2022-2023學(xué)年北京市通州區(qū)高一下學(xué)期期中質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題一、單選題1．復(fù)數(shù)的虛部為（

）A．3 B．2 C． D．【答案】C【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的定義，即可求解．【詳解】的虛部為．故選：C．2．在復(fù)平面內(nèi)，點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)的模等于（

）A．5 B． C．2 D．1【答案】B【分析】利用復(fù)數(shù)模公式，即可得到答案．【詳解】點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為，則其模為．故選：B．3．設(shè)，是單位向量，則下列四個(gè)結(jié)論中正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)單位向量的定義，即可得解．【詳解】由是單位向量，知，但單位向量的方向不確定，所以選項(xiàng)A，B和C均錯(cuò)誤，選項(xiàng)D正確．故選：D．4．已知向量，則向量與夾角的余弦值為（

）A． B． C． D．1【答案】A【分析】根據(jù)題意，設(shè)向量與夾角為，求出、和的值，進(jìn)而計(jì)算可得答案．【詳解】根據(jù)題意，設(shè)向量與夾角為，向量，，則，，，則．故選：A．5．已知向量滿足，且，則在上的投影向量為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】向量在向量上的投影向量的定義計(jì)算即可.【詳解】解：因?yàn)橄蛄浚?，那么，所以向量在向量上的投影向量為，故選：C.6．已知向量，則“”是“”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】根據(jù)題意，由向量垂直的判斷方法分析“”和“”的關(guān)系，由此分析可得答案．【詳解】根據(jù)題意，當(dāng)時(shí)，向量，，則，有，則有，反之，若，則，則，解可得或1，不一定成立；故“”是“”的充分不必要條件．故選：A．7．如圖所示，點(diǎn)在線段上，且，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)平面向量的基本定理求解即可.【詳解】因?yàn)椋?，因?yàn)椋?，?故選：C.8．拋擲兩枚硬幣，觀察它們落地時(shí)朝上的面的情況，該試驗(yàn)的樣本空間中樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．4 D．8【答案】C【分析】利用基本事件的定義，列舉即可．【詳解】先后拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，有先后順序，則此試驗(yàn)的樣本空間為（正面，正面），（正面，反面），（反面，正面），（反面，反面）．故選：C.9．若某群體中的成員會(huì)用現(xiàn)金支付的概率為0.60，會(huì)用非現(xiàn)金支付的概率為0.55，則用現(xiàn)金支付也用非現(xiàn)金支付的概率為（

）A．0.10 B．0.15 C．0.40 D．0.45【答案】B【分析】設(shè)成員會(huì)用現(xiàn)金支付為是事件A，會(huì)用非現(xiàn)金支付為事件B，則為即用現(xiàn)金支付也用非現(xiàn)金支付，.【詳解】設(shè)成員會(huì)用現(xiàn)金支付為是事件A，會(huì)用非現(xiàn)金支付為事件B，則為即用現(xiàn)金支付也用非現(xiàn)金支付，則，，則，.故選：B.10．已知，若向量，，則向量與所成的角為銳角的概率是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題意可得，且與的方向不同，然后利用列舉法列出滿足條件的情況，再根據(jù)古典概型的概率公式求解即可.【詳解】向量與所成的角為銳角等價(jià)于，且與的方向不同，即，則滿足條件的向量有，其中或時(shí)，與同向，故舍去，故共有4種情況滿足條件，又的取法共有種，則向量與所成的角為銳角的概率是．故選：B．二、填空題11．已知i是虛數(shù)單位，則．【答案】【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合復(fù)數(shù)的乘方運(yùn)算，即可求解．【詳解】．故答案為：．12．在△ABC中，已知AB=2,AC=3,A=60°，則sinC=.【答案】【分析】已知利用余弦定理可求BC的值，進(jìn)而利用正弦定理可求sinC的值.【詳解】∵AB=2，AC=3，A=60°，∴由余弦定理可得：BC2=AB2+AC2﹣2AB?ACcosA=4+9﹣2×2×37，∵BC>0，∴BC.∴由正弦定理，可得.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查余弦定理?正弦定理的在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題.13．某人射擊中靶的概率為0.9，連續(xù)射擊3次，每次射擊的結(jié)果互不影響，則至少中靶一次的概率是．【答案】0.999/【分析】由題意知本題符合獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的條件，是一個(gè)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，經(jīng)過(guò)3次射擊，至少有一次中靶的對(duì)立事件是三次未擊中目標(biāo)，代入公式得到結(jié)果．【詳解】由題意知本題是一個(gè)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，∵每次中靶的概率均為0.9，經(jīng)過(guò)3次射擊，至少有一次中靶的對(duì)立事件是三次未擊中目標(biāo)，．故答案為：0.999．14．一條河寬為，一艘船從岸邊的某處出發(fā)向?qū)Π逗叫校乃俣鹊拇笮?，水流速度的大小為，則當(dāng)航程最短時(shí)，這艘船行駛完全程所需要的時(shí)間為．【答案】3【分析】首先利用向量的模求出合速度，進(jìn)一步利用求出結(jié)果．【詳解】如圖所示：

所以故．故答案為：3．15．在正方形中，，P為邊的中點(diǎn)，Q為邊的中點(diǎn)，M為邊（包括端點(diǎn)）上的動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍是．【答案】【分析】建立直角坐標(biāo)系，利用數(shù)量積的坐標(biāo)計(jì)算公式，結(jié)合一次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】

如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD所在直線分別為x，y軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，則，所以，所以.故答案為：.三、解答題16．已知，i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)與互為共軛復(fù)數(shù)．(1)求a，b的值，并指出復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在的象限；(2)計(jì)算，，；(3)當(dāng)實(shí)數(shù)取什么值時(shí)，復(fù)數(shù)是下列數(shù)？①實(shí)數(shù)；②虛數(shù)；③純虛數(shù)．【答案】(1)，，第四象限；(2)，，(3)①；②；③.【分析】（1）直接由共軛復(fù)數(shù)的概念求a與b的值，再求出對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)得答案；（2）直接利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算得答案；（3），再由復(fù)數(shù)的基本概念求解①②③中的值．【詳解】（1）因?yàn)榕c互為共軛復(fù)數(shù)，所以，．所以，．所以復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限．（2），，．（3）.

①當(dāng)，即時(shí)，復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)．

②當(dāng)，即時(shí)，復(fù)數(shù)是虛數(shù)．

③當(dāng)，且，即時(shí)，復(fù)數(shù)是純虛數(shù)．17．在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)．(1)求的值；(2)設(shè)點(diǎn)M是坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，且四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；(3)若點(diǎn)N是直線上的動(dòng)點(diǎn)，求的最小值．【答案】(1)(2)(3)-2【分析】（1）由向量的坐標(biāo)表示求模長(zhǎng)即可；（2）由平行四邊形的幾何性質(zhì)，結(jié)合向量共線的充要條件計(jì)算即可；（2）由直線PO的方程設(shè)N坐標(biāo)，根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)表示計(jì)算求最值即可.【詳解】（1）由題意可知；（2）如圖所示，因?yàn)樗倪呅问瞧叫兴倪呅危视?，設(shè)，即，解之得；

（3）易知直線OP為，不妨設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，取得最小值-2.

18．袋子中有5個(gè)大小質(zhì)地完全相同的球，其中紅球3個(gè)，白球2個(gè)．(1)從中有放回地依次隨機(jī)摸出2個(gè)球，求第一次摸到白球的概率；(2)從中無(wú)放回地依次隨機(jī)摸出2個(gè)球，求第二次摸到白球的概率；(3)若同時(shí)隨機(jī)摸出2個(gè)球，求至少摸到一個(gè)白球的概率．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）利用有放回的抽取求出基本事件總數(shù)，事件A包含的基本事件數(shù)，再利用古典概型的概率計(jì)算公式求解即可．（2）利用無(wú)放回的抽取求出基本事件總數(shù)，事件B包含的基本事件數(shù)，再利用古典概型的概率計(jì)算公式求解即可．（3）求出一次抽取2個(gè)球的基本事件總數(shù)，事件C包含的基本事件數(shù)，再利用古典概型的概率計(jì)算公式求解即可．【詳解】（1）記三個(gè)紅球編號(hào)為1，2，3，兩個(gè)白球分別為4，5，則在有放回情況下，第一次摸球時(shí)有5種等可能的結(jié)果，對(duì)應(yīng)第一次摸球的每個(gè)可能結(jié)果，第二次摸球時(shí)都有5種等可能的結(jié)果．將兩次摸球的結(jié)果配對(duì)，組成25種等可能的結(jié)果.如表1所示．表1第二次第一次1234512345第一次摸到白球的可能結(jié)果有10種，見表中后兩行．

記“第一次摸到白球”，則．（2）在無(wú)放回情況下，第一次摸球時(shí)有5種等可能的結(jié)果，對(duì)應(yīng)第一次摸球的每個(gè)可能結(jié)果，第二次摸球時(shí)都有4種等可能的結(jié)果．將兩次摸球的結(jié)果配對(duì)，組成20種等可能的結(jié)果，如表2所示．表2第二次第一次123451×2×3×4×5×第二次摸到白球的可能結(jié)果有8種，見表中后兩列.

記“第二次摸到白球”，則．（3）“同時(shí)摸出兩個(gè)球”的基本事件有，共10件，其中至少摸到一個(gè)白球的基本事件有，共7件，記“至少摸到一個(gè)白球”，則.19．已知的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，向量與垂直．(1)求A的大??；(2)若，求的面積．【答案】(1)(2)【分析】（1）運(yùn)用向量垂直的條件：數(shù)量積為0，結(jié)合正弦定理和同角的商數(shù)關(guān)系，可得所求角；（2）運(yùn)用余弦定理求得c，再由三角形的面積公式計(jì)算即可得到所求值．【詳解】（1）因?yàn)?，所以，即．由正弦定理得．因?yàn)?，所以，所以，所以．因?yàn)?，所以．?）由余弦定理，得，

所以，

解得，或（舍）．

所以的面積．20．在中，角的對(duì)邊分別為.(1)求的大小；(2)再?gòu)臈l件①?條件②?條件③這三個(gè)條件選擇一個(gè)作為已知，使得存在且唯一確定，求邊上高線的長(zhǎng).條件①：；條件②：；條件③：.注：如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解答給分.【答案】(1).(2)條件①：；條件③：.【分析】（1）利用正弦定理，邊化角，再利用三角恒等變換求解即可.（2）根據(jù)三角形全等條件可知①③滿足條件，條件②由余弦定理可得有兩解，不滿足條件，條件①：根據(jù)，結(jié)合等面積求解即可；條件③：利用余弦定理結(jié)合等面積求解即可.【詳解】（1）在中因?yàn)?，由正弦定理得，所以，即，又因?yàn)椋?，所以?（2）設(shè)邊上的高為，條件①：因?yàn)?，所以，，所以，根?jù)三角形全等（角角邊）可知存在且唯一確定.所以，則，解得，即邊上的高為.條件②：由余弦定理得，即，解得，此時(shí)滿足條件的的三角形有兩個(gè)，條件②不符合題意.條件③：根據(jù)三角形全等（邊角邊）可得存在且唯一確定，由余弦定理得，即，解得，則，解得，即邊上的高為.21．若函數(shù)，則稱向量為函數(shù)的特征向量，函數(shù)為向量的特征函數(shù)．(1)若函數(shù)，求的特征向量；(2)若向量的特征函數(shù)為，求當(dāng)，且時(shí)的值；(3)已知點(diǎn)，設(shè)向量的特征函數(shù)為，函數(shù)．在函數(shù)的圖象上是否存在點(diǎn)Q，使得？如果存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)(3)不存在理由見解析【分析】（1）由三角函數(shù)的和差公式可得，再結(jié)合特征向量的定義，即可得出答案．（2）由特征向量的定義可得，代入解得，再計(jì)算，最后利用兩角和差公式即可得出答案．（3）由特征向量的定義可得，三角函數(shù)倍角公式可得，若函數(shù)的圖象上是否存在點(diǎn)Q，使得；再計(jì)算其數(shù)量積可得，再利用整體法結(jié)合余弦型函數(shù)的值域即可判斷．【詳解】（1）因?yàn)椋?/p>

所以函數(shù)的特征向量.（2