優(yōu)化設計方法第一節(jié)概述一、優(yōu)化設計的定義優(yōu)化設計（optimaldecision）就是借助最優(yōu)化數(shù)值計算方法和計算機技術求取工程問題的最優(yōu)化設計方案。顯然這是一種用數(shù)學方法解決設計問題的設計方法。優(yōu)化設計是保證產(chǎn)品具有優(yōu)良的性能，減輕自重或體積，降低工程造價的一種有效設計方法，它可以使設計者從大量煩瑣和重復的計算工作中解脫出來，使之有更多的精力從事創(chuàng)造性的設計，大大提高設計效率。主要應用于舊產(chǎn)品的改造和新產(chǎn)品的開發(fā)，現(xiàn)在它以規(guī)劃論為核心，以高速的電子計算機為工具的重要的現(xiàn)代技術，從單變量或多變量的單目標向多變量多目標的優(yōu)化方向發(fā)展。在這里所謂最適當?shù)姆桨妇褪钦f使某個指標達到最佳值的方案，諸如：成本最低、用料最省、重量最輕、強度最高、質量最好等等。二、優(yōu)化設計的一般過程優(yōu)化設計的一般過程如圖2-1所示。其中最重要的是建立所要解決問題的數(shù)學模型，即確定設計變量、目標函數(shù)及約束條件。它們的建立需要具備各個方面的專業(yè)技術知識，從系統(tǒng)工程的角度出發(fā)，抓住問題的關鍵。選擇優(yōu)化方法進行解算的基本原則是計算工作量小，省時；所需存貯量要??；計算精度高，數(shù)值穩(wěn)定性好；邏輯結構簡單；滿足約束條件多。數(shù)學模型選擇優(yōu)化方法確定初始設計點編計算程序計算機求解分析計算結果第二節(jié)優(yōu)化設計的數(shù)學模型優(yōu)化設計的數(shù)學模型是實際設計問題的數(shù)學抽象。在建立模型時，首先要明確設計變量、約束條件、目標函數(shù)。1、設計變量一個設計方案可以用一組基本參數(shù)的數(shù)值來表示。這些基本參數(shù)可以是構件長度、截面尺寸、某些點的坐標值等幾何量，也可以是重量、慣性矩、力或力矩等物理量，還可以是應力、變形、固有頻率、效率等代表工作性能的導出量。對某個具體的優(yōu)化設計問題，并不是要求對所有的基本參數(shù)都用優(yōu)化方法進行修改調整。例如，對某個機械結構進行優(yōu)化設計，一些工藝、結構布置等方面的參數(shù)，或者某些工作性能的參數(shù)，可以根據(jù)已有的經(jīng)驗預先取為定值。對這個設計方案來說，它們就成為設計常數(shù)。而除此之外的基本參數(shù)，則需要在優(yōu)化設計過程中不斷進行修改、調整，一直處于變化的狀態(tài)，這些基本參數(shù)稱做設計變量。

設計變量就是不包含設計常量的基本參數(shù)。設計變量的全體實際上是一組變量，可用一個列向量表示稱做設計變量向量。向量中分量的次序完全是任意的，可以根據(jù)使用的方便任意選取。一旦規(guī)定了這樣一種向量的組成，則其中任意一個特定的向量都可以說是一個“設計”。由n個設計變量為坐標所組成的實空間稱做設計空間。一個“設計”，可用設計空間中的一點表示，此點可看成是設計變量向量的端點(始點取在坐標原點)，稱做設計點。2、約束條件設計空間是所有設計方案的集合，但這些設計方案有些是工程上所不能接受的(例如面積取負值等)。如果一個設計滿足所有對它提出的要求，就稱為可行(或可接受)設計，反之則稱為不可行(或不可接受)設計。一個可行設計必須滿足某些設計限制條件，這些限制條件稱做約束條件，簡稱約束。設計某些結構必須滿足受力的強度、剛度或穩(wěn)定性等要求，桁架某點變形不超過給定值。桁架的高在其上下限范圍之間等。約束又可按其數(shù)學表達形式分成等式約束和不等式約束兩種類型。等式約束要求設計點同時在n維設計空間的l個約束曲面上。不等式約束要求設計點在設計空間中約束曲面gj(x)=0的一側(包括曲面本身)。所以，約束是對設計點在設計空間中的活動范圍所加的限制。凡滿足所有約束條件的設計點，它在設計空間中的活動范圍稱做可行域。如滿足不等式約束的設計點活動范圍，它是由m個約束曲面所形成的n維子空間(包括邊界)。約束函數(shù)有的可以表示成顯式形式，即反映設計變量之間明顯的函數(shù)關系，這類約束稱做顯式約束。有的只能表示成隱式形式，這類約束稱做隱式約束。3、目標函數(shù)在所有的可行設計中，有些設計比另一些要“好些”，如果確實是這樣，則“較好”的設計比“較差”的設計必定具備某些更好的性質。倘若這種性質可以表示成設計變量的一個可計算函數(shù)，則我們就可以考慮優(yōu)化這個函數(shù)，以得到“更好”的設計。這個用來使設計得以優(yōu)化的函數(shù)稱做目標函數(shù)。用它可以評價設計方案的好壞，所以它又被稱做評價函數(shù)，記作，用以強調它對設計變量的依賴性。目標函數(shù)可以是結構重量、體積、功耗、產(chǎn)量、成本或其它性能指標(如變形、應力等)和經(jīng)濟指標等。建立目標函數(shù)是整個優(yōu)化設計過程中比較重要的問題。當對某一設計性能有特定的要求，而這個要求又很難滿足時，則若針對這一性能進行優(yōu)化將會取得滿意的效果。但在某些設計問題中，可能存在兩個或兩個以上需要優(yōu)化的指標，這將是多目標函數(shù)的問題。例如，設計一臺機器，期望得到最低的造價和最少的維修費用。目標函數(shù)是n維設計變量的函數(shù)，它的函數(shù)圖像只能在n+1維空間中描述出來。為了在n維設計空間中反映目標函數(shù)的變化情況，常采用目標函數(shù)等值線（面）的方法。目標函數(shù)的等值線（面）的數(shù)學表達式為

(c為一系列常數(shù))，代表一族n維超曲面。如在二維設計空間中代表x1,x2設計平面上的一族曲線。4、優(yōu)化設計的數(shù)學模型在明確設計變量、約束條件、目標函數(shù)之后，優(yōu)化設計問題就可以表示成一般數(shù)學形式。求設計變量向量使且滿足約束條件的優(yōu)化設計數(shù)學模型為在實際優(yōu)化問題中，對目標函數(shù)一般有兩種要求形式：目標函數(shù)極小化或目標函數(shù)極大化。由于求的極大化與求的極小化等價，所以今后優(yōu)化問題的數(shù)學表達一律采用目標函數(shù)極小化形式。5、優(yōu)化設計的數(shù)學模型實例----壓桿的優(yōu)化設計

一、優(yōu)化問題的數(shù)值迭代法1、數(shù)值迭代法的基本思路數(shù)值迭代法的基本思想是搜索、迭代和逼近。如圖2-4所示。在迭代過程中始終按照如下公式進行：式中：為第k次迭代的搜索方向，為第k次迭代的步長因子，為第k次迭代的初始點，為第k次迭代的結果。第三節(jié)

一維搜索方法2、數(shù)值計算迭代法的終止準則準則1準則2

準則3

為收斂精度，是事先給定的很小的正數(shù)。若在點滿足準則，則二、一維搜索的最優(yōu)化方法

求解一維目標函數(shù)的極小點和極小值的數(shù)值迭代方法稱為一維搜索方法。機械優(yōu)化設計大都是多維問題，一維問題的情況很少。但是一維優(yōu)化方法是優(yōu)化方法中最基本的方法。它不僅用來解決一維目標函數(shù)的求優(yōu)問題，而且更常用于多維優(yōu)化問題中在既定方向上尋求最優(yōu)步長的一維搜索。1、確定搜索區(qū)間的外推法在一維搜索時，我們假設函數(shù)具有如圖所示的單谷性。即在所考慮的區(qū)間內部，函數(shù)有唯一的極小點。確定極小點存在的區(qū)間－－搜索區(qū)間的方法可分為正向搜索和反向搜索兩種。2、區(qū)間消去法原理設單谷區(qū)間為[a，b]，x*為所求的函數(shù)的最小點。在區(qū)間[a，b]內任取兩點a1與b1，且a1<b1

，計算函數(shù)f（a1）與f（b1），將f（a1）和f（b1）的值進行比較，這時可能出現(xiàn)三種情況：a)f(a1)<f(b1)(b)f(a1)>f(b1)(c)f(a1)=f(b1)1）f（a1）<f（b1）最小點必然在區(qū)間[a，b1]內,可丟掉區(qū)間[b1,b]。

2）f（a1）>f（b1）最小點必然在區(qū)間[a1，b]內,可丟掉區(qū)間[a,a1]。

3）f（a1）=f（b1）最小點必然在區(qū)間[a1，b

1]內,可同時丟掉區(qū)間[a,a1]、[b1,b]?；騼刹糠种?。3、黃金分割法（0.618法）

0.618，生活美的分割點

0.618不僅是一個科學的數(shù)字，其精確值可表示為：

古希臘的哲學家和數(shù)學家畢達哥拉斯將這個值譽為最美的、最妙的比例，由于所具有極大的審美價值和實用價值，故又被稱為黃金分割。在自然界和我們的日常生活中，這個美的數(shù)字例子隨處可見。當氣溫為23°C度時，你的身心會感到最舒服，這時的氣溫與體溫（37°C度）之比為0.618。最優(yōu)美的身段，是身體下肢長度與整個身長之比為0.618，這時你更會為人體形態(tài)的奇妙魅力所吸引，如愛神維納斯，雅典娜女神、“海姑娘”阿曼達等都具有這種美的身段。最和諧悅目的矩形，如書籍、衣服、門窗等，其短邊與長邊之比是0.618,你會因比例協(xié)調而賞心悅目。世界最高建筑多倫多電視塔，其樓閣之上與樓閣之下的長度比是0.618。著名的埃菲爾鐵塔，其第二層之下與第二層之上之比也是0.618。報幕員所站的最佳位置，不是舞臺最中間，而是舞臺寬度的0.618處；二胡要獲得最佳的音色，其“千斤”則須放在琴弦長度的0.618處。1）黃金分割法的計算方法（1）取點原則對稱性原則保留性原則（2）

值的計算黃金分割點在線段的0.618處，這也是0.618法的由來。

2)黃金分割法的迭代步驟（1）給出初始搜索區(qū)間[a，b]及收斂精度ε

，將

賦以0.618。（2）按式(2-21)計算，并計算其對應的函數(shù)值。（3）根據(jù)區(qū)間消去法原理縮短搜索區(qū)間。（4）檢查區(qū)間是否縮短到足夠小和函數(shù)值收斂到足夠近，如果條件不滿足則返回到步驟(2)。（5）如果條件滿足，則取最后兩試驗點的平均值作為極小點的數(shù)值近似解。

從以上取點過程可以看出，第一個點取在區(qū)間的0.618處，第二個點在其對稱位置，能保證無論經(jīng)多少次取舍，保留的點始終在新區(qū)的0.618處，要進一步縮短區(qū)間，在其保留點的對稱位置，再作一次計算就可以了，而且每次消去時，區(qū)間縮短率E不變,E=

=0.618，按照這樣的取點原則，為了使最終區(qū)間收縮到預定的迭代精度ε以內，區(qū)間縮短的次數(shù)N必須滿足：4、二次插值法它應滿足條件求得解上述方程組得：

二次插值法又叫拋物線法，它是利用函數(shù)y=f(

)在單谷區(qū)間中的三點作出如下二次函數(shù)。多項式的極值點可從極值的必要條件求得：令得第四節(jié)無約束優(yōu)化方法一、無約束優(yōu)化問題的求解方法及其分類有些優(yōu)化設計問題，其數(shù)學模型本身就是一個無約束優(yōu)化問題，同時對于約束優(yōu)化問題的求解可以通過一系列無約束優(yōu)化方法來達到。所以無約束優(yōu)化問題的解法是優(yōu)化設計方法的基本組成部分，也是優(yōu)化方法的基礎。無約束優(yōu)化問題的解法有直接解法和間接解法兩類1、無約束優(yōu)化問題的間接解法對無約束優(yōu)化數(shù)學模型：

根據(jù)極值存在的必要條件，在極值點處，，所以可得如下非線性方程組：解上述方程組式可得。但此類問題的求解相當困難，特別是遇到高階非線性方程組時，會產(chǎn)生大量的增根，要排除增根及獲得解并非易事。2、無約束優(yōu)化問題的間接解法直接解法依據(jù)的迭代公式為：此類算法的核心就在于確定一個恰當?shù)乃阉鞣较?，各種無約束優(yōu)化方法的區(qū)別就在于確定其搜索方向方法的不同，每一種確定方向的方法就派生出一類無約束優(yōu)化問題的解法。二、最速下降法最速下降法又叫梯度法由高等數(shù)學可知：負梯度方向，即為函數(shù)值下降最快的方向，梯度法就是取負梯度方向作為搜索方向的一種方法。

為了使目標函數(shù)沿搜索方向能獲得最大的下降值，其步長因子應取一維搜索的最佳步長。即：根據(jù)一元函數(shù)極值的必要條件及多元復合函數(shù)求導公式，有即由此可知，相鄰兩個搜索方向互相垂直。也就是說在最速下降法中，迭代過程呈直角鋸齒形，路線曲折，圖可以看到，在遠離極小點的位置，每次這代可使函數(shù)值有較多的下降?？墒窃诮咏鼧O小點的位置，由于鋸齒現(xiàn)象使每次選代行進的距離縮短，因而收斂速度減慢。這種情況似乎與“最速下降”的名稱相矛盾，其實不然，這是因為梯度是函數(shù)的局部性質。從局部上看，在一點附近函數(shù)的下降是最快的，但從整體上看則走了許多彎路，因此函數(shù)的下降并不算快，搜索效率并不高。最速下降法特點優(yōu)點：程序簡單，每次迭代所需計算量少，所需存儲量也小,初始點可任意選擇,便于初學者掌握，梯度法在最初幾步搜索時，向最優(yōu)點逼近是很快的。缺點：收斂速度慢是他的嚴重缺點，雖然它在最初幾步向最優(yōu)點逼近是很快的，但因為它是成直角鋸齒形路線進行搜索的例題求目標函數(shù)f(x)=x12+25x22

的極小點。解取初始點x0=[2,2]T,

則f(x0)=104顯然

不是函數(shù)的極小點。仍需繼續(xù)迭代，第二輪迭代以

為初點，按公式（2-28）可得，依此類推，經(jīng)過10輪迭代，得三、牛頓型方法1、牛頓型方法的基本思想對于一元函數(shù)，在處進行泰勒展開，保留到二次項，有：

對于多元函數(shù)f(x)，在xk點處進行泰勒展開，保留到二次項，有：

設xk+1為

(x)的極小點，它作為f(x)極小點x*的下一個近似點，根據(jù)極值存在的必要條件這就是多元函數(shù)求極值的牛頓法迭代公式。例題用牛頓法求目標函數(shù)f(x)=x12+25x22

的極小點。解取初始點x0=[2,2]T,則初始點處的函數(shù)梯度、海賽矩陣及其逆陣分別為：

由此可以看出：牛頓法求目標函數(shù)f(x)=x12+25x22

的極小點，經(jīng)一次迭代就已經(jīng)求得目標函數(shù)的極小點。三、二次收斂性。若某種優(yōu)化方法對二次型函數(shù)在有限次迭代內能達到目標函數(shù)的極小點，則稱此迭代方法具有二次收斂性。顯然，牛頓型方法具有二次收斂性。2、阻尼牛頓法。由于牛頓法迭代點是按極值條件決定的，其中沒有包含下降方向搜索的概念。因此對于非二次函數(shù)，牛頓法有時會使函數(shù)值上升，即f(xk+1)>f(xk),為此，需對上述牛頓法進行改進，引入搜索方向的概念，即：阻尼牛頓法。

其中dk為牛頓方向,

k為沿牛頓方向進行一維搜索的最佳步長，又稱為阻尼因子?？赏ㄟ^如下極小化過程求得。這樣就能保證f(xk+1)<

f(xk)。牛頓法型方法的特點優(yōu)點：牛頓型方法具有二次收斂性，收斂速度比最速下降法快。缺點：要計算目標函數(shù)的二階偏導矩陣及其逆矩陣，計算工作量大、所需存儲量也大。四、共軛方向及共軛方向法1、共軛方向的基本概念

共軛方向是在研究二次函數(shù)：

時引出的，首先研究以二次函數(shù)為目標的有關算法，然后再把它推廣到一般的目標函數(shù)中去。首先考慮二維問題，如圖：

如果按最速下降法，將產(chǎn)生鋸齒現(xiàn)象，為了避免鋸齒現(xiàn)象，設下一次迭代方向d1指向極小點，那么對于二元二次函數(shù)，只需要順序沿d0、d1兩次搜索就可以求得極小點。那么這樣的方向應該滿足什么條件呢？

上式兩邊左乘以（d0）T，并注意

1不等于0

這就是d1應滿足的條件，滿足上式的兩個向量稱為G的共軛向量，或稱d0和d1對G是共軛向量2、共軛方向的性質

定義設G為n

n對稱正定矩陣，若n維空間中有m個非0向量d0，d1，…，

dm-1滿足

(di)

T

Gdj

=0(i,j=0,1,2,…,m-1)(i

j)這稱d0，d1，…，

dm-1對G共軛，或稱它們是G的共軛方向。當G

=I(單位向量)時，有

(di)

T

dj

=0(i

j)即向量d0，d1，…，

dm-1相互正交。因此，共軛是正交的推廣，正交是共軛的特例。

性質1

若非零向量d0，d1，…，

dm-1是對G共軛的，則這m個向量是線性無關的。

性質2

在n維空間中相互共軛的非零向量的個數(shù)不超過n。

性質3

從任意初始點x0出發(fā)，依次沿d0，d1，…，

dm-1方向進行一維最優(yōu)搜索,最多經(jīng)過n次迭代就可以找到二次函數(shù)的極小點，此性質表明共軛方向法具有二次收斂性。3、共軛梯度法共軛方向法正是建立在共軛方向性質3的基礎上的。提供共軛向量系的方法有許多種，從而形成各種具體的共軛方向法，如共軛梯度法，鮑威爾法等。下面僅討論共軛梯度法，我們首先來研究共軛方向與梯度之間的關系，先考慮二次函數(shù)：若dj和dk對G共軛,則有

這就是共軛方向與梯度之間的關系。此式表明沿方向dk進行一維搜索，其終點xk+1與始點xk的梯度之差gk+1-gk與dk的共軛方向dj正交。共軛梯度法就是利用這個性質做到不必計算矩陣G就能求得共軛方向的。共軛方向的遞推公式為：

第五節(jié)約束優(yōu)化方法一、約束優(yōu)化問題的求解方法及其分類機械優(yōu)化設計中的問題，大多數(shù)屬于約束優(yōu)化問題，其數(shù)學模型為：求解上式問題的方法稱為約束優(yōu)化方法。根據(jù)對約束條件的處理方法不同，約束優(yōu)化方法可以分為直接法和間接法。1、有約束問題的直接法直接解法通常適用于僅含不等式約束的問題，是在m個不等式約束條件所確定的可行域內，選擇一個初始點x

0，然后決定可行搜索方向d

0，且以適當?shù)牟介L

0

，沿d

0方向進行搜索，得到一個使目標函數(shù)值下降的可行的新點x

1，即完成一次迭代。再以新點為起點，重復上述搜索過程，滿足收斂條件后，迭代終止。每次迭代計算均按以下基本迭代格式進行。

x

k+1=x

k+

k

d

k(k=1,2……)

所謂可行搜索方向是指，當設計點沿該方向作微量移動時，目標函數(shù)值將下降，且不會越出可行域。直接法的求解特點（1）整個求解過程在可行域內進行，迭代計算不論何時終止，都可以獲得一個比初始點好的設計點。（2）若目標函數(shù)為凸函數(shù)，可行域為凸集，則可保證獲得全域最優(yōu)解。否則應在可行域內選擇幾個差別較大的初始點分別進行計算，以便從求得的多個局部最優(yōu)解中選得全域最優(yōu)解。（3）要求可行域為有界的非空集，即在有界可行域內存在滿足全部約束條件的點，且目標函數(shù)有定義。2、有約束問題的間接法間接解法有不同的求解策略，其中一種解法的基本思路是將約束優(yōu)化問題中的約束函數(shù)進行特殊的加權處理后，和目標函數(shù)結合起來，構成一個新的目標函數(shù)，即將原約束優(yōu)化問題轉化成為一個或一系列的無約束優(yōu)化問題。再對新的目標函數(shù)進行無約束優(yōu)化計算，從而間接地搜索到原約束問題的最優(yōu)解。

對上述問題進行無約束極小化計算。在求極值的過程中將需要改變加權因子的大小使其逐步逼近約束邊界。從而間接地求得原約束問題的最優(yōu)解。

間接法的特點

1)由于無約束優(yōu)化方法的研究日趨成熟，間接法的計算效率和數(shù)值計算的穩(wěn)定性也都有較大的提高。

2)可以有效地處理具有等式約束的約束優(yōu)化問題。

3)間接解法存在的主要問題是，選取加權因子較為困難。加權因子選取不當，不但影響收斂速度和計算精度，甚至會導致計算失敗。求解約束優(yōu)化設計問題的方法很多，常用的約束直接法有：隨機試驗法、隨機方向法、復合形法、可行方向法、線性逼近法（序列線性規(guī)劃法、割平面法、梯度投影法）、簡約梯度法、廣義簡約梯度法等。常用的約束間接法有：消元法、懲罰函數(shù)法、增廣乘子法、拉格朗日乘子法等。本節(jié)著重介紹屬于直接解法的復合形法、隨機方向法，屬于間接解法的懲罰函數(shù)法。二、復合形法1、復合形法的基本原理它是求解約束優(yōu)化問題的一種重要的直接解法。在可行域內構造一個具有k個頂點的初始復合形。對該復合形各頂點的目標函數(shù)值進行比較，找到目標函數(shù)值最大的頂點(稱最壞點)，然后按一定的法則求出目標函數(shù)值有所下降的可行的新點，并用此點代替最壞點，構成新的復合形，復合形的形狀每改變一次，就向最優(yōu)點移動一步，直至逼近最優(yōu)點。由于復合形的形狀不必保持規(guī)則的圖形，對目標函數(shù)及約束函數(shù)的性狀又無特殊要求，因此該法的適應性較強，在機械優(yōu)化設計中得到廣泛應用。2、初始復合形的形成復合形法是在可行域內直接搜索最優(yōu)點，要求初始復合形在可行域內生成，即復合形的k個頂點必須都是可行點。生成初始復合形的方法有以下幾種：

(1)由設計者決定k個可行點，構成初始復合形。當設計變量較多或約束函數(shù)復雜時，由設計者決定k個可行點常常很困難。只有在設計變量少，約束函數(shù)簡單的情況下，這種方法才被采用。

(2)由設計者選定一個可行點，其余的

(k-1)個可行點用隨機法產(chǎn)生。各頂點按下式計算

xj=a

+rj

(b-a)(j＝1,2,…,k)

式中xj——復合形中的第j個頂點；

a

、b——設計變量的下限和上限；

rj——在(0，1)區(qū)間內的偽隨機數(shù)。

用上式計算得到的(k-1)個隨機點不一定都在可行域內，因此要設法將非可行點移到可行域內。通常采用的方法是，求出已經(jīng)在可行域內的L個頂點的中心xc然后將非可行點向中心點移動，即

若xL+1仍為不可行點，則利用上式，使其繼續(xù)向中心點移動。顯然，只要中心點可行，xL+1

點一定可以移到可行域內。隨機產(chǎn)生的(k-1)個點經(jīng)過這樣的處理后，全部成為可行點，并構成初始復合形。

事實上，只要可行域為凸集，其中心點必為可行點，用上述方法可以成功地在可行域內構成初始復合形。如果可行域為非凸集，如圖所示，中心點不一定在可行域之內，則上述方法可能失敗。此時可以通過改變設計變量的下限和上限值，重新產(chǎn)生各頂點。經(jīng)過多次試算，有可能在可行域內生成初始復合形。3、復合形法的搜索方法在可行域內生成初始復合形后，將采用不同的搜索方法來改變其形狀，使復合形逐步向約束最優(yōu)點趨近。改變復合形形狀的搜索方法主要,，其計算步驟為：

1)計算復合形各頂點的目標函數(shù)值，并比較其大小，求出最好點xI、最壞點xH及次壞點xG，即

2)計算除去最壞點xH外的(k-1)個頂點的中心xC

。

3)由計算機自動生成初始復合形的全部頂點。其方法是首先隨機產(chǎn)生一個可行點，然后按第二種方法產(chǎn)生其余的(k-1)個可行點。這種方法對設計者來說最為簡單，但因初始復合形在可行域內的位置不能控制，可能會給以后的計算帶來困難。

3)從統(tǒng)計的觀點來看，一般情況下，最壞點xH和中心xC

的連線方向為目標函數(shù)下降的方向。為此，以xC

點為中心，將最壞點xH

按一定比例進行反射，有希望找到一個比最壞點xH

好的新點xR

，xR

稱為反射點。

4)判別反射點xR的位置：若xR為可行點，則比較xR和xH兩點的目標函數(shù)值，如果f(xR)<f(xH)，則用xR取代xH，構成新的復合形，完成一次迭代；如果f(xR)≥f(xH)，則將

縮小0.7倍，重新計算新的反射點，若仍不可行，繼續(xù)縮小，f(xR)<f(xH)為止。若xR為非可行點，則將

縮小0.7倍，計算反射點xR

，直至可行為止。然后重復以上步驟，即判別f(xR)和f(xH)的大小，一旦f(xR)<f(xH)，就用xR取代xH完成一次迭代。綜上所述，反射成功的條件是：

除此之外，還可以采用擴張、壓縮、收縮或旋轉等方法來改變復合形形狀。采用改變復合形形狀的方法越多，程序設計越復雜，有可能降低計算效率及可靠性。4、復合形法的計算步驟

1)選擇復合形的頂點數(shù)k，一般取n+1≤k≤2n

，在可行域內構成具有k個頂點的初始復合形。

2)計算復合形各頂點的目標函數(shù)值，比較其大小，找出最好點xL、最壞點xH及次壞點xG。

3)計算除去最壞點xH以外的(k－1)個頂點的中心xC。判別xC

是否可行，若xC

為可行點，則轉步驟4)；若xC

為非可行點，則重新確定設計變量的下限和上限值，即令

a=xL,b=xH然后轉步驟1)，重新構造初始復合形。

4)計算反射點xR

，必要時，改變反射系數(shù)

的值，直至滿足反射成功條件。然后以xR取代xＨ，構成新的復合形。

5)若收斂條件下列收斂條件得到滿足，計算終止。約束最優(yōu)解為：x*=xL

，f(x*)=f(xL)。否則，轉步驟2)。三、隨機方向法1、隨機方向法的基本思路隨機方向法是一種原理簡單的直接解法。在可行域內選擇一個初始點，利用隨機數(shù)的概率特性，產(chǎn)生若干個隨機方向，并從中選擇一個能使目標函數(shù)值下降最快的隨機方向作為可行搜索方向，記作d。從初始點x0出發(fā)，沿d方向以一定的步長進行搜索，得到新點x，新點x應滿足約束條件gi(x)≤0(j＝1,2,…,m),且f(x)<f(x0)，至此完成一次迭代。然后，將起始點移至x，即令x

=x0

。重復以上過程，經(jīng)過若干次迭代計算后，最終取得約束最優(yōu)解。2、初始點的選擇隨機方向法的初始點x0必須是一個可行點，即滿足全部不等式約束條件：gi(x)≤0(j＝1,2,…,m)。當人工選擇可行初始點有困難時，可用隨機選擇的方法來產(chǎn)生。其計算步驟如下：

1)輸入設計變量的下限值和上限值，即：

ai≤(xi)≤bi(i＝1,2,…,n)2)在區(qū)間(0,1)內產(chǎn)生n個偽隨機數(shù)qi(i＝1,2,…,n)。

3)計算隨機點x的各分量

xi=ai+qi

(bi-ai

)(i＝1,2,…,n)4)判別隨機點x是否可行，若隨機點x為可行點，則取初始點x0

＝x

；若隨機點x為非可行點，則轉步驟2)重新計算，直到產(chǎn)生的隨機點是可行點為止。3、可行搜索方向的產(chǎn)生

在隨機方向法中，產(chǎn)生可行搜索方向的方法是從k(k≥n)個隨機方向中，選取一個較好的方向。其計算步驟為：

1)在(-1，1)區(qū)間內產(chǎn)生偽隨機數(shù)rij(i＝1,2,…,n;j＝1,2,…,k),按下式計算隨機單位向量ej

2)取一試驗步長

0，按下式計算k個隨機點

xj=x0+

0ej(j＝1,2,…,k)

顯然，k個隨機點分布在以初始點x0為中心，以試驗步長

0為半徑的超球面上。

3)檢驗k個隨機點xj(j＝1,2,…,k)是否為可行點，除去非可行點，計算余下的可行隨機點的目標函數(shù)值，比較其大小，選出目標函數(shù)值最小的點xL。

4)比較xL

和x0兩點的目標函數(shù)值，若f(xL)<f(x0)，則取xL

和x0的連線方向作為可行搜索方向；若f(xL)≥f(x0)，則將步長

0

縮小，轉步驟1)重新計算，直至f(xL)<f(x0)為止。如果

0縮小到很小，仍然找不到一個xL

，使f(xL)<f(x0)則說明x0

是一個局部極小點，此時可更換初始點，轉步驟1)。綜上所述，產(chǎn)生可行搜索方向的條件可概括為，當xL點滿足4、搜索步長的確定可行搜索方向d確定后，初始點移至xL點，即x0

＝xL

，從x0

點出發(fā)沿d方向進行搜索，所用的步長

一般按加速步長法來確定。所謂加速步長法是指依次迭代的步長按一定的比例遞增的方法。各次迭代的步長按下式計算：

＝

式中

——步長加速系數(shù)，可取

＝1.3；

——步長，初始步長取

=

0

。5、隨機方向法的計算步驟

1)選擇一個可行的初始點x0

；

2)產(chǎn)生k個n維隨機單位向量ej(j＝1,2,…,k)；

3)取試驗步長

0

，計算出k個隨機點xj(j＝1,2,…,k)；

4)在k個隨機點中，找出滿足可行搜索方向條件的點xL，產(chǎn)生可行搜索方向d=xL

－x0；

5)從初始點x0

出發(fā)，沿可行搜索方向d以步長

進行迭代計算，直至搜索到一個滿足全部約束條件，且目標函數(shù)值不再下降的新點x。

6)若下列收斂條件，迭代終止，最優(yōu)解為x*

＝x,f*=f(x*)否則，令x0

＝x轉步驟2)。1、懲罰函數(shù)法的基本原理懲罰函數(shù)法是一種使用很廣泛、很有效的間接解法。它的基本原理是將約束優(yōu)化問題

minf(x)=f(x1,x2,…,xn)

st.gj（x）=gj(x1,x2,…,xn)≤0j=1，2，…m

hk（x）=hk(x1,x2,…,xn)=0k=1，2，…l中的不等式和等式約束函數(shù)經(jīng)過加權轉化后，和原目標函數(shù)結合成新的目標函數(shù)－懲罰函數(shù)四懲罰函數(shù)法求解該新目標函數(shù)的無約束極小值，以期得到原問題的約束最優(yōu)解。稱為加權轉化項。根據(jù)它們在懲罰函數(shù)中的作用，又分別稱為障礙項和懲罰項。障礙項的作用是當?shù)c在可行域內時，在迭代過程中將阻止迭代點越出可行域，懲罰項的作用是當?shù)c在非可行域或不滿足等式約束條件時，在迭代過程中將迫使迭代點逼近約束邊界或等式約束曲面。根據(jù)迭代過程是否在可行域內進行，懲罰函數(shù)法又可分為內點懲罰函數(shù)法，外點懲罰函數(shù)法和混合懲罰函數(shù)法三種。

為此，按一定的法則改變加權因子r1和r2的值，構成一系列的無約束優(yōu)化問題，求得一系列的無約束最優(yōu)解，并不斷地逼近原約束優(yōu)化問題的最優(yōu)解。因此懲罰函數(shù)法又稱序列無約束極小化方法，常稱SUMT法。2、內點懲罰函數(shù)法

1）求解策略內點懲罰函數(shù)法簡稱內點法，該方法將新目標函數(shù)定義于可行域內，序列迭代點在可行域內逐步逼近約束邊界上的最優(yōu)點。內點法只能用來求解具有不等式約束的優(yōu)化問題。對于只具有不等式約束的優(yōu)化問題

minf(x)=f(x1,x2,…,xn)

st.gj（x）=gj(x1,x2,…,xn)≤0j=1，2，…m轉化后的懲罰函數(shù)形式為

式中r－懲罰因子，它是由大到小且趨近于0的數(shù)列，即r0>r1>r2>….0

由于內點法的迭代過程在可行域內進行，障礙項的作用是阻止迭代點越出可行域。由障礙項的函數(shù)形式可知，當?shù)c靠近某一約束邊界時，其值趨近于0，而障礙項的值陡然增加，并趨近于無窮大，好象在可行域的邊界上筑起了一道“圍墻”，使迭代點始終不能越出可行域。顯然，只有當懲罰因子r

0時，才能求得在約束邊界上的最優(yōu)解。內點懲罰函數(shù)的極小點向最優(yōu)點逼近過程如圖2-18所示。

2）有關參數(shù)的確定（1）初始點x0的選取內點法要求，初始點x0應選擇一個離約束邊界較遠的可行點。若x0

太靠近某一約束邊界，由于障礙項的值很大懲罰函數(shù)可能變得畸形，使求解無約束優(yōu)化問題發(fā)生困難。程序設計時，一般都考慮使程序具有人工輸入和計算機自動生成可行初始點的兩種功能，由使用者選用。（2）懲罰因子初值r0的選取懲罰因子的初值r0應適當，否則會影響迭代計算的正常進行。一般來說，r0太大，將增加迭代次數(shù)；r0太小，會使懲罰函數(shù)的性態(tài)變壞，甚至難以收斂到極值點。由于問題函數(shù)的多樣化，使得r0的取值相當困難，目前還無一定的有效方法。對于不同的問題，都要經(jīng)過多次試算，才能決定一個適當?shù)膔0

。以下的方法可作為試算取值的參考。

（a)取r0＝1，根據(jù)試算的結果，再決定增加或減小r0的值。

(b)按經(jīng)驗公式計算r0值。這樣選取的r0

，可以使懲罰函數(shù)中的障礙項和原目標函數(shù)的值大致相等，不會因障礙項的值太大而起支配作用，也不會因障礙項的值太小而被忽略掉。（3）懲罰因子的縮減系數(shù)c的選取

式中的c稱為懲罰因子的縮減系數(shù)，c為小于1的正數(shù)。c值的大小在迭代過程中不起決定性作用，通常的取值范圍在0.1～0.7之間。

前式說明相鄰兩次迭代的懲罰函數(shù)的值相對變化量充分小，后式說明相鄰兩次迭代的無約束極小點已充分接近。滿足收斂條件的無約束極小點x*(rk)已逼近原問題的約束最優(yōu)點，迭代終止。原約束問題的最優(yōu)解為:

x*=x*(rk)，f(x*)=f(x*(rk))（3）收斂條件內點法的收斂條件為

3、外點懲罰函數(shù)法

1）求解策略外點懲罰函數(shù)法簡稱外點法。這種方法和內點法相反，新目標函數(shù)定義在可行域之外，序列迭代點從可行域之外逐漸逼近約束邊界上的最優(yōu)點。外點法可以用來求解含不等式和等式約束的優(yōu)化問題。對于約束優(yōu)化問題：minf(x)=f(x1,x2,…,xn)

st.gj（x）=gj(x1,x2,…,xn)≤0j=1，2，…m

hk（x）=hk(x1,x2,…,xn)=0k=1，2，…l加權轉化后外點懲罰函數(shù)的形式為

式中：r——懲罰因子，它是由小到大，且趨近于

的數(shù)列，即r0<r1<r2<….

——分別為對應于不等式約束和等式約束函數(shù)的懲罰項。

由于外點法的迭代過程在可行域之外進行，懲罰項的作用是迫使迭代點逼近約束邊界或等式約束曲面。由懲罰項的形式可知，當?shù)cx不可行時，懲罰項的值大于0。使得懲罰函數(shù)

(x，r)大于原目標函數(shù)，這可看成是對迭代點不滿足約束條件的一種懲罰。當?shù)c離約束邊界愈遠，懲罰項的值愈大，這種懲罰愈重。但當?shù)c不斷接近約束邊界和等式約束曲面時，懲罰項的值減小，且趨近于0，懲罰項的作用逐漸消失，迭代點也就趨近于約束邊界上的最優(yōu)點了。外點懲罰函數(shù)的極小點向最優(yōu)點逼近過程如圖2-19所示。2）有關參數(shù)的確定（1）初始點x0的選取外點法對初始點x0的選擇沒有特殊要求，內點、外點都可以。（2）懲罰因子初值r0的選取外點法的懲罰因子按下式遞增式中c——遞增系數(shù)，通常取c＝5～10。與內點法相反，懲罰因子的初值r0若取相當大的值。會使

(x，r)的等值線變形或偏心，求

(x，r)的極值將發(fā)生困難，但r0取得過小，勢必增加迭代次數(shù)。許多計算表明，取r0=1，c=10常?？梢匀〉脻M意的結果。有時也按下面的經(jīng)驗公式來計算r0值4、混合懲罰函數(shù)法混合懲罰函數(shù)法簡稱混合法，這種方法是把內點法和外點法結合起來，用來求解同時具有等式約束和不等式約束函數(shù)的優(yōu)化問題。對于約束優(yōu)化問題

minf(x)=f(x1,x2,…,xn)

st.gj（x）=gj(x1,x2,…,xn)≤0j=1，2，…m

hk（x）=hk(x1,x2,…,xn)=0k=1，2，…l轉化后的混合懲罰函數(shù)的形式為

式中——障礙項，懲罰因子r按內點法選取，它是由大到小且趨近于0的數(shù)列，即r0>r1>r2>….0——懲罰項，懲罰因子為1/r0.5，當r0時，1/r0.5

，滿足外點法對懲罰因子的要求。

混合法具有內點法的求解特點，即迭代過程在可行域內進行，因而初始點x0，懲罰因子的初值r0均可參考內點法選取。計算步驟及程序框圖也與內點法相近。例題6－7試求點集A(x1,x2,x3)和點集B(x4,x5,x6)之間的最短距離。限制條件為

由圖可知，點集A(x1,x2,x3)在球面上取點。點集B(x4,x5,x6)在圓柱面上取點。因此該問題就是求這兩個幾何體間的最短距離的約束優(yōu)化問題，其數(shù)學模型為。

解用混合法程序計算時，取x0＝[111315]，r0=1，c=0.2。在計算機上運行，共迭代13次，求得的最優(yōu)解為：

x*=[1.0015-0.00351.9992.0-0.00774.07]T

f(x*)=5.0008

和理論解x*=[102204]，f(x*)=5比較，誤差很小。內點法

外點法1、初始點x0必為嚴格的內點。1、可任選2、只能用于帶有gj(x)的場合。2、可同時存在gj(x)及hk(x)3、在迭代過程中，每一個迭代點都可作為一個設計方案。3、只有最優(yōu)解才能作為設計方案。4、一般收斂較慢。4、一般收斂較快。5、初始罰因子要選擇得當。5、最好得當。6、rk為遞減。6、rk為遞增。7、0<C<17、C>1

5、內點法與外點法的比較第六節(jié)機械優(yōu)化設計實例一、建模技巧1、機械優(yōu)化設計的一般過程機械優(yōu)化設計的全過程一般可分為如下幾個步驟

1)建立優(yōu)化設計的數(shù)學模型。

2)選擇適當?shù)膬?yōu)化方法。

3)編寫計算機程序。

4)準備必要的初始數(shù)據(jù)并上機計算。

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