3.4《基本不等式》

(第二課時)

如果a，b∈R，那么a2+b2≥2ab（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取“=”）1.重要不等式：復(fù)習(xí)2.基本不等式：

如果a,b∈R+，那么（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時，式中等號成立）注：（1）常用變形：①②（2）應(yīng)用口訣：“一正，二定，三相等”

探究：下面幾道題的解答可能有錯，如果錯了，那么錯在哪里？１．已知函數(shù)，求函數(shù)的最小值和此時x的取值．

運用基本不等式的過程中，忽略了“正數(shù)”這個條件．２．已知函數(shù)，求函數(shù)的最小值．

用基本不等式求最值，必須滿足“定值”這個條件．用基本不等式求最值,必須注意“相等”的條件.如果取等的條件不成立,則不能取到該最值.一正：兩項必須都是正數(shù)；

二定：求兩項和的最小值，它們的積應(yīng)為定值；求兩項積的最大值，它們的和應(yīng)為定值。三相等：等號成立的條件必須存在.

注意:在使用“和為常數(shù)，積有最大值”和“積為常數(shù)，和有最小值”這兩個結(jié)論時，應(yīng)把握三點：“一正、二定、三相等”.當(dāng)條件不完全具備時，應(yīng)創(chuàng)造條件.下列函數(shù)中，最小值為4的有那些?

(A)(B)(C)(D)B思考:變式：（1）已知x>-2,求的最小值；

（2）已知0<x<1/2,求x(1-2x)的最大值.例1：（1）已知x>1,求的最小值；

（2）已知0<x<1,求x(1-x)的最大值.基本不等式的主要應(yīng)用——求最值解析：構(gòu)造法思考：取到最值時x的值呢？(1)x=2(2)x=1/2變式：（1）已知x>-2,求的最小值；

（2）已知0<x<1/2,求x(1-2x)的最大值.1.湊項：使積成為定值2.湊系數(shù)：使和成為定值3.分離法921例2

已知x>0,y>0,且x+2y=1,求的最小值．解析：變式：“1”的代換例：已知lgx+lgy＝1，的最小值是______.25.基本不等式與對數(shù)相結(jié)合2小結(jié):三是考慮等號成立的條件．二是尋求定值，（1）求和式最小值時應(yīng)使積為定值，（2）求積式最大值時應(yīng)使和為定值(恰當(dāng)變形，合理發(fā)現(xiàn)拆分項或配湊因式、“1”的代換是常用的解題技巧)；一是各項為正；例4．求函數(shù)的最大值，及此時x的值。解：，因為x>0，所以得因此f(x)≤當(dāng)且僅當(dāng)，即時，式中等號成立。由于x>0，所以，式中等號成立，因此，此時。變式：已知x>－1，求函數(shù)y＝＝(x＋1)＋解析：y＝(x＋5)(x＋2)

x＋1＝(x＋1＋4)(x＋1＋1)

x＋1

4x＋1＋5當(dāng)且僅當(dāng)(x＋1)＝

4x＋1，即x＝1時，ymin＝9.多少？1、已知a、b、c都是正數(shù)，求證：（a＋b）（b＋c）（c＋a）≥8abc。變式、已知a、b、c都是正數(shù)，a+b+c=1,求證：（1–a）（1–b）（1–c）≥8abc。2、證明：a2＋b2＋c2≥ab+bc+ca。變式：已知a、b、c都是正數(shù)，證明：例4某工廠要建造一個長方體形無蓋貯水池,其容積為4800m3,深為3m.如果池底每平方米的造價為150元,池壁每平方米的造價為120元,怎樣設(shè)計水池能使總造價最低?最低總造價是多少?分析：水池呈長方體形，高為3m,底面的長與寬沒有確定.如果底面的長與寬確定了，水池總造價也就確定了.因此應(yīng)當(dāng)考察底面的長與寬取什么值時水池總造價最低.由容積為4800m3

，可得3xy=4800,因此xy=1600.由基本不等式與不等式的性質(zhì)，可得解：設(shè)底面的長為xm，寬為ym,水池總造價為z