基于復(fù)變函數(shù)的圓形襯砌動內(nèi)力解析解

1國內(nèi)外地下結(jié)構(gòu)抗震設(shè)計的相關(guān)研究目前，中國的地鐵建設(shè)正在快速發(fā)展。阪神地震表明地下結(jié)構(gòu)可能遭受嚴(yán)重震害，且破壞后修復(fù)的難度和代價較大。但迄今為止，我國尚無地下結(jié)構(gòu)抗震方面的設(shè)計規(guī)范，因而適時開展地下結(jié)構(gòu)抗震設(shè)計計算方法研究具有重要的現(xiàn)實意義。國外地下結(jié)構(gòu)抗震研究較早。20世紀(jì)70年代初，日本土木工程師協(xié)會建議對采用明挖法建造的矩形隧道采用Mononobe-Okabe動土壓力方法進行抗震設(shè)計。這種方法最初用于地面擋土結(jié)構(gòu)，它假定地震時擋土結(jié)構(gòu)產(chǎn)生足夠大的側(cè)向位移以致其背后形成“屈服主動土楔”國內(nèi)這方面的研究興起于阪神地震以后，多集中于數(shù)值分析，而缺乏簡便、實用的設(shè)計計算方法研究2土體及地下結(jié)構(gòu)特點復(fù)變函數(shù)法以其在解決孔口問題方面的優(yōu)勢，在地下工程領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用(1)土體為均勻各向同性介質(zhì)；(2)地下結(jié)構(gòu)的埋深較大；(3)擬靜力假定，即假定地下結(jié)構(gòu)在無限遠處受常剪應(yīng)力或常剪應(yīng)變作用。2.1結(jié)構(gòu)間不穩(wěn)定時，結(jié)構(gòu)運動的內(nèi)部空間分析2.1.1單位圓映射采用變換式z=ω(?)=R/?可將z平面內(nèi)帶圓形孔口的無限介質(zhì)映射為?平面內(nèi)單位圓。復(fù)變勢函數(shù)及變換后應(yīng)力邊界條件分別為土體無限遠處受剪應(yīng)力τ作用，邊界條件為土體孔口受相互作用的剪應(yīng)力τ由式(1)～(4)應(yīng)用Cauthy積分公式可解得由復(fù)變函數(shù)位移公式2.1.2彈性中心法圖2所示結(jié)構(gòu)受力等效于法向、切線分布力：由結(jié)構(gòu)力學(xué)的彈性中心法可解得(1)p(2)p(3)p內(nèi)力及角度正負號規(guī)定見圖2。將上述公式中θ用θ+π/4替換即得結(jié)構(gòu)處于純剪切狀態(tài)時內(nèi)力。2.1.3內(nèi)容分析土–結(jié)構(gòu)間力和位移協(xié)調(diào)條件分別為由式(9)，(16)，(17)可解得結(jié)構(gòu)的徑向位移和內(nèi)力：2.2土–結(jié)構(gòu)間完全滑移時結(jié)構(gòu)動內(nèi)力的確定土–結(jié)構(gòu)間完全滑移時，土體孔口的面力分量及其在坐標(biāo)軸上的投影和為由單位圓邊界處的保角關(guān)系可求得按節(jié)2.1中同樣步驟可推得土–結(jié)構(gòu)間完全滑移時的復(fù)變勢函數(shù)和孔口徑向位移：用?D3結(jié)構(gòu)內(nèi)力演化以上海市地鐵2號線某盾構(gòu)區(qū)間隧道為例。隧道襯砌外徑6.5m，內(nèi)徑5.9m，管片厚0.3m。兩孔中心距為13m。平均埋深12m，最小埋深8m。首先進行靜力分析，然后在此基礎(chǔ)上進行動力分析，包括自由場及土–結(jié)構(gòu)體系相互作用分析。結(jié)構(gòu)兩側(cè)各取6倍雙孔隧道總寬度，計算寬度共計254m。計算深度取為70m。采用黏彈性人工邊界。計算模型見圖3。土體靜力計算采用Mohr-Coulomb模型，參數(shù)見表1。動力計算采用Davidenkov模型：參數(shù)依據(jù)室內(nèi)動三軸試驗結(jié)果結(jié)構(gòu)用梁單元離散，采用彈性模型，參數(shù)按混凝土標(biāo)號選取。土–結(jié)構(gòu)間不滑移時，不設(shè)置接觸面。完全滑移時，設(shè)置Coulomb型接觸面。其中，法向剛度由MuirWood公式確定：式中：E切向剛度K由數(shù)值分析得到的自由場中結(jié)構(gòu)埋深處的最大剪應(yīng)變，依據(jù)上述解析解可求得結(jié)構(gòu)動內(nèi)力，疊加上靜內(nèi)力后與結(jié)構(gòu)合內(nèi)力數(shù)值解進行對比。其中數(shù)值解為結(jié)構(gòu)上、下端點(點1,2)水平向相對位移最大時刻t埋深12m時，土–結(jié)構(gòu)間不滑移和完全滑移兩種條件下結(jié)構(gòu)內(nèi)力圖分別如圖6,7所示。彎矩圖中虛線為彎矩包絡(luò)值。埋深12和8m時，土–結(jié)構(gòu)間不滑移條件下，結(jié)構(gòu)內(nèi)力解析解與數(shù)值解的比較分別如圖8,9所示。不滑移時結(jié)構(gòu)內(nèi)力最大值見表2。埋深12m時，彎矩解析解與數(shù)值解的相對誤差小于3.2%，剪力的相對誤差小于6.8%。埋深8m時，彎矩的相對誤差小于9.6%，剪力的相對誤差小于10%。兩種情況下解析解均低估了結(jié)構(gòu)中的軸力，相對誤差略大于10%。4數(shù)法上的動內(nèi)力問題(1)本文采用復(fù)變函數(shù)法推導(dǎo)了地震時土–結(jié)構(gòu)間不滑移和完全滑移兩種接觸條件下結(jié)構(gòu)動內(nèi)力的解答，為將復(fù)變函數(shù)法進一步應(yīng)用于解決矩形、雙圓型等其他更加復(fù)雜結(jié)構(gòu)的動內(nèi)力問題奠定了基礎(chǔ)。(2)推導(dǎo)公式時作了帶圓孔無限彈性介質(zhì)的假定，而實際結(jié)構(gòu)的埋深有限。算例表明，