第五章

三角函數(shù)5.5.1兩角和與差的正弦、余弦和正切公式（第一課時(shí)）龍海市港尾中學(xué)成套的課件成套的教案成套的試題成套的微專題盡在高中數(shù)學(xué)同步資源大全QQ群552511468也可聯(lián)系微信fjmath加入百度網(wǎng)盤群4000G一線老師必備資料一鍵轉(zhuǎn)存自動(dòng)更新永不過(guò)期教學(xué)目標(biāo)能由兩角差的余弦公式推導(dǎo)出兩角和的余弦公式（重點(diǎn)）01能由兩角差的余弦公式推導(dǎo)出兩角和與差的正弦公式及正切公式（重點(diǎn)）02掌握兩角和與差的正弦、余弦、正切公式、二倍角公式03并

能靈活運(yùn)用這些公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的化簡(jiǎn)、求值.（重點(diǎn)、難點(diǎn)）學(xué)科素養(yǎng)借助正切線作出正切函數(shù)的圖像;數(shù)學(xué)抽象兩角和差正余弦公式、二倍角公式的推導(dǎo)；邏輯推理能用公式求值，求角，化簡(jiǎn)數(shù)學(xué)運(yùn)算直觀想象數(shù)據(jù)分析利用兩點(diǎn)間的距離公式得到兩角差的余弦公式;數(shù)學(xué)建模01知識(shí)回顧Retrospective

Knowledge在坐標(biāo)平面內(nèi)的任意兩點(diǎn)P1(x1,y1),P2(x2,y2)，如圖，過(guò)P1,P2分別作x軸，y軸的垂線交于點(diǎn)Q，則Q的坐標(biāo)為(x2,y1)，則由勾股定理，可得：所以平面內(nèi)P1(x1,y1),P2(x2,y2)兩點(diǎn)間距離：PP

=

(x

-

x

)2

+

(

y

-

y

)2

.1

2

1

2

1

2xyOP1(x1,

y1)P2(x2,

y2)Q(x2,

y1)∟∟P1Q

^

P2Q，且P1Q

=x1

-x2

，P2Q

=y1

-y2222P1P2

=

P1Q

+

P

Q02知識(shí)精講Exquisite

Knowledge前面我們學(xué)習(xí)了誘導(dǎo)公式，利用它們對(duì)三角函數(shù)式進(jìn)行恒等變形，可以達(dá)到簡(jiǎn)化、求值或證明的目的．這種利用公式對(duì)三角函數(shù)式進(jìn)行的恒等變形就是三角恒等變換．觀察誘導(dǎo)公式，可以發(fā)現(xiàn)它們都是特殊角與任意角α的和（或差）的三角函數(shù)與這個(gè)任意角α的三角函數(shù)的恒等關(guān)系．如果把特殊角換為任意角β，那么任意角α與β的和（或差）的三角函數(shù)與α，β的三角函數(shù)會(huì)有什么關(guān)系呢？下面來(lái)研究這個(gè)問(wèn)題．α終邊β終邊α-β終邊下面我們來(lái)探究cos(α-β)角α，β的正弦、余弦之間的關(guān)系．不妨令α≠2kπ+β，k∈Z，如圖，設(shè)單位圓于x軸的正半軸相交于點(diǎn)A(1，0)，以x軸非負(fù)半軸為始邊作角α，β

，α-β

，它們的終邊分別與單位圓相交于點(diǎn)P1(cosα，sinα)，A1(cosβ，sinβ)，P(cos(α-β)，sin(α-β))．如果已知任意角α，β的正弦、余弦，能由此推出α+β，α－β的正弦、余弦嗎？探究α終邊β終邊α-β終邊A(1，

0)，P(cos(α-β)，

sin(α-β))，

A1(cosβ，

sinβ)，P1(cosα,

sinα)．連接A1P1，AP.若把扇形OAP繞著點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)β角，則點(diǎn)A，P分別與點(diǎn)A1，P1重合.根據(jù)圓的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性可知:AP

與A1P1重合，從而AP

=A1P1

，所cos

(a

-

b=

cosa

cos

b

+

sin

a

sin

b以AP=A1P1．根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式，得：[cos(a

-b)

-1]2

+sin2(a

-b)

=(cosa

-cosb)2

+(sina

-sinb)2化簡(jiǎn)得當(dāng)α=2kπ+β,

k∈Z時(shí)，容易證明上式仍然成立．此公式給出了任意角α，β的正弦、余弦與其差角α-β的余弦之間的關(guān)系，稱為差角的余弦公式，簡(jiǎn)記作C(α-β).所以，對(duì)任意角α，β有cos(a

-b

=

cosa

cos

b

+sina

sin

b公式中的α，β是任意角;公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)：左邊是“兩角差的余弦值”，右邊是“這兩角余弦積與正弦積的和”；公式兩邊符號(hào)相反.公式特征【例1】利用公式C(a

-b

)證明：2(1)

cos(

p

-

a

)

=

sin

a

；

(

2)

cos(p

-

a

)

=

-

cos

a

.2p2p2sin

acosa

+

sin證明：(1)cos(p

-a

)=cos=

0

+

1

·

s

in

a

=

s

in

a(2)

cos(p

-a

)

=

cos

p

cos

a

+

sin

p

sin

a=

(-1)

·

cosa

+

0

=

-

cosa5

2【解析】由sin

a

=4

,a

?

(p

,p

)，得35cos

α

=

-

1

-

sin2

α

=

-413又由cos

b

=-5

，b是第三象限角，得13sin

β

=

-

1

-

cos2

β

=

-125

13

5

13

65所以cos(α

-

β)

=

cos

α

cos

β

+

sin

α

sin

β

=

(-

3)

·(-

5

)

+

·(-12)

=

-

335

2

13【例2】已知sin

a

=4，a

?

(p

,p

)，cos

b

=-5

，b是第三象限角，求cos(a

-b)的值.=

cos(45

-

30

)

=

cos

45

cos30

+

sin

45

sin

30

=2 3

+

2 1

=

6

+

2

；2

2

2

2

4=

cos(60

-

45

)

=

cos

60

cos

45

+

sin

60

sin

45

=

1 2

+

3

2

=

2

+

6

；2

2

2

2

4【練習(xí)】求cos15

的值.【解析】（方法一）

cos15

（方法二）

cos15

cos

(a

+

b=

cos[(a

-

(-b

]=

cosa

cos(-b)

+

sin

a

sin(-b)=

cosa

cos

b

-

sin

a

sin

b.【推導(dǎo)】我們以C(α-β)為基礎(chǔ)，推導(dǎo)出其他公式.于是得到了兩角和的余弦公式，簡(jiǎn)記作C(α+β)cos(a

+

b

=

cosa

cos

b

-sina

sin

b由公式C(α-β)出發(fā)，能推導(dǎo)出兩角和與差的三角函數(shù)的其他公式嗎？探究我們知道，用誘導(dǎo)五（六）可以實(shí)現(xiàn)正弦、余弦的互化.你能根據(jù)C(α-β)、C(α+β)和誘導(dǎo)五（六），推導(dǎo)出用任意角α，β的正弦、余弦表示sin(α+β)，sin(α-β)公式嗎？探究sin

(a

+

b

)=

cos[p

-

(a

+

b

)]

=

cos[(p

-a

)

-

b]2

2=

cos(p

-a

)

cos

b

+

sin(p

-a

)

sin

b2

2=

sin

a

cos

b

+

cosa

sin

bsin

(a

-

b

)=

cos[p

-

(a

-

b

)]

=

cos[(p

-a

)

+

b]2

2=

cos(p

-a

)

cos

b

-

sin(p

-a

)

sin

b

=

sin

a

cos

b

-

cosa

sin

b2

2于是得到了兩角和與差的正弦公式，分別簡(jiǎn)記作S(α+β)、S(α-β)sin(a

+

b

=sina

cos

b

+cosa

sin

bsin(a

-

b

=sina

cos

b

-cosa

sin

b我們知道，用誘導(dǎo)五（六）可以實(shí)現(xiàn)正弦、余弦的互化.你能根據(jù)C(α-β)、C(α+β)和誘導(dǎo)五（六），推導(dǎo)出用任意角α，β的正弦、余弦表示sin(α+β)，sin(α-β)公式嗎？探究cos(a

+

b

=

cosa

cos

b

-sina

sin

bcos(a

-b

=

cosa

cos

b

+sina

sin

bsin(a

+

b

=sina

cos

b

+cosa

sin

bsin(a

-

b

=sina

cos

b

-cosa

sin

b兩角和與差的正弦、余弦公式：（異名積，符號(hào)同）（同名積，符號(hào)反）【例3】已知sin

a=-3，a是第四象限角，求sin(

p

-a)，cos(a+p)的值.5

4

4555=

41

-

sin

2

a

=

1

-

(-

3)2【解析】已知sin

a

=-3，a是第四象限角，得cosa

=4cos

a2

4

2

3

7

2·

-

·(-

)

=2

5

2

5

10sin(p

-a

)

=

sin

p

cosa

-

cos

p

sin

a

=4

4

4p

p44

4cos(p

+

a

)

=

cos cosa

-

sin sin

a22

5

2

5

102

4·

-

2

·(-

3)

=

7=所以tan

a

=sin

a

=-3

，于是有【例4】利用和（差）角公式計(jì)算下列各式的值.（1）sin

72 cos

42

-

cos

72 sin

42【解析】原式=sin(72

-42

)=

sin30

=

1

.2（2）cos

20 cos

70

-

sin

20 sin

70【解析】原式=cos(20

+70

)=

cos

90

=

0.45

，0

<a<p，求cos(a-p)，sin