第三節(jié)等比數(shù)列第六章內(nèi)容索引0102強(qiáng)基礎(chǔ)固本增分研考點(diǎn)精準(zhǔn)突破課標(biāo)解讀1.理解等比數(shù)列的概念.2.掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式.3.能在具體的問題情境中識(shí)別數(shù)列的等比關(guān)系,并能用等比數(shù)列的有關(guān)知識(shí)解決相應(yīng)的問題.強(qiáng)基礎(chǔ)固本增分1.等比數(shù)列的概念一般地,如果數(shù)列{an}從第

2

項(xiàng)起,每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)之比都等于

同一個(gè)常數(shù)

q,即,q≠0恒成立,則稱數(shù)列{an}為等比數(shù)列,其中

q

稱為等比數(shù)列的公比.

2.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其推廣若等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1,公比為q,則其通項(xiàng)公式為an=

a1qn-1

,該式可推廣為an=amqn-m,其中n,m∈N*.

3.等比數(shù)列的單調(diào)性等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1,公比為q.(1)當(dāng)q>1,

a1>0

或0<q<1,

a1<0

時(shí),數(shù)列為遞增數(shù)列;

(2)當(dāng)q>1,

a1<0

或0<q<1,

a1>0

時(shí),數(shù)列為遞減數(shù)列;

(3)當(dāng)q=1時(shí),數(shù)列為

常數(shù)列

;

(4)當(dāng)q<0時(shí),數(shù)列為

擺動(dòng)數(shù)列

.

4.等比中項(xiàng)定義如果x,G,y是等比數(shù)列,那么稱

G

為x與y的等比中項(xiàng)

關(guān)系式

結(jié)論在一個(gè)等比數(shù)列中,中間每一項(xiàng)都是它的前一項(xiàng)與后一項(xiàng)的

等比中項(xiàng)

微點(diǎn)撥1.等比數(shù)列的任意一項(xiàng)都不能為零,公比不能為零.這是數(shù)列是否為等比數(shù)列的一個(gè)重要前提2.在等比數(shù)列中,從第二項(xiàng)起,每一項(xiàng)都是它前一項(xiàng)與后一項(xiàng)的等比中項(xiàng),即an+1an-1=(n∈N*,n≥2).3.并非任何兩個(gè)實(shí)數(shù)都有等比中項(xiàng),只有同號(hào)的兩個(gè)實(shí)數(shù)才有等比中項(xiàng),且等比中項(xiàng)一定有兩個(gè),它們互為相反數(shù).微點(diǎn)撥

在運(yùn)用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式時(shí),必須注意對(duì)q=1和q≠1分類討論,防止因忽略q=1這一特殊情況而導(dǎo)致解答錯(cuò)誤.5.等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式首項(xiàng)為a1,公比為q的等比數(shù)列的前n項(xiàng)和6.等比數(shù)列的性質(zhì)(1)通項(xiàng)公式的推廣:an=amqn-m(n,m∈N*).(2)若數(shù)列{an}為等比數(shù)列,且m+n=p+q,則aman=apaq(m,n,p,q∈N*).特別地,若m+n=2t,則aman=(m,n,t∈N*).(3)若數(shù)列{an}是等比數(shù)列,公比為q,則ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N*)是公比為qm的等比數(shù)列.(4)若等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,那么(S2n-Sn)2=Sn(S3n-S2n),特別地,如果公比q≠-1或雖q=-1但n為奇數(shù)時(shí),Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成等比數(shù)列.

不能認(rèn)為在任何等比數(shù)列中,都有Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成等比數(shù)列(5)當(dāng)?shù)缺葦?shù)列{an}的項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)時(shí),偶數(shù)項(xiàng)和與奇數(shù)項(xiàng)和之比等于公比q,

4.若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且Sn=kan+b(k≠0,k≠1),則數(shù)列{an}必為等比數(shù)列.自主診斷題組一

思考辨析(判斷下列結(jié)論是否正確,正確的畫“√”,錯(cuò)誤的畫“×”)1.常數(shù)列既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列.(

)2.在等比數(shù)列{an}中,a2與a6的等比中項(xiàng)為±a4.(

)3.在等比數(shù)列{an}中,若aman=apaq,則m+n=p+q.(

)4.若等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,那么Sn,S2n-Sn,S3n-S2n也成等比數(shù)列.(

)×√××題組二

雙基自測6.如果一個(gè)等比數(shù)列前5項(xiàng)的和等于10,前10項(xiàng)的和等于50,那么這個(gè)數(shù)列的公比等于多少?研考點(diǎn)精準(zhǔn)突破考點(diǎn)一等比數(shù)列基本量的運(yùn)算題組(1)(2023·湖北武漢高三月考)設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若2S3=3a2+8a1,S8=2S7+2,則a2=(

)A.4 B.3 C.2 D.1(2)(多選)(2023·湖南郴州高三月考)在公比q為整數(shù)的等比數(shù)列{an}中,Sn是其前n項(xiàng)和,若a1+a4=18,a2+a3=12,則下列說法正確的是(

)A.q=2B.數(shù)列{Sn+2}是等比數(shù)列C.S8=510D.數(shù)列{lgan}是公差為2的等差數(shù)列答案

(1)A

(2)ABC規(guī)律方法

解決等比數(shù)列基本量運(yùn)算的思想方法(1)方程思想:等比數(shù)列的基本量為首項(xiàng)a1和公比q,通常利用已知條件及通項(xiàng)公式或前n項(xiàng)和公式列方程(組)求解,等比數(shù)列中包含a1,q,n,an,Sn五個(gè)量,可“知三求二”.(2)整體思想:當(dāng)所給條件只有一個(gè)時(shí),可將已知和所求都用a1,q表示,尋求兩者間的聯(lián)系,整體代換即可求解.(3)分類討論思想:若題目中公比q未知,則運(yùn)用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式時(shí)要對(duì)q分q=1和q≠1兩種情況進(jìn)行討論.考點(diǎn)二等比數(shù)列的判斷與證明例題(2023·安徽安慶高三月考)已知數(shù)列{an}和{bn}滿足:a1=λ,an+1=an+n-4,bn=(-1)n(an-3n+21),其中n∈N*,λ為實(shí)數(shù).(1)對(duì)于任意實(shí)數(shù)λ,證明:數(shù)列{an}不是等比數(shù)列;(2)試判斷數(shù)列{bn}是否為等比數(shù)列,并證明你的結(jié)論.規(guī)律方法

對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練(2023·江西贛州高三月考)已知數(shù)列{an}滿足an+1+an=2n,且a1=1,bn=an-×2n.(1)求證:數(shù)列{bn}是等比數(shù)列;(2)求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn.考點(diǎn)三等比數(shù)列的性質(zhì)及綜合應(yīng)用(多考向探究預(yù)測)考向1等比數(shù)列的性質(zhì)題組(1)(2023·江西南昌高三期中)已知數(shù)列{an}是公比不等于±1的等比數(shù)列,若數(shù)列{an},{(-1)nan},{}的前2023項(xiàng)的和分別為m,8-m,20,則實(shí)數(shù)m的值(

)A.只有1個(gè) B.有2個(gè)C.無法確定 D.不存在(2)(2021·全國甲,文9)記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.若S2=4,S4=6,則S6=(

)A.7 B.8 C.9 D.10答案

(1)B

(2)A(2)(方法1)設(shè)等比數(shù)列的公比為q,由題意知q≠-1.根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)可知,S2,S4-S2,S6-S4成等比數(shù)列,即(S4-S2)2=S2(S6-S4),∵S2=4,S4=6,∴(6-4)2=4(S6-6),解得S6=7.故選A.引申探究1(變條件變結(jié)論)在本題組(2)中,若將條件改為“記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,若S2=4,S6=7”,則S4的值等于

.

答案

6解析

設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,由題意知q≠-1,則由等比數(shù)列的性質(zhì)知,S2,S4-S2,S6-S4構(gòu)成公比為q2的等比數(shù)列,因此(S4-4)2=4(7-S4),解得S4=6或S4=-2.當(dāng)S4=-2時(shí),數(shù)列S2,S4-S2,S6-S4即為4,-6,9,其公比為q2=-,不合題意,舍去;經(jīng)檢驗(yàn)S4=6符合題意,故S4=6.引申探究2(變條件)在本題組(2)中,若條件改為“記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,若S3=4,S9=7”,則S6的值等于

.

答案

6或-2解析

設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,由題意知q≠-1,則由等比數(shù)列的性質(zhì)知,S3,S6-S3,S9-S6構(gòu)成公比為q3的等比數(shù)列,因此(S6-4)2=4(7-S6),解得S6=6或S6=-2.當(dāng)S6=6或S6=-2時(shí),數(shù)列S3,S6-S3,S9-S6即為4,2,1或4,-6,9,其公比為q3=或q3=-,均符合題意,故S6的值等于6或-2.規(guī)律方法

等比數(shù)列性質(zhì)應(yīng)用易錯(cuò)警示(1)在等比數(shù)列中,所有奇數(shù)項(xiàng)的符號(hào)相同,所有偶數(shù)項(xiàng)的符號(hào)也相同,在運(yùn)用等比數(shù)列性質(zhì)求某一項(xiàng)的值時(shí),注意根據(jù)這一性質(zhì)進(jìn)行判斷取舍;(2)公比不為-1的等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì):Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…也構(gòu)成等比數(shù)列,且公比為qn,若n為偶數(shù),則等比數(shù)列Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…的公比qn>0,注意根據(jù)這一隱含條件對(duì)所得結(jié)果進(jìn)行分析判斷并取舍.考向2等比數(shù)列與等差數(shù)列的綜合問題例題(2023·湖南長沙高三月考)已知集合A={x|x=2k1,k1∈N*},B={x|x=,k2∈N*},將A∪B中所有元素按從小到大的順序排列構(gòu)成數(shù)列{an},設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若am=27,則m的值等于

,S50的值為

.

答案

16

2282解析

因?yàn)閍m=27,所以{an}的前m項(xiàng)中含有A中的元素為2,4,6,…,26,共有13項(xiàng),含有B中的元素為3,9,27,共有3項(xiàng),所以m=16.因?yàn)?×50=100,34=81<100,35=243>100,所以{an}的前50項(xiàng)中含有B中的元素為3,9,27,81共有4項(xiàng),含有A中的元素為2×1,2