剛體力學(xué)角動(dòng)量第1頁(yè)，課件共28頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2.質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理

作用于質(zhì)點(diǎn)的合外力對(duì)參考點(diǎn)O

的力矩，等于質(zhì)點(diǎn)對(duì)該點(diǎn)O

的角動(dòng)量隨時(shí)間的變化率.第2頁(yè)，課件共28頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月對(duì)同一參考點(diǎn)O，質(zhì)點(diǎn)所受的沖量矩等于質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量的增量．——質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理沖量矩第3頁(yè)，課件共28頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月3.質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量守恒定律若則注意：10質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量守恒的條件是50

是普遍規(guī)律，宏觀、微觀都適用。例如有心力：運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)所受的力總是通過一個(gè)固定點(diǎn)。力心特征：質(zhì)點(diǎn)對(duì)力心的角動(dòng)量永遠(yuǎn)守恒！30

質(zhì)點(diǎn)對(duì)某點(diǎn)的角動(dòng)量守恒，對(duì)另一點(diǎn)不一定守恒。40

角動(dòng)量守恒，不見得動(dòng)量守恒。當(dāng)質(zhì)點(diǎn)所受對(duì)參考點(diǎn)0的合力矩為零時(shí),質(zhì)點(diǎn)對(duì)該參考點(diǎn)的角動(dòng)量為一恒矢量.----質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量守恒定律質(zhì)點(diǎn)所受對(duì)參考點(diǎn)O的合力矩為零20

的兩種可能情況:合力通過參考點(diǎn)OL=恒矢量或恒矢量第4頁(yè)，課件共28頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例、在光滑的水平桌面上有一小孔0，一細(xì)繩穿過小孔，其一端系一小球放在桌面上，另一端用手拉繩，求小球的速率v2f拉解：小球受力：f拉開始時(shí)小球繞孔運(yùn)動(dòng)，速率為v1

，半徑為

r1

，當(dāng)半徑變?yōu)?/p>

r2

時(shí)因f拉為有心力第5頁(yè)，課件共28頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

例一半徑為R

的光滑圓環(huán)置于豎直平面內(nèi).一質(zhì)量為m

的小球穿在圓環(huán)上,并可在圓環(huán)上滑動(dòng).小球開始時(shí)靜止于圓環(huán)上的點(diǎn)A

(該點(diǎn)在通過環(huán)心O

的水平面上)，然后從A點(diǎn)開始下滑．設(shè)小球與圓環(huán)間的摩擦力略去不計(jì)．求小球滑到點(diǎn)B

時(shí)對(duì)環(huán)心O

的角動(dòng)量和角速度．第6頁(yè)，課件共28頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月解小球受力、作用,的力矩為零，重力矩垂直紙面向里由質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理第7頁(yè)，課件共28頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月考慮到得由題設(shè)條件積分上式得第8頁(yè)，課件共28頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月二剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理和角動(dòng)量守恒定律1剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量剛體以角速度繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng),剛體上每一質(zhì)點(diǎn)都以相同的角速度繞軸作圓周運(yùn)動(dòng).其中質(zhì)點(diǎn)對(duì)軸的角動(dòng)量為于是剛體上所有質(zhì)點(diǎn)對(duì)軸的角動(dòng)量,即剛體對(duì)定軸的角動(dòng)量為2剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理作用在質(zhì)點(diǎn)i上的合力矩應(yīng)等于質(zhì)點(diǎn)i的角動(dòng)量隨時(shí)間的變化率即rir1

Mi中含有外力作用在質(zhì)點(diǎn)i的力矩Mi外和剛體內(nèi)質(zhì)點(diǎn)間作用力的力矩Mi內(nèi).由于剛體內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)的內(nèi)力矩之和應(yīng)為零,所以在遍及剛體內(nèi)所有質(zhì)點(diǎn)后,可得第9頁(yè)，課件共28頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月合力矩合內(nèi)力矩為零合外力矩M剛體角動(dòng)量L即剛體作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),剛體所受合外力矩等于剛體繞此定軸的角動(dòng)量隨時(shí)間的變化率.轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J的剛體在合外力矩的作用下作定軸轉(zhuǎn)動(dòng),在時(shí)間t1到t2內(nèi),其角速度由變?yōu)?則有

合外力矩的沖量矩如果物體在轉(zhuǎn)動(dòng)過程轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J發(fā)生了變化,設(shè)在時(shí)間t1到t2內(nèi)由J1變?yōu)镴2,下式仍然成立.物體所受合外力矩的沖量矩等于物體角動(dòng)量的增量---角動(dòng)量定理外外內(nèi)第10頁(yè)，課件共28頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月3角動(dòng)量守恒定律當(dāng)轉(zhuǎn)軸給定時(shí),若作用在物體上的合外力矩為零,可得如果物體所受的合外力矩等于零,或者不受外力矩的作用,物體的角動(dòng)量將保持不變.---角動(dòng)量守恒定律注意：10

系統(tǒng)角動(dòng)量守恒的條件:系統(tǒng)所受的合外力矩為零.20

對(duì)“剛體”“定軸”轉(zhuǎn)動(dòng)，J是常數(shù)?！敖莿?dòng)量守恒”就是角速度守恒。30

若J變,仍成立.40適用范圍:慣性系,宏觀、微觀都適用。Jω=恒量第11頁(yè)，課件共28頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月[例題]裝置如圖所示.滑輪兩邊懸掛的重物與盤的質(zhì)量相同而處于平衡，現(xiàn)有距盤底高為h質(zhì)量為m′

的膠泥自由下落，求膠泥粘在盤上時(shí)盤獲得到初速度.滑輪和繩質(zhì)量不計(jì).不計(jì)軸承摩擦及繩的伸長(zhǎng).hmm′ORmOR第12頁(yè)，課件共28頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月[解]膠泥自由下落至盤面的速度為.將盤、重物和膠泥視為質(zhì)點(diǎn)系，繩的拉力及物體所受重力為外力.因不計(jì)滑輪、繩質(zhì)量及軸承摩擦，兩邊繩的拉力相等；重物與盤所受重力也相等.它們對(duì)軸心O的力矩之和為零，故質(zhì)點(diǎn)系所受外力對(duì)O點(diǎn)的力矩之和就等于膠泥的重力矩，不等于零.但在碰撞時(shí)，膠泥與盤之間的碰撞內(nèi)力對(duì)O點(diǎn)的力矩遠(yuǎn)大于外力矩之和，即內(nèi)力矩對(duì)質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的影響遠(yuǎn)大于外力矩的影響.討論質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)，可不計(jì)外力矩。故在碰撞時(shí)，可用質(zhì)點(diǎn)系對(duì)O軸角動(dòng)量守恒方程求近似解.取垂直紙面朝向讀者的方向?yàn)镺軸正方向，有第13頁(yè)，課件共28頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月得繩不伸長(zhǎng)，故將代入，得第14頁(yè)，課件共28頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例質(zhì)量均為m的兩個(gè)小鋼球固定在一個(gè)長(zhǎng)為a的輕質(zhì)硬桿的兩端，桿的中點(diǎn)有一軸使桿可在水平面內(nèi)自由轉(zhuǎn)動(dòng)。桿原來靜止。另一泥球質(zhì)量也是m，以水平速度V0垂直于桿的方向與其中的一個(gè)鋼球發(fā)生碰撞，碰后兩者粘在一起。求碰撞后桿轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度。moV0mma/2a/2解：選質(zhì)點(diǎn)系:質(zhì)點(diǎn)系對(duì)o點(diǎn)的合外力矩為零，兩個(gè)鋼球+泥球碰撞過程，系統(tǒng)角動(dòng)量守恒.第15頁(yè)，課件共28頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月VV碰后三質(zhì)點(diǎn)的速率為V=a/2

=(a/2)2mv+（a/2）mv

由角動(dòng)量守恒定律，得：

=2v0/3aoma/2a/2(a/2)mv0第16頁(yè)，課件共28頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例：如圖，圓盤的M、R、及ω0已知。子彈m,以v0射入盤邊緣，求此后盤轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度。解：對(duì)M和m,用動(dòng)量守恒律，有：其中：V0=Rω0正確解：對(duì)M和m,用角動(dòng)量守恒律錯(cuò)第17頁(yè)，課件共28頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例:有一子彈,質(zhì)量為m,以水平速度v射入桿的下端而不復(fù)出,求桿和子彈開始一起運(yùn)動(dòng)時(shí)的角速度?mv0解:

碰撞時(shí)間很短,考慮：桿和子彈組成的系統(tǒng)動(dòng)量守恒?系統(tǒng)對(duì)軸O角動(dòng)量守恒!M.lO如果子彈穿出或反彈的情形？第18頁(yè)，課件共28頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例質(zhì)量為m1、長(zhǎng)為l的均勻細(xì)桿,靜止平放在滑動(dòng)摩擦系數(shù)為m

的水平桌面上,它可繞過其端點(diǎn)o且與桌面垂直的固定光滑軸轉(zhuǎn)動(dòng),另有一水平運(yùn)動(dòng)的質(zhì)量為m2的小滑塊,從側(cè)面垂直與桿的另一端A相碰撞,設(shè)碰撞時(shí)間極短,已知小滑塊在碰撞前后的速度分別為v1

和v2,方向如圖所示,求碰撞后從細(xì)桿開始轉(zhuǎn)動(dòng)到停止轉(zhuǎn)動(dòng)過程所需時(shí)間,（已知桿繞點(diǎn)o的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J=ml2/3)第19頁(yè)，課件共28頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月解：碰撞過程，桿和滑塊組成的系統(tǒng)的合外力矩為0，系統(tǒng)角動(dòng)量守恒。規(guī)定逆時(shí)針方向?yàn)檎Ｅ鲎埠髼U受摩擦力矩的作用由角動(dòng)量定理得：第20頁(yè)，課件共28頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月12例人與轉(zhuǎn)盤的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J0=60kg·m2，伸臂時(shí)臂長(zhǎng)為

1m，收臂時(shí)臂長(zhǎng)為0.2m。人站在摩擦可不計(jì)的自由轉(zhuǎn)動(dòng)的圓盤中心上，每只手抓有質(zhì)量m=5kg的啞鈴。伸臂時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)角速度1

=3s-1,求收臂時(shí)的角速度2

？解：整個(gè)過程合外力矩為0，角動(dòng)量守恒由得第21頁(yè)，課件共28頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例質(zhì)量為M半徑為R的轉(zhuǎn)臺(tái)可繞通過中心的豎直軸轉(zhuǎn)動(dòng)，設(shè)阻力可忽略不計(jì)，質(zhì)量為m的一人站在臺(tái)的邊緣，人和臺(tái)原來都靜止，如果人沿臺(tái)的邊緣奔跑一周，問相對(duì)于地面來說，人和轉(zhuǎn)臺(tái)各轉(zhuǎn)了多少角度？第22頁(yè)，課件共28頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月解：如果以人和轉(zhuǎn)臺(tái)為一系統(tǒng)，該系統(tǒng)未受到外力矩的作用，故角動(dòng)量守恒。開始時(shí)角動(dòng)量為零，由角動(dòng)量守恒得轉(zhuǎn)臺(tái)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量MR2/2,人的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量mR2人相對(duì)轉(zhuǎn)臺(tái)的角速度為人奔跑一圈所需的時(shí)間為人相對(duì)地面繞行的角度為轉(zhuǎn)臺(tái)轉(zhuǎn)過的角度第23頁(yè)，課件共28頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例、一根輕繩跨過一定滑輪（滑輪視為圓盤），繩的兩端分別懸有質(zhì)量為m1和m2的物體，m1<m2，滑輪的質(zhì)量為

m，半徑為R，所受的摩擦阻力矩為Mf

，繩與滑輪間無相對(duì)滑動(dòng)。試求：物體的加速度。已知：m1,m2,m,R,Mf求:a.解:把m1、m2和m看作一系統(tǒng),系統(tǒng)所受合外力有重力m1g、m2g,這兩個(gè)力對(duì)軸的力矩分別為m1gR、m2gR;支撐力N通過轉(zhuǎn)軸,對(duì)軸的力矩為零.加上阻力矩Mf,系統(tǒng)所受合外力矩為(順時(shí)針為正)NMfM=m2gR-m1gR-Mf系統(tǒng)的角動(dòng)量包括m:Jωm1:Rm1vm2:Rm2v系統(tǒng)的總角動(dòng)量為(順時(shí)針為正)L=Jω+Rm1v+Rm2v第24頁(yè)，課件共28頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月根據(jù)角動(dòng)量定理利用解得第25頁(yè)，課件共28頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例質(zhì)量很小長(zhǎng)度為l

的均勻細(xì)桿，可繞過其中心O并與紙面垂直的軸在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)．