0,xtw，則原式=lim=1

xtt0tD、limxsin=limx，xtwxxtw-x故選D6.當(dāng)故選D6.當(dāng)xT0時，變量(C)是無窮小量.sinxA.-x1C.xsinxB.D.ln(x+2)分析；limf(x)=0，則稱f(x)為xTa時的無窮小量xTasinxA、lim=1，重要極限xtxtOB、B、lim—=w，無窮大量xT0xC、limxsin-=0，無窮小量xX有界函數(shù)sin-仍為無窮小量xtOxxD、limln(x+2)=ln(0+2)=In2—0故選C7?7?若函數(shù)f(x)在點x0滿足(A)，則f(x)在點x0連續(xù)。A.limA.limf(x)=f(x0)xtx0C.limf(x)=f(x)0xTx：xTx：分析：連續(xù)的定義：極限存在且等于此點的函數(shù)值Bf(X)在點Xo的某個鄰域內(nèi)有定義D.limf(x)=limf(x)…+xTx一則在此點連續(xù)即limf(x)=f(x)0xtx0連續(xù)的充分必要條件limf(x)=f(x)olimf(x)=limf(x)=f(x)xtx00xtx0+xtx0-0故選A二)填空題

分析：求定義域一般遵循的原則偶次根號下的量＞0分母的值不等于0對數(shù)符號下量(真值)為正反三角中反正弦、反余弦符號內(nèi)的量，絕對值小于等于1正切符號內(nèi)的量不能取刼土牙(k=0,1,2...)然后求滿足上述條件的集合的交集，即為定義域…x2—9f(x)二J+ln(1+x)要求x—3x—3豐x—3豐0得<x豐3求交集1+x>0x>－1x2—9>0x>3^或xW—3定義域為{xIx>3}^3——、：)=1^3TOC\o"1-5"\h\z已知函數(shù)f(x+1)二x2+x,則f(x)=.分析：法一，令t二x+1得x二t—1則f(t)=(t-1)2+(t-1)=t2—t則f(x)=x2—x法二，f(x+1)=x(x+1)=(x+1—1)(x+1)所以f(t)=(t—1)tlim(1+丄)x=.x*2x分析：重要極限lim1+-=e,等價式lim(1+x廿=e=exT8Vx丿xtO=e推廣limf(x)=g則lim(1+x—ax—alimf(x)=0貝ylim(1+f(x))f(x)=ex_ax—a112-L1lim(1+)x=lim(1+)2xx2=e22x2x14?14?若函數(shù)f(x)={(1+x)x，x+k,x<0，在x=0處連續(xù)，則k=x>0分析：分段函數(shù)在分段點x0處連續(xù)°limf(x)=limf(x)=f(xo)xtx°+xtx°一

limf(x)=lim(x+k)=0+k=k所以k=extO+x所以k=elimf(x)=lim(1+x廿=extO—xtO—5.函數(shù)y=x+5.函數(shù)y=sinx,x<0的間斷點是分析：間斷點即定義域不存在的點或不連續(xù)的點初等函數(shù)在其定義域范圍內(nèi)都是連續(xù)的分段函數(shù)主要考慮分段點的連續(xù)性(利用連續(xù)的充分必要條件)limf(x)=lim(x+1)=0+1=1—0+()—0+不等，所以x=0為其間斷點limf(x)=limsinx=0x—0—x—0—6.若limf(x)=A，則當(dāng)xTx°時，f(x)—A稱為—xTx。時的無窮小量分析：lim(f(x)—A)=limf(x)—limA=A—A=0xTx0xTx0xTx0所以f(x)—A為xTxo時的無窮小量(三)計算題Iex,x>01?設(shè)函數(shù)f(x)={'小求：f(—2),f(0),f(1).[x,x<0解：f(—2)=—2，f(0)=0，f(1)=e1=e2?求函數(shù)y=仗空二1的定義域.x>0解：y=仗空二解：y=仗空二1有意義，x要求則定義域為3?在半徑為R的半圓內(nèi)內(nèi)接一梯形，梯形的一個底邊與半圓的直徑重合，另一底邊的兩個端點在半圓上，試將梯形的面積表示成其高的函數(shù)．解：.------.------B33C設(shè)梯形ABCD即為題中要求的梯形，設(shè)高為h,即0E二h，下底CD=2R直角三角形AOE中，利用勾股定理得AE=\OA2—OE2=\R2—h2,則上底=2AE=2\R2—h2故S=￡?2弋R2—h2)=hC?+\；R2—h2)sin3x4.求limxTOsin2xsin3xsin3xx3xTOC\o"1-5"\h\zsin3x3x3x解：lim=lim=limOsin2xOsin2xOsin2xxtOxtOx2xxtO2x2xx2—15.求limxT-1sin(x+1)1x2—1(x—1)(x+1)x—11解：lim=lim=lim解：xt—1sin(x+1)xt—1sin(x+1)xt—isin(x+1)x+1tan3x6.求limxTOx解：tan3xlimxTOx=limxTOsin3解：tan3xlimxTOx=limxTOsin3x1?xcos3x=limxtOsin3x3x1x3=1x1x3cos3x17.求limxTO1+x2一1sinx解：1+x2—1limxTOx2Gm'1+x2—1)(\/1+x2+1)=lim=limsinxxtoQ'1+x2+1)sinxxto(貞+x2+1)sinxx=0=0sinx(1+1)x1=limxT0(節(jié)1+x2+1)xx—18.求lim(——-)x.xT8x十3e—1=—=e—4

e3x—1

解：lim(——-e—1=—=e—4

e3x—1

解：lim(——-)x=lim(xT8x十xT81+-x——x)x=limx—=lim—^—一33、1xx”(1+-)xxTW[(1+上)3]3xxx2—6x+89.求limxT4x2—5x+4x2-6x+8(x-4)(x-2)x-24-22解：lim=lim=lim==—xt4x2—5x+4(x—4)(x—1)xt4x—14—1310.設(shè)函數(shù)(x一2)2,x>1f(x)=<x,一1<x<1x+1,x<—1討論f(x)的連續(xù)性，并寫出其連續(xù)區(qū)間.1)解：分別對分段點x=—1,x=1處討論連續(xù)性limf(x)=limx=—11)xT—1+xT—1+limf(x)=lim(x+1)=—1+