第1頁，課件共106頁，創(chuàng)作于2023年2月第三節(jié)位移分量的求出第四節(jié)簡支梁受均布荷載第五節(jié)楔形體受重力和液體壓力例題第一節(jié)逆解法與半逆解法多項式解答第二節(jié)矩形梁的純彎曲第三章平面問題的直角坐標解答第2頁，課件共106頁，創(chuàng)作于2023年2月§3－1逆解法和半逆解法多項式解法當(dāng)體力為常量，按應(yīng)力函數(shù)求解平面應(yīng)力問題時，應(yīng)滿足

按求解⑶多連體中的位移單值條件。(c)⑵S=上應(yīng)力邊界條件,⑴A內(nèi)相容方程第3頁，課件共106頁，創(chuàng)作于2023年2月對于單連體，(c)通常是自然滿足的。只須滿足(a),(b)。由求應(yīng)力的公式是(d)第4頁，課件共106頁，創(chuàng)作于2023年2月2.逆解法──先滿足(a),再滿足(b)。步驟:(e)逆解法⑴先找出滿足的解⑶在給定邊界形狀S下，由式(b)反推出各邊界上的面力，⑵代入(d),求出第5頁，課件共106頁，創(chuàng)作于2023年2月從而得出，在面力(e)作用下的解答，就是上述和應(yīng)力。逆解法逆解法沒有針對性，但可以積累基本解答。第6頁，課件共106頁，創(chuàng)作于2023年2月例2

二次式，分別表示常量的應(yīng)力和邊界面力。如圖示。例1

一次式對應(yīng)于無體力，無面力，無應(yīng)力狀態(tài)。故應(yīng)力函數(shù)加減一次式，不影響應(yīng)力。逆解法2a2aoyxoyxoyxbbbb2c2c第7頁，課件共106頁，創(chuàng)作于2023年2月⑶代入，解出；3.半逆解法

步驟：半逆解法⑵由應(yīng)力(d)式，推測的函數(shù)形式；⑴假設(shè)應(yīng)力的函數(shù)形式（根據(jù)受力情況，邊界條件等）；第8頁，課件共106頁，創(chuàng)作于2023年2月⑷由式（d），求出應(yīng)力；半逆解法⑸校核全部應(yīng)力邊界條件（對于多連體，還須滿足位移單值條件）。如能滿足，則為正確解答；否則修改假設(shè)，重新求解。第9頁，課件共106頁，創(chuàng)作于2023年2月思考題半逆解法1.在單連體中，應(yīng)力函數(shù)必須滿足哪些條件？逆解法和半逆解法是如何滿足這些條件的？2.試比較逆解法和半逆解法的區(qū)別。第10頁，課件共106頁，創(chuàng)作于2023年2月§3-2矩形梁的純彎曲梁l×h×1，無體力，只受M作用（力矩/單寬，與力的量綱相同）。本題屬于純彎曲問題。問題提出

h/2

h/2lyx

(l>>h)oMM第11頁，課件共106頁，創(chuàng)作于2023年2月⑴由逆解法得出，可取，且滿足⑵求應(yīng)力(a)求解步驟：本題是平面應(yīng)力問題,且為單連體，若按求解，應(yīng)滿足相容方程及上的應(yīng)力邊界條件。第12頁，課件共106頁，創(chuàng)作于2023年2月⑶檢驗應(yīng)力邊界條件，原則是:邊界條件

b.后校核次要邊界（小邊界），若不能精確滿足應(yīng)力邊界條件，則應(yīng)用圣維南原理，用積分的應(yīng)力邊界條件代替。

a.先校核主要邊界（大邊界），必須精確滿足應(yīng)力邊界條件。第13頁，課件共106頁，創(chuàng)作于2023年2月主要邊界

從式(a)可見，邊界條件(b)均滿足。滿足。主要邊界次要邊界

x=0,l,(c)的邊界條件無法精確滿足。第14頁，課件共106頁，創(chuàng)作于2023年2月次要邊界用兩個積分的條件代替第15頁，課件共106頁，創(chuàng)作于2023年2月當(dāng)時，即使在邊界上面力不同于的分布，其誤差僅影響梁的兩端部分上的應(yīng)力。式(d)的第一式自然滿足，由第二式得出最終得應(yīng)力解(e)第16頁，課件共106頁，創(chuàng)作于2023年2月

如果區(qū)域內(nèi)的平衡微分方程已經(jīng)滿足，且除了最后一個小邊界外，其余的應(yīng)力邊界條件也都分別滿足。則我們可以推論出，最后一個小邊界上的三個積分的應(yīng)力邊界條件（即主矢量、主矩的條件）必然是滿足的，因此可以不必進行校核。試對此結(jié)論加以說明。思考題第17頁，課件共106頁，創(chuàng)作于2023年2月§3-3位移分量的求出

在按應(yīng)力求解中，若已得出應(yīng)力，如何求出位移？以純彎曲問題為例，已知試求解其位移。問題提出第18頁，課件共106頁，創(chuàng)作于2023年2月1.由物理方程求形變求形變第19頁，課件共106頁，創(chuàng)作于2023年2月2.代入幾何方程求位移求位移第20頁，課件共106頁，創(chuàng)作于2023年2月⑴對式(a)兩邊乘積分,⑵對式(b)兩邊乘積分,求位移第21頁，課件共106頁，創(chuàng)作于2023年2月⑶再代入(c),并分開變量，上式對任意的x,y

都必須成立，故兩邊都必須為同一常量。求位移第22頁，課件共106頁，創(chuàng)作于2023年2月由此解出求位移得出位移為3.待定的剛體位移分量，須由邊界約束條件來確定。第23頁，課件共106頁，創(chuàng)作于2023年2月2.代入幾何方程，積分求；歸納：從應(yīng)力求位移步驟：3.由邊界約束條件確定確定剛體位移分量由物理方程求出形變；第24頁，課件共106頁，創(chuàng)作于2023年2月2.鉛直線的轉(zhuǎn)角故在任一截面x

處，平面截面假設(shè)成立。純彎曲問題的討論：1.彎應(yīng)力與材料力學(xué)的解相同。3.縱向纖維的曲率同材料力學(xué)的結(jié)果。故在純彎曲情況下，彈性力學(xué)解與材料力學(xué)解相同。

第25頁，課件共106頁，創(chuàng)作于2023年2月思考題2.試證明剛體位移實際上表示彈性體中原點的平移和轉(zhuǎn)動分量，并應(yīng)用本節(jié)的解答加以驗證。提示：微分體的轉(zhuǎn)動分量為彈性力學(xué)中關(guān)于純彎曲梁的解答，與材料力學(xué)的解答在應(yīng)力、形變等方面完全一致。由此是否可以說在純彎曲情況下材料力學(xué)中的平截面假設(shè)成立？第26頁，課件共106頁，創(chuàng)作于2023年2月§3-4簡支梁受均布荷載簡支梁，受均布荷載及兩端支撐反力。。問題yxoll

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h/2第27頁，課件共106頁，創(chuàng)作于2023年2月現(xiàn)采用此假設(shè)。半逆解法按半逆解法求解。⑴假設(shè)應(yīng)力分量。由材料力學(xué)因為因為所以，可假設(shè)所以，可假設(shè)因為所以，可假設(shè)第28頁，課件共106頁，創(chuàng)作于2023年2月⑵由應(yīng)力分量推出應(yīng)力函數(shù)的形式。由對x積分，對x再積分，(a)半逆解法第29頁，課件共106頁，創(chuàng)作于2023年2月⑶將代入相容方程，求解:相容方程對于任何均應(yīng)滿足,故的系數(shù)均應(yīng)等于0，由此得三個常微分方程。半逆解法第30頁，課件共106頁，創(chuàng)作于2023年2月式(b)中已略去對于的一次式。將式(b)代入式(a)，即得。(b)半逆解法解出:第31頁，課件共106頁，創(chuàng)作于2023年2月對稱性條件─由于結(jié)構(gòu)和荷載對稱于軸，故應(yīng)為的偶函數(shù)，為

x的奇函數(shù)，故。⑷由求應(yīng)力。半逆解法在無體力下，應(yīng)力公式如書中式(f

),

(g),(h)所示。第32頁，課件共106頁，創(chuàng)作于2023年2月⑸考察邊界條件。由此解出系數(shù)A,B,C,D。

主要邊界主要邊界第33頁，課件共106頁，創(chuàng)作于2023年2月次要邊界次要邊界由此解出H，K.另一次要邊界(x=-l)的條件，自然滿足。應(yīng)用圣維南原理，列出三個積分條件，第34頁，課件共106頁，創(chuàng)作于2023年2月最后應(yīng)力解答：應(yīng)力第35頁，課件共106頁，創(chuàng)作于2023年2月應(yīng)力的量級當(dāng)時,x~l

同階，y~h

同階.第一項同階,（與材料力學(xué)解同）;第二項同階,（彈性力學(xué)的修正項）同階,（與材料力學(xué)解同）應(yīng)力的量級同階,（材料力學(xué)中不計）第36頁，課件共106頁，創(chuàng)作于2023年2月當(dāng)時,量級的值很小,可以不計。應(yīng)力與材料力學(xué)解比較:最主要量級,和次要量級,在材料力學(xué)中均已反映，且與彈性力學(xué)相同。最小量級~,在材料力學(xué)中沒有。當(dāng)時,僅占主項的1/15(6%),應(yīng)力比較中的彈性力學(xué)修正項：第37頁，課件共106頁，創(chuàng)作于2023年2月彈性力學(xué)與材料力學(xué)的解法比較:應(yīng)力比較彈性力學(xué)嚴格考慮并滿足了A內(nèi)的平衡微分方程,幾何方程和物理方程,以及S上的所有邊界條件(在小邊界上盡管應(yīng)用了圣維南原理,但只影響小邊界附近的局部區(qū)域)。

材料力學(xué)在許多方面都作了近似處理,所以得出的是近似解答。第38頁，課件共106頁，創(chuàng)作于2023年2月幾何條件中引用平截面假定－－沿為直線分布；例如：邊界條件也沒有嚴格考慮；平衡條件中沒有考慮微分體的平衡，只考慮的內(nèi)力平衡；材料力學(xué)解往往不滿足相容條件。第39頁，課件共106頁，創(chuàng)作于2023年2月對于桿件，材料力學(xué)解法及解答具有足夠的精度；對于非桿件，不能用材料力學(xué)解法求解，應(yīng)采用彈性力學(xué)解法求解。第40頁，課件共106頁，創(chuàng)作于2023年2月當(dāng)問題中的y軸為對稱軸時，試說明和應(yīng)為x的偶函數(shù)，而應(yīng)為x的奇函數(shù)。思考題對于梁的彎曲問題，試回憶在材料力學(xué)中是如何考慮平衡條件的？第41頁，課件共106頁，創(chuàng)作于2023年2月

3.試說明從彈性力學(xué)得出的解答（3-6）不符合平面截面假設(shè)。4.材料力學(xué)的解答往往不滿足相容條件，為什么？第42頁，課件共106頁，創(chuàng)作于2023年2月§3-5楔形體受重力及液體壓力設(shè)有楔形體，左面垂直，頂角為α，下端無限長，受重力及齊頂液體壓力。oyxnαα第43頁，課件共106頁，創(chuàng)作于2023年2月用半逆解法求解。因為應(yīng)力,而應(yīng)力的量綱只比高一次（L），所以應(yīng)力

(x,y一次式）,=即可假設(shè)應(yīng)力為x,y

的一次式。（1）用量綱分析法假設(shè)應(yīng)力:第44頁，課件共106頁，創(chuàng)作于2023年2月（2）由應(yīng)力~

關(guān)系式，應(yīng)為x,y的三次式，（3）

滿足相容方程（4）由求應(yīng)力，第45頁，課件共106頁，創(chuàng)作于2023年2月（5）考察邊界條件--本題只有兩個大邊

界，均應(yīng)嚴格滿足應(yīng)力邊界條件。

x=0鉛直面，解出解出第46頁，課件共106頁，創(chuàng)作于2023年2月斜邊界上，須按一般的應(yīng)力邊界條件來表示，有第47頁，課件共106頁，創(chuàng)作于2023年2月其中由式（b)解出a、b,最后的應(yīng)力解答,應(yīng)力第48頁，課件共106頁，創(chuàng)作于2023年2月水平截面上的應(yīng)力分布如圖所示。第49頁，課件共106頁，創(chuàng)作于2023年2月楔形體解答的應(yīng)用:

作為重力壩的參考解答；分逢重力壩接近平面應(yīng)力問題；在壩體中部的應(yīng)力，接近楔形體的解答。重力壩規(guī)范規(guī)定的解法

——材料力學(xué)解法（重力法）.

重力壩的精確分析，可按有限單元法進行。第50頁，課件共106頁，創(chuàng)作于2023年2月思考題重力法是按應(yīng)力求解的，試回憶應(yīng)力分量必須滿足哪些條件？在重力法中考慮了哪些條件？第51頁，課件共106頁，創(chuàng)作于2023年2月第三章例題例題1例題2例題3例題4例題8例題7例題6例題5第52頁，課件共106頁，創(chuàng)作于2023年2月例題1設(shè)單位厚度的懸臂梁在左端受到集中力和力矩的作用，體力可以不計，圖3-5，試用應(yīng)力函數(shù)求解應(yīng)力分量。第53頁，課件共106頁，創(chuàng)作于2023年2月圖3-5ydyyxl

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h/2o第54頁，課件共106頁，創(chuàng)作于2023年2月解：本題是較典型的例題，已經(jīng)給出了應(yīng)力函數(shù)，可按下列步驟求解。1.將代入相容方程，顯然是滿足的。2.將代入式(2-24)，求出應(yīng)力分量。第55頁，課件共106頁，創(chuàng)作于2023年2月考察邊界條件：主要邊界上應(yīng)精確滿足式(2-15),第56頁，課件共106頁，創(chuàng)作于2023年2月在次要邊界x=0上，只給出了面力的主矢量和主矩，應(yīng)用圣維南原理，用三個積分的邊界條件代替。注意x=0是負x面，圖3-5中表示了負x面上的的正方向，由此得：第57頁，課件共106頁，創(chuàng)作于2023年2月第58頁，課件共106頁，創(chuàng)作于2023年2月由(a),(b)解出最后一個次要邊界條件(x=l上)，在平衡微分方程和上述邊界條件均已滿足的條件下，是必然滿足的，故不必再校核。第59頁，課件共106頁，創(chuàng)作于2023年2月代入應(yīng)力公式，得第60頁，課件共106頁，創(chuàng)作于2023年2月例題2擋水墻的密度為，厚度為b,圖示,水的密度為，試求應(yīng)力分量。yox第61頁，課件共106頁，創(chuàng)作于2023年2月解：用半逆解法求解。假設(shè)應(yīng)力分量的函數(shù)形式。

因為在y=-b/2邊界上，y=b/2邊界上，，所以可假設(shè)在區(qū)域內(nèi)沿x

向也是一次式變化，即第62頁，課件共106頁，創(chuàng)作于2023年2月2.按應(yīng)力函數(shù)的形式，由推測的形式，所以第63頁，課件共106頁，創(chuàng)作于2023年2月3.由相容方程求應(yīng)力函數(shù)。代入得要使上式在任意的x處都成立，必須第64頁，課件共106頁，創(chuàng)作于2023年2月代入，即得應(yīng)力函數(shù)的解答，其中已略去了與應(yīng)力無關(guān)的一次式。第65頁，課件共106頁，創(chuàng)作于2023年2月

4.由應(yīng)力函數(shù)求解應(yīng)力分量。將代入式(2-24),注意，體力求得應(yīng)力分量為第66頁，課件共106頁，創(chuàng)作于2023年2月考察邊界條件：主要邊界上,有得得得第67頁，課件共106頁，創(chuàng)作于2023年2月由上式得到第68頁，課件共106頁，創(chuàng)作于2023年2月求解各系數(shù)，由得得得得第69頁，課件共106頁，創(chuàng)作于2023年2月由此得又有代入A,得第70頁，課件共106頁，創(chuàng)作于2023年2月在次要邊界（小邊界）x=0上，列出三個積分的邊界條件：由式(g),(h)解出第71頁，課件共106頁，創(chuàng)作于2023年2月代入應(yīng)力分量的表達式得最后的應(yīng)力解答：第72頁，課件共106頁，創(chuàng)作于2023年2月例題3已知試問它們能否作為平面問題的應(yīng)力函數(shù)？第73頁，課件共106頁，創(chuàng)作于2023年2月解：作為應(yīng)力函數(shù)，必須首先滿足相容方程，將代入，(a)其中A=0，才可能成為應(yīng)力函數(shù)；(b)必須滿足3(A+E)+C=0,才可能成為應(yīng)力函數(shù)。第74頁，課件共106頁，創(chuàng)作于2023年2月例題4圖中所示的矩形截面柱體，在頂部受有集中力F和力矩的作用，試用應(yīng)力函數(shù)求解圖示問題的應(yīng)力及位移，設(shè)在A點的位移和轉(zhuǎn)角均為零。第75頁，課件共106頁，創(chuàng)作于2023年2月bbAyxhOFFb/2第76頁，課件共106頁，創(chuàng)作于2023年2月解：應(yīng)用應(yīng)力函數(shù)求解：(1)校核相容方程，滿足.(2)求應(yīng)力分量，在無體力時，得(3)考察主要邊界條件，均已滿足第77頁，課件共106頁，創(chuàng)作于2023年2月考察次要邊界條件，在y=0上，滿足。得得第78頁，課件共106頁，創(chuàng)作于2023年2月上述應(yīng)力已滿足了和全部邊界條件，因而是上述問題的解。代入，得應(yīng)力的解答，第79頁，課件共106頁，創(chuàng)作于2023年2月(4)求應(yīng)變分量，第80頁，課件共106頁，創(chuàng)作于2023年2月(5)求位移分量，第81頁，課件共106頁，創(chuàng)作于2023年2月將u,v代入幾何方程的第三式，兩邊分離變量，并全都等于

常數(shù)，即第82頁，課件共106頁，創(chuàng)作于2023年2月從上式分別積分，求出代入u,v,得第83頁，課件共106頁，創(chuàng)作于2023年2月再由剛體約束條件，得得得第84頁，課件共106頁，創(chuàng)作于2023年2月代入u,v,得到位移分量的解答在頂點x=y=0，第85頁，課件共106頁，創(chuàng)作于2023年2月例題5圖中矩形截面的簡支梁上，作用有三角形分布荷載。試用下列應(yīng)力函數(shù)求解應(yīng)力分量。第86頁，課件共106頁，創(chuàng)作于2023年2月yxo

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h/2l第87頁，課件共106頁，創(chuàng)作于2023年2月解：應(yīng)用上述應(yīng)力函數(shù)求解：(1)將代入相容方程，由此，第88頁，課件共106頁，創(chuàng)作于2023年2月(2)代入應(yīng)力公式，在無體力下，得(3)考察主要邊界條件第89頁，課件共106頁，創(chuàng)作于2023年2月對于任意的x值，上式均滿足，由此得(a)(b)(c)(d)第90頁，課件共106頁，創(chuàng)作于2023年2月由(3)+(4)得由(3)-(4)得由(5)-(1)得(e)第91頁，課件共106