安徽省合肥市興國實(shí)驗(yàn)學(xué)校高三數(shù)學(xué)理下學(xué)期摸底試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.下列結(jié)論正確的有①集合，集合，A與B是同一個(gè)集合；②集合與集合是同一個(gè)集合；③由，，，，這些數(shù)組成的集合有5個(gè)元素；④集合是指第二和第四象限內(nèi)的點(diǎn)集．A．0個(gè)

B．1個(gè)

C．2個(gè)

D．3個(gè)參考答案：A略2.設(shè)分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，P是其右準(zhǔn)線上縱坐標(biāo)為（為半焦距）的點(diǎn)，且，則橢圓的離心率是A．

B.

C.

D.參考答案：答案：D解析：由已知P（），所以化簡得3.平面向量與的夾角為60°，,則等于(

) A． B．2 C．4 D．12參考答案：B略4.若復(fù)數(shù)滿足（是虛數(shù)單位)，則的共軛復(fù)數(shù)=（

）A． B．

C．

D．參考答案：C5.學(xué)校選派甲、乙、丙、丁、戊5名學(xué)生代表學(xué)校參加市級“演講”和“詩詞”比賽，下面是他們的一段對話．甲說：“乙參加‘演講’比賽”；乙說：“丙參加‘詩詞’比賽”；丙說“丁參加‘演講’比賽”；丁說：“戊參加‘詩詞’比賽”；戊說：“丁參加‘詩詞’比賽”．已知這5個(gè)人中有2人參加“演講”比賽，有3人參加“詩詞”比賽，其中有2人說的不正確，且參加“演講”的2人中只有1人說的不正確．根據(jù)以上信息，可以確定參加“演講”比賽的學(xué)生是A.甲和乙

B.乙和丙

C.丁和戊

D.甲和丁參考答案：D6.已知某幾何體的三視圖（單位：cm）如圖所示，則該幾何體的體積是（）A．108cm3 B．100cm3 C．92cm3 D．84cm3參考答案：B【考點(diǎn)】由三視圖求面積、體積．【專題】立體幾何．【分析】由三視圖可知：該幾何體是一個(gè)棱長分別為6，6，3，砍去一個(gè)三條側(cè)棱長分別為4，4，3的一個(gè)三棱錐（長方體的一個(gè)角）．據(jù)此即可得出體積．【解答】解：由三視圖可知：該幾何體是一個(gè)棱長分別為6，6，3，砍去一個(gè)三條側(cè)棱長分別為4，4，3的一個(gè)三棱錐（長方體的一個(gè)角）．∴該幾何體的體積V=6×6×3﹣=100．故選B．【點(diǎn)評】由三視圖正確恢復(fù)原幾何體是解題的關(guān)鍵．7.已知集合P={x|1＜x≤2}，Q={x|x2+x﹣2≤0}，那么P∩Q等于(

)A．? B．{1} C．{x|﹣2≤x≤2} D．{x|1＜x≤2}參考答案：A【考點(diǎn)】交集及其運(yùn)算．【專題】計(jì)算題；集合思想；分析法；集合．【分析】根據(jù)題意，Q為方程x2+x﹣6≤0的解集，由一元二次不等式的解法可得Q，由交集的運(yùn)算可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，結(jié)合一元二次不等式的解法可得，Q={x∈R|x2+x﹣2≤0}={x|﹣2≤x≤1}，而P={x|1＜x≤2}，又交集的意義，可得P∩Q=?故選：A．【點(diǎn)評】本題考查集合的交集運(yùn)算，注意本題中P與Q的元素的范圍的不同．8.在等差數(shù)列中，，其前項(xiàng)和為，若，則的值等于（

）

A.-2012

B.-2013

C.2012

D.2013參考答案：B，，所以，，所以，所以，選B.9.浙江新高考方案正式實(shí)施，一名同學(xué)要從物理、化學(xué)、生物、政治、地理、歷史、技術(shù)七門功課中選取三門功課作為自己的選考科目，假設(shè)每門功課被選到的概率相等，則該同學(xué)選到物理、地理兩門功課的概率為（

）A.

B.

C.

D.參考答案：A10.過雙曲線的左焦點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為、，雙曲線左頂點(diǎn)為，若，則該雙曲線的離心率為

（

）

A．

B．

C．

D．

參考答案：D略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知圓G：x2+y2﹣2x﹣2y=0經(jīng)過橢圓+=1（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)及上頂點(diǎn)．過橢圓外一點(diǎn)M（m，0）（m＞a），傾斜角為π的直線l交橢圓于C，D兩點(diǎn)，若點(diǎn)N（3，0）在以線段CD為直徑的圓E的外部，則m的取值范圍是_________．參考答案：12.若方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是

．參考答案：或．解：令，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，

綜上作出它的圖象，要使它與直線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則直線必須通過藍(lán)色或黃色區(qū)域內(nèi)，如圖，則此時(shí)當(dāng)直線經(jīng)過黃色區(qū)域時(shí)，滿足，當(dāng)經(jīng)過藍(lán)色區(qū)域時(shí)，滿足，綜上實(shí)數(shù)的取值范圍是或．13.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，若其值域也為，則稱區(qū)間為的保值區(qū)間．若的保值區(qū)間是，則的值為

.參考答案：1因?yàn)楹瘮?shù)的保值區(qū)間為，則的值域也是，因?yàn)橐驗(yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)椋杂?，得，即函?shù)的遞增區(qū)間為，因?yàn)榈谋Ｖ祬^(qū)間是，所以函數(shù)在上是單調(diào)遞增，所以函數(shù)的值域也是，所以，即，即。14.若方程的各個(gè)實(shí)根所對應(yīng)的點(diǎn)均在直線的同側(cè)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________.參考答案：解：方程的根顯然x≠0，原方程等價(jià)于x3+a=，原方程的實(shí)根是曲線y=x3+a與曲線y=的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，而曲線y=x3+a是由曲線y=x3向上或向下平移|a|個(gè)單位而得到的，若交點(diǎn)(xi，))（i=1，2，…，k）均在直線y=x的同側(cè)，因直線y=x與y=交點(diǎn)為：（-2，-2），（2，2）；所以結(jié)合圖象可得a＞0且x3+a＞-2且x＜-2或者a＜0且x3+a＜2且x＞2，解得a的范圍是15.的展開式中的系數(shù)是

參考答案：240本題主要考查二項(xiàng)式定理，以及簡單的基本運(yùn)算能力．難度較?。吆瑇4的項(xiàng)為C(2x)4＝240x4，∴展開式中x4的系數(shù)是240．16.已知，若，則

．參考答案：17.設(shè)集合，，則集合=

.參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.(13分)已知函數(shù)(a>0).方程有兩個(gè)實(shí)根.(1)如果,函數(shù)圖象的對稱軸是直線,求證;(2)如果,且的兩實(shí)根之差為2,求實(shí)數(shù)b的取值范圍.參考答案：解析：(1)令,則∴.∴.(2)因?yàn)?且,所以,又由兩實(shí)根之差為2知,.因?yàn)?所以.又,所以,,∴,即,∴解得.19.（本小題滿分14分）已知函數(shù)，（）.（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）求證：當(dāng)時(shí)，對于任意，總有成立.參考答案：（Ⅰ）函數(shù)的定義域?yàn)椋?當(dāng)時(shí)，當(dāng)變化時(shí)，，的變化情況如下表：00↘

↗

↘.……2分

當(dāng)時(shí)，當(dāng)變化時(shí)，，的變化情況如下表：00↗

↘

↗

.……4分綜上所述，當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為.……5分

（2）由（1）可知，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，；在上單調(diào)遞減，且.

所以時(shí)，.因?yàn)?，所以，令，?…………7分①當(dāng)時(shí)，由，得；由，得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.所以.因，對任意，總有.…10分②當(dāng)時(shí)，在上恒成立，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，.所以對于任意，仍有.綜上所述，對于任意，總有.

…14分20.（12分）如圖，A、B是單位圓O上的點(diǎn)，C、D分別是圓O與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)，△ABO為正三角形．（1）若點(diǎn)A的坐標(biāo)為，求cos∠BOC的值；（2）若∠AOC=x（0＜x＜），四邊形CABD的周長為y，試將y表示成x的函數(shù)，并求出y的最大值．參考答案：【考點(diǎn)】：在實(shí)際問題中建立三角函數(shù)模型；三角函數(shù)的最值；平面直角坐標(biāo)系與曲線方程．【專題】：計(jì)算題．【分析】：（1）根據(jù)△ABO為正三角形求得∠BOA，利用點(diǎn)A的坐標(biāo)求得sin∠AOC和cos∠AOC，進(jìn)而利用兩角和公式求得cos∠BOC．（2）利用余弦定理分別求得AC和BD，進(jìn)而根據(jù)△ABO為正三角形求得AB，CD可知，四邊相加得到y(tǒng)的函數(shù)解析式，利用兩角和公式化簡整理后，利用x的范圍和正弦函數(shù)的性質(zhì)求得函數(shù)的最大值．【解答】：解：（1）∵△ABO為正三角形∴∠BOA=60°∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為∴tan∠AOC=，∴sin∠AOC=，cos∠AOC=∴cos∠BOC=cos（∠AOC+60°）=cos∠AOCcos60°﹣sin∠AOCsin60°=；

（2）由余弦定理可知AC==2sin，BD==2sin（﹣），AB=OB=1，CD=2，∴===，0＜x＜∴當(dāng)x=時(shí)，ymax=5【點(diǎn)評】：本題主要考查了三角函數(shù)的最值，數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用．考查了學(xué)生分析問題和解決問題的能力．21.（本小題滿分14分）已知函數(shù)的圖象過坐標(biāo)原點(diǎn)O,且在點(diǎn)處的切線的斜率是.（Ⅰ）求實(shí)數(shù)的值；

（Ⅱ）求在區(qū)間上的最大值；（Ⅲ）對任意給定的正實(shí)數(shù)，曲線上是否存在兩點(diǎn)P、Q，使得是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形，且此三角形斜邊中點(diǎn)在軸上？說明理由.參考答案：解：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，，則。依題意得：，即

解得…2分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，①

當(dāng)時(shí)，，令得…….3分當(dāng)變化時(shí)，的變化情況如下表：0—0+0—

單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減……………4分又，，?！嘣谏系淖畲笾禐?…………5分②

當(dāng)時(shí),.當(dāng)時(shí),,最大值為0；當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞增?！嘣谧畲笾禐椤！?分綜上，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，在區(qū)間上的最大值為2；當(dāng)時(shí)，即時(shí)，在區(qū)間上的最大值為?！?分（Ⅲ）假設(shè)曲線上存在兩點(diǎn)P、Q滿足題設(shè)要求，則點(diǎn)P、Q只能在軸兩側(cè)。不妨設(shè)，則，顯然∵是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形，∴即

（*）若方程（*）有解，存在滿足題設(shè)要求的兩點(diǎn)P、Q；若方程（*）無解，不存在滿足題設(shè)要求的兩點(diǎn)P、Q.若，則代入（*）式得：即，而此方程無解，因此。此時(shí)，代入（*）式得：

即

（**）令

，則∴在上單調(diào)遞增，

∵

∴,∴的取值范圍是。∴對于，方程（**）總有解，即方程（*）總有解。因此，對任意給定的正實(shí)數(shù)，曲線上存在兩點(diǎn)P、Q，使得是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形，且此三角形斜邊中點(diǎn)在軸上?！?.14分

略22.設(shè)函數(shù)，（Ⅰ）若在上存在單調(diào)