3.2函數(shù)的基本性質(zhì)3.2.2函數(shù)的奇偶性(1)

生活中的對稱

觀察函數(shù)f(x)=x2和g(x)=|x|的圖象，你能發(fā)現(xiàn)這兩個函數(shù)圖象有什么共同特征嗎？可以發(fā)現(xiàn)，這兩個函數(shù)的圖象都關(guān)于y軸對稱.類比函數(shù)單調(diào)性，你能用符號語言精確地描述“函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱”這一特征嗎？思考

？x···-3-2-10123···f(x)=x2······g(x)=|x|······93934242111100f(-3)=f(3)f(-2)=f(2)f(-1)=f(1)g(-3)=g(3)g(-2)=g(2)g(-1)=g(1)PART

1偶函數(shù)定義：設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為I，如果?x∈I，都有-x∈I，

且f(-x)＝f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù).變形：f(-x)-f(x)＝0圖象特征：關(guān)于y軸對稱.定義域關(guān)于原點對稱

可以發(fā)現(xiàn)，這兩個函數(shù)的圖象都關(guān)于原點對稱.可以發(fā)現(xiàn)，兩個函數(shù)的圖象都關(guān)于原點成中心對稱圖形，為了用符號語言描述這一特征，不妨取自變量的一些特殊值，看相應(yīng)函數(shù)值的情況.x···-3-2-10123···f(x)=x············-33-22-1-11100f(-3)=-f(3)f(-2)=-f(2)f(-1)=-f(1)g(-3)=-g(3)g(-2)=-g(2)g(-1)=-g(1)PART2

奇函數(shù)定義：設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為I，如果?x∈I，都有-x∈I，

且f(-x)＝-f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù).變形：f(-x)+f(x)＝0圖象特征：關(guān)于原點對稱.定義域關(guān)于原點對稱若函數(shù)f(x)是定義域為R的奇函數(shù)，則f(0)的值是多少？探究

？因為函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，所以f(-x)=-f(x)，即f(-x)+f(x)=0，當(dāng)x=0時，f(0)+f(0)=0,即f(0)=0.f(x)為奇函數(shù)且x=0處有定義，則f(0)=0根據(jù)奇偶性，函數(shù)分為四類：

1.奇函數(shù)

2.偶函數(shù)

3.既奇又偶

（f(x)=0，定義域關(guān)于原點對稱）

4.非奇非偶例

判斷下列函數(shù)的奇偶性：（1）f(x)=x4（2）f(x)=x5

解：(1)函數(shù)f(x)定義域為R，?x∈R

，都有-x∈R，

且f(-x)=(-x)4=x4=f(x)，所以函數(shù)f(x)是偶函數(shù).（2）函數(shù)f(x)定義域為{x|x≠0}，

?x∈{x|x≠0}，都有-x∈{x|x≠0}，且，所以函數(shù)f(x)是奇函數(shù).（3）函數(shù)f(x)定義域為{x|x≥0}，

?x0∈{x|x≥0}，-x?{x|x≥0}，所以函數(shù)f(x)是既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù).（4）函數(shù)f(x)定義域為R，?x∈R，都有-x∈R，

且f(-x)=0=f(x)=-f(x)，所以函數(shù)f(x)既是奇函數(shù)也是偶函數(shù).方法總結(jié)判斷函數(shù)奇偶性的方法：1.定義法：2.圖象法：①判斷定義域是否關(guān)于原點對稱；②計算f(-x)與f(x)的關(guān)系；③下結(jié)論①判斷函數(shù)圖象是否關(guān)于y軸或原點對稱；②下結(jié)論題型一

函數(shù)的奇偶性的判斷例1

判斷下列函數(shù)的奇偶性（1）

（2）

（3）解:(1)函數(shù)

f(x)=x3的定義域是R，且

f(-x)=-x3=-f(x)，

所以函數(shù)

f(x)=x3是奇函數(shù).

(2)函數(shù)

f(x)=|x+1|-|x-1|

的定義域是R，

且

f(-x)=|-x+1|-|-x-1|=-f(x)，

所以函數(shù)

f(x)=|x+1|-|x-1|

是奇函數(shù).題型一

函數(shù)的奇偶性的判斷鞏固練習(xí)1

判斷下列函數(shù)的奇偶性（1）（3）（2）（4）解:(1)函數(shù)

f(x)=1

的定義域是R，且

f(-x)=f(x)，

所以函數(shù)

f(x)=1

是偶函數(shù).

(2)函數(shù)

f(x)=-x2+1

的定義域是R，

且

f(-x)=-x2+1=f(x)，

所以函數(shù)

f(x)=-x2+1

是偶函數(shù).題型一

函數(shù)的奇偶性的判斷鞏固練習(xí)1

判斷下列函數(shù)的奇偶性（1）（3）（2）題型一

函數(shù)的奇偶性的判斷鞏固練習(xí)2

若函數(shù)y＝f(x)，x∈[－2，a]是偶函數(shù)，則a的值為()A．－2B．2C．0D．不能確定B題型二

奇偶函數(shù)的圖象例2

已知函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，g(x)是奇函數(shù)，試將下圖補充完整.OxyOxyf(x)g(x)題型二

奇偶函數(shù)的圖象鞏固練習(xí)1

設(shè)奇函數(shù)f(x)的定義域為[－5,5]，若當(dāng)x∈[0,5]時，f(x)的圖象如圖，則不等式f(x)<0的解集是______．題型二

奇偶函數(shù)的圖象鞏固練習(xí)1

設(shè)奇函數(shù)f(x)的定義域為[－5,5]，若當(dāng)x∈[0,5]時，f(x)的圖象如圖，則不等式f(x)<0的解集是______．解析：由奇函數(shù)的性質(zhì)知，其圖象關(guān)于原點對稱，則f(x)在定義域[－5,5]上的圖象如圖，由圖可知不等式f(x)<0的解集為{x|－2<x<0或2<x≤5}．題型二

奇偶函數(shù)的圖象鞏固練習(xí)2

如圖，給出了偶函數(shù)y＝f(x)的局部圖象，試比較f(1)與f(3)的大?。}型二

奇偶函數(shù)的圖象鞏固練習(xí)2

如圖，給出了偶函數(shù)y＝f(x)的局部圖象，試比較f(1)與f(3)的大?。馕觯阂蚝瘮?shù)f(x)是偶函數(shù)，

所以其圖象關(guān)于y軸對稱，

補全圖如圖．由圖象可知f(1)<f(3)．題型三

抽象函數(shù)奇偶性的判斷例3若函數(shù)f(x)的定義域是R，且對任意x,y∈R，都有f(x+y)=f(x)+f(y)成立，試判斷f(x)的奇偶性.解：令x=y=0得f(0+0)=f(0)+f(0),

即f(0)=0. ∴f(0)=f(x-x)=f(x)+f(-x)=0 ∴f(-x)=