第三章集中量數(shù)第一節(jié)算術(shù)平均數(shù)第二節(jié)中位數(shù)第三節(jié)幾何平均數(shù)第三章集中量數(shù)第一節(jié)算術(shù)平均數(shù)1第一節(jié)算術(shù)平均數(shù)一、算術(shù)平均數(shù)的概念及適用條件（一）概念 是一組同質(zhì)數(shù)據(jù)值的總和除以數(shù)據(jù)總個(gè)數(shù)所得的商。亦稱均數(shù)，均值，用（讀X杠）表示。n為數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)。（3.1）第一節(jié)算術(shù)平均數(shù)一、算術(shù)平均數(shù)的概念及適用條件n為數(shù)據(jù)個(gè)2（二）適用條件1、適用于同質(zhì)數(shù)據(jù)。 2、要求一組數(shù)據(jù)中每個(gè)數(shù)據(jù)都比較準(zhǔn)確、可靠，若數(shù)據(jù)模糊不清或分組資料有不確定組限是時(shí)，不能計(jì)算平均數(shù)。 3、無(wú)極端值出現(xiàn)。 4、需要得到一個(gè)相對(duì)精確可靠的集中量數(shù)或進(jìn)一步參與其他運(yùn)算時(shí)。（二）適用條件3二、算術(shù)平均數(shù)的計(jì)算方法 （一）簡(jiǎn)單算術(shù)平均數(shù)的計(jì)算方法 直接利用公式（3.1）計(jì)算。 例1某班選八名同學(xué)參加年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽，成績(jī)分別為82，90，95，88，90，94，80，93。求其平均成績(jī)。 解：把N=8，X1=82,…,X8=93代入公式（3.1），得二、算術(shù)平均數(shù)的計(jì)算方法4 （二）加權(quán)算術(shù)平均數(shù)的計(jì)算方法 有時(shí)每個(gè)數(shù)據(jù)在其整體中的所占的權(quán)重（重要程度）不同。 它是指一組數(shù)據(jù)中每個(gè)數(shù)據(jù)與其權(quán)數(shù)乘積的總和除以權(quán)數(shù)總和所得之商，用符號(hào)表示。（3.2） （二）加權(quán)算術(shù)平均數(shù)的計(jì)算方法（3.2）5 例2某年級(jí)四個(gè)班的學(xué)生人數(shù)分別為50人，52人，48人，51人，期末數(shù)學(xué)考試各班的平均成績(jī)分別為90分，85分，88分，92分，求年級(jí)的平均成績(jī)。解：由公式（3.2）得=88.74 例2某年級(jí)四個(gè)班的學(xué)生人數(shù)分別為50人，52人，486 對(duì)于已列成次數(shù)分布表的分組數(shù)據(jù)，其算術(shù)平均數(shù)的計(jì)算公式為（3.3）式中Xc為組中值；f為各組次數(shù)，即權(quán)數(shù)；N為總次數(shù)=∑f。

例3某班50人外語(yǔ)期末考試成績(jī)的次數(shù)分布如下，求全班學(xué)生的平均成績(jī)。 對(duì)于已列成次數(shù)分布表的分組數(shù)據(jù)，其算術(shù)平均數(shù)的計(jì)算公式為7組別組中值Xc次數(shù)ffXc90-9492327685-89871087080-848215123075-7977861670-7472536065-6967320160-6462424855-59572114∑503915表3-1某班50人外語(yǔ)成績(jī)次數(shù)分布表組別組中值Xc次數(shù)ffXc90-9492327685-8988解：將表中數(shù)據(jù)代入公式（3.3），得

說(shuō)明：利用次數(shù)分布求得的算術(shù)平均數(shù)是一個(gè)近似值。因?yàn)槲覀兿燃僭O(shè)組內(nèi)的數(shù)據(jù)是均勻分布的，利用各組中值分別代表各組數(shù)據(jù)，這顯然與實(shí)際不符，把這一誤差叫分組誤差。解：將表中數(shù)據(jù)代入公式（3.3），得9第二節(jié)中位數(shù)一、中位數(shù)的概念及適用條件 （一）概念 中位數(shù)是位于一組有序數(shù)據(jù)中間位置的量數(shù)。也稱中數(shù)，用Mdn表示。它是將一組有序數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)分為相等兩部分的那個(gè)數(shù)據(jù)，它可能是原始數(shù)據(jù)中的一個(gè)，也可能是通過(guò)計(jì)算得到的一個(gè)數(shù)。第二節(jié)中位數(shù)一、中位數(shù)的概念及適用條件10

（二）適用條件 1、當(dāng)一組數(shù)據(jù)有極端值出現(xiàn)時(shí)。 2、當(dāng)一組有序數(shù)據(jù)兩端有個(gè)別數(shù)據(jù)模糊不清或分組資料有不確定組限時(shí)。 3、當(dāng)需要快速估計(jì)一組數(shù)據(jù)的代表值時(shí)。二、中位數(shù)的計(jì)算方法 （一）未分組數(shù)據(jù)中位數(shù)的計(jì)算方法一組數(shù)據(jù)未分組，先排序，中位數(shù)取決于數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)。 （二）適用條件二、中位數(shù)的計(jì)算方法11

當(dāng)數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)為奇數(shù)時(shí)，則以第（N+1）/2個(gè)位置上的數(shù)據(jù)作為中位數(shù)。 當(dāng)數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)為偶數(shù)時(shí)，則取居中間的兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)為中位數(shù)。即取第（N+1）/2處作為中位數(shù)的位置，其位置左右兩數(shù)據(jù)的平均值即為中位數(shù)。 例如求80，93，90，81，85，88，92，84的中位數(shù)時(shí)，先排序：80，81，84，85，88，90，92，93，再求（N+1）/2=4.5，這說(shuō)明中位數(shù)的位置在第四個(gè)和第五個(gè)數(shù)的中間，即（85+88）/2=86.5。 當(dāng)數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)為奇數(shù)時(shí)，則以第（N+1）/2個(gè)位置上的12 （二）分組數(shù)據(jù)中位數(shù)的計(jì)算方法 對(duì)分組數(shù)據(jù)常將N/2位置對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)看成中位數(shù)。計(jì)算公式為：（3.4） （二）分組數(shù)據(jù)中位數(shù)的計(jì)算方法計(jì)算公式為：（3.4）13 計(jì)算步驟： （1）求N/2； （2）確定中位數(shù)所在組，由下向上累積次數(shù)，直到大于或等于N/2一組為止，該組就是中位數(shù)所在組； （3）求出中位數(shù)所在組的精確下限； （4）求出中位數(shù)所在組以下的累積次數(shù)Fb; （5）確定組距及中位數(shù)所在組的次數(shù)f; （6）將以上各值代入公式（3.4）中。 計(jì)算步驟：14 例5求表3-1的中位數(shù)。 解：（1）N/2=50/2=25； （2）由下向上累積次數(shù)，75-79組對(duì)應(yīng)的累積次數(shù)為22，80-84組對(duì)應(yīng)的累積次數(shù)為37，故中位數(shù)在80-84組； （3）Lb=79.5； （4）Fb=2+4+3+5+8=22; （5）i=5,f=15； （6）將上述值代入（3.4），得 Mdn=79.5+(25-22)/15*5=80.5 例5求表3-1的中位數(shù)。15第三節(jié)幾何平均數(shù)一、幾何平均數(shù)的概念及應(yīng)用時(shí)機(jī) （一）概念 它是N個(gè)數(shù)值連乘積的N次方根，用符號(hào)MG表示(3.5)第三節(jié)幾何平均數(shù)一、幾何平均數(shù)的概念及應(yīng)用時(shí)機(jī)(3.5)16 （二）應(yīng)用時(shí)機(jī) 1、求一組等比或近似等比數(shù)據(jù)的平均數(shù)時(shí)。 2、一組數(shù)據(jù)中，有少數(shù)偏大或偏小的數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)分布呈現(xiàn)偏態(tài)，求平均數(shù)時(shí)。 3、在教育上，主要應(yīng)用幾何平均數(shù)求平均發(fā)展速度或?qū)δ稠?xiàng)目標(biāo)進(jìn)行預(yù)測(cè)估計(jì)。 （二）應(yīng)用時(shí)機(jī)17二、幾何平均數(shù)的計(jì)算方法 （一）直接公式法 例6求2，8，32，125，502的幾何平均數(shù)。 解：由于這組數(shù)屬于近似等比數(shù)列，故應(yīng)用公式（3.5），得=31.72二、幾何平均數(shù)的計(jì)算方法=31.7218

例7已知某校四年中各年度的學(xué)生人數(shù)分別為上一年的1.12倍，1.09倍，1.08倍和1.06倍，求每年的平均增長(zhǎng)率。解：先求出平均發(fā)展速度

然后用公式：平均增長(zhǎng)率=平均發(fā)展速度-1，求出年平均增長(zhǎng)率。平均增長(zhǎng)率=1.09-1=0.09故所求的年平均增長(zhǎng)率為9%。 例7已知某校四年中各年度的學(xué)生人數(shù)分別為上一年的19 （二）只用首末項(xiàng)求幾何平均數(shù) 設(shè)a0,a1,…,aN是N個(gè)年度中各年度某種數(shù)量值，其中a0是初期量，

aN是末期量。X1,X2,…,XN為各年度發(fā)展速度，即

（3.6） （二）只用首末項(xiàng)求幾何平均數(shù)（3.6）20 例8某重點(diǎn)高中1994-1999年招收新生人數(shù)如下表，求年平均增長(zhǎng)率。年份199419951996199719981999人數(shù)594600612630650700表3-2某高中招生人數(shù)統(tǒng)計(jì)表解：由于a0=594,aN=700,N=5,所以年平均發(fā)展速度為

故年平均增長(zhǎng)率為（10.3-1)*100%=3% 例8某重點(diǎn)高中1994-1999年招收新生人數(shù)如下表21 例10某校辦工廠在1984年創(chuàng)產(chǎn)值10萬(wàn)元，該廠計(jì)劃以年平均增長(zhǎng)率為5%的速度遞增，試估計(jì)到2004年該廠可創(chuàng)產(chǎn)值多少萬(wàn)元。解：由得：aN=a0(1+平均增長(zhǎng)率）N=10×（1+0.05）20=26.53（萬(wàn)元） 例10某校辦工廠在1984年創(chuàng)產(chǎn)值10萬(wàn)元，該廠計(jì)劃22作業(yè)1、某班60名學(xué)生的外語(yǔ)成績(jī)列成次數(shù)分布如下，試求其算術(shù)平均數(shù)和中位數(shù)。組別人數(shù)向上累積次數(shù)90-9426085-8935880-8455575-7985070-7494265-691633