6.3利用遞推公式求通項（精講）公式法求通項1.條件特征：前n項和與項或項數(shù)的關系①當n＝1時，由a1＝S1求a1的值．②當n≥2時，由an＝Sn－Sn－1，求得an的表達式③檢驗a1的值是否滿足(2)中的表達式，若不滿足，則分段表示an．④寫出an的完整表達式．累加法條件特征：a解題思路累乘法1.條件特征：四．構造法1.形如an＋1＝pan＋q，p≠0，其中a1＝a型(1)若p＝1，數(shù)列{an}為等差數(shù)列；(2)若q＝0，數(shù)列{an}為等比數(shù)列；(3)若p≠1且q≠0，數(shù)列{an}為線性遞推數(shù)列，其通項可通過待定系數(shù)法構造等比數(shù)列來求．方法如下：設an＋1＋λ＝p(an＋λ)，得an＋1＝pan＋(p－1)λ，又an＋1＝pan＋q，所以(p－1)λ＝q，即λ＝eq\f(q,p－1)(p≠1)，所以an＋1＋eq\f(q,p－1)＝peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(an＋\f(q,p－1)))，即eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an＋\f(q,p－1)))構成以a1＋eq\f(q,p－1)為首項，以p為公比的等比數(shù)列．2.形如an＋1＝pan＋qn(其中p，q均為常數(shù)，pq(p－1)≠0)型（1）一般地，要先在遞推公式兩邊同除以qn＋1，得eq\f(an＋1,qn＋1)＝eq\f(p,q)·eq\f(an,qn)＋eq\f(1,q)，引入輔助數(shù)列{bn}eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(其中bn＝\f(an,qn)))，得bn＋1＝eq\f(p,q)·bn＋eq\f(1,q)，再用待定系數(shù)法解決；（2）也可以在原遞推公式兩邊同除以pn＋1，得eq\f(an＋1,pn＋1)＝eq\f(an,pn)＋eq\f(1,p)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(q,p)))eq\s\up12(n)，引入輔助數(shù)列{bn}eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(其中bn＝\f(an,pn)))，得bn＋1－bn＝eq\f(1,p)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(q,p)))eq\s\up12(n)，再利用疊加法(逐差相加法)求解．3.形如an＋1＝pan＋qan－1，其中a1＝a，a2＝b型可以化為an＋1－x1an＝x2(an－x1an－1)，其中x1，x2是方程x2－px－q＝0的兩個根，若1是方程的根，則直接構造數(shù)列{an－an－1}，若1不是方程的根，則需要構造兩個數(shù)列，采取消元的方法求數(shù)列{an}．4.形如an＋1＝eq\f(pan,ran＋s)型兩邊同時取倒數(shù)轉化為eq\f(1,an＋1)＝eq\f(s,p)·eq\f(1,an)＋eq\f(r,p)的形式，化歸為bn＋1＝pbn＋q型，求出eq\f(1,an)的表達式，再求an．考法一公式法求通項【例1-1】（2022·四川·什邡中學）數(shù)列的前項和，則它的通項公式是_______．【答案】【解析】當時，，當時，經檢驗當時不符合，所以，故答案為：，【例1-2】（2023春·安徽合肥）已知數(shù)列的前項和，則的通項公式【答案】【解析】令，則，解得，當時，，則，即，，所以數(shù)列是以1為首項，為公比的等比數(shù)列，所以．【例1-3】（2022·全國·高三階段練習（理））已知數(shù)列滿足，，則數(shù)列的通項公式為___________.【答案】【解析】當時，.當時，，①.②①②，得.因為不滿足上式，所以故答案為：【一隅三反】1．（2023陜西）已知數(shù)列前項和為，且，則求數(shù)列的通項公式；.【答案】，.【解析】當時，，當且時，，而，即也滿足，∴，.故答案為：，.2．（2023·全國·高三專題練習）記為數(shù)列的前n項和，若，則______【答案】【解析】由題得，當時，，解得；當時，①，②，①②得，則，則數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，則，故．故答案為：.3．（2023云南）已知正項數(shù)列的前項和為，且滿足求的通項公式：【答案】【解析】由已知條件可知，對任意的，.當時，，解得；當時，由可得，上述兩式作差得，即，即，由已知條件可知，，所以，數(shù)列是等差數(shù)列，且首項為，公差也為，因此，4．（2023春·安徽）在數(shù)列中，當時，，則其通項公式為___．【答案】【解析】當時，，當時，，兩式相減得，即，因此，即，于是，當時也成立，n＝1時不成立，所以．故答案為：考法二累加法求通項【例2-1】（2023春·北京）若數(shù)列滿足，則通項公式為__________.【答案】【解析】因為，所以當時，，當時，，滿足，所以，故答案為：.【例2-2】（2023春·安徽馬鞍山）在數(shù)列中，，，則【答案】【解析】由得：，，…，，，將各式相加得：，則【例2-3】（2023江蘇）已知數(shù)列滿足，，求數(shù)列的通項公式；【答案】【解析】因為，所以.因為，，…，，所以，于是.當時，，所以.【一隅三反】1．（2023春·江蘇鹽城）設等差數(shù)列滿足，，且，，則【答案】【解析】設等差數(shù)列的公差為，由可得，，解得，所以.則，所以當時，有，當時，，滿足上式，所以，2．（2023北京）設數(shù)列滿足，則=_______.【答案】【解析】因為數(shù)列滿足，，所以當時，.所以，，因為，也滿足上式，所以數(shù)列的通項公式為，故答案為：3．（2023·廣西南寧·南寧三中校考一模）已知數(shù)列滿足，，則數(shù)列的通項公式為______．【答案】【解析】，兩邊同除得：，所以，即，化簡得，∵，∴．故答案為：.考法三累乘法求通項【例3-1】（2023海南）已知在數(shù)列中，，求數(shù)列的通項公式【答案】【解析】，即，【例3-2】（2023春·廣東佛山·）已知，，則數(shù)列的通項公式是【答案】2n【解析】由，得，即，則，，，…，，由累乘法可得，因為，所以，【一隅三反】1．（2023·全國·高二專題練習）已知數(shù)列滿足，，則的通項公式為___________．【答案】【解析】因為數(shù)列滿足，，則，所以，當時，，也滿足，所以，對任意的，．故答案為：2．（2023黑龍江）設數(shù)列是首項為1的正項數(shù)列，且，則它的通項公式______.【答案】【解析】由，則又數(shù)列為正項數(shù)列，即，所以，即所以故答案為：3．（2023·廣東深圳）數(shù)列滿足：，，則數(shù)列的通項公式【答案】【解析】因為①；當時，②；①減②得，即，所以，所以，所以所以，，，……，，所以，所以，又，所以，當時也成立，所以故答案為：考法四構造等比數(shù)列【例4-1】（2023·吉林）已知數(shù)列中，，且（，且），則數(shù)列的通項公式為__________．【答案】【解析】由，得，即由所以，于是數(shù)列是以首項為，公比為的等比數(shù)列，因此，即，當時，,此式滿足，所以數(shù)列的通項公式為.故答案為：.【例4-2】（2023·北京）已知數(shù)列滿足，則數(shù)列的通項公式為_____________.【答案】【解析】解法一：設，整理得，可得，即，且，則數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，所以，即；解法二：(兩邊同除以)兩邊同時除以得：，整理得，且，則數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，所以，即；解法三：(兩邊同除以)兩邊同時除以得：，即，當時，則，故，顯然當時，符合上式，故.故答案為：.【例4-3】（2023·遼寧撫順市）已知是數(shù)列的前項和，，，，求數(shù)列的通項公式；【答案】【解析】證明：因為，所以，即．因為，，所以，故數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，．因為，所以．【一隅三反】1．（2023廣西）若數(shù)列滿足，且，則數(shù)列的通項公式為_________.【答案】【解析】由，則，所以數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，所以，所以，故答案為：2.（2023黑龍江）已知數(shù)列的前項和為，且，求數(shù)列的通項公式；【答案】【解析】當時，，當時，，兩式相減得，所以數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，則，所以.故答案為：3（2023湖北）設為數(shù)列的前項和，，且，數(shù)列的通項公式；【答案】【解析】，，又，故數(shù)列是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，則，，當時，，故.考法五構造等差數(shù)列【例5-1】（2023春·云南臨滄）已知數(shù)列中，數(shù)列的通項公式【答案】【解析】因為，可得，因為，則，即，可得，對任意的，所以，等式兩邊取倒數(shù)可得，則，所以，數(shù)列為等差數(shù)列，且其首項為，公差為1，所以，故【例5-2】（2023河北）已知數(shù)列的首項，且各項滿足公式，則數(shù)列的通項公式為A． B． C． D．【答案】【解析】因為數(shù)列的首項，且各項滿足公式，則，，，以此類推，對任意的，，由可得，所以，，所以，數(shù)列是等差數(shù)列，且首項為，公差為，，因此，【例5-3】（2022·江西）已知數(shù)列滿足：，（，），則___________.【答案】【解析】由題設，，即，而，∴是首項、公差均為的等差數(shù)列，即，∴.故答案為：【一隅三反】1．（2023·安徽）已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式