摩擦接觸問題參變量二次規(guī)劃模型

在機械、航空航天、土木工程等領(lǐng)域有許多接觸現(xiàn)象。隨著現(xiàn)代工程結(jié)構(gòu)分析的精細化，接觸問題的描述和解決成為一個回避的問題。然而，接觸問題是最困難的非線性工程問題之一。從數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)分析的結(jié)果來看，等式函數(shù)的接觸限制是非線性的本質(zhì)。因此，有效應(yīng)用力學(xué)模型中的接觸條件是成功解決接觸問題的關(guān)鍵。近年來，該方法在優(yōu)化領(lǐng)域中采用了不均勻邊界法，如拉格蘭柱子法、懲罰函數(shù)法、補償法、數(shù)學(xué)規(guī)劃法、非光滑半光滑方程法等。我國鐘萬勰提出的求解摩擦接觸問題的參變量變分原理增廣Lagrange乘子法是為了克服罰函數(shù)法的缺點而提出的一種施加約束的最優(yōu)化方法,它可以被視為一種約束優(yōu)化問題的精確正則化方法,該方法無需過大的罰因子就可以獲得高精度的解.在1992年以后,基于增廣Lagrange乘子法構(gòu)造的摩擦接觸算法由于其多重優(yōu)點而成為一類頗為流行的方法1單向應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系的不穩(wěn)定性解析為便于比較,沿用文獻[3]的表述方式和假設(shè)條件.考慮二維問題,考慮由兩個物體B并且在接觸面兩側(cè)幾乎處處滿足其中,n接觸邊界S其中:ε在S(1)法向單邊接觸定律式中,各式的意義分別為非穿透條件、法向不受拉條件和互補條件.(2)切向Coulomb摩擦定律式中:第一式為粘貼條件,第二式為滑動條件;μ為摩擦因數(shù).仿照理想剛塑性體單向應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系的表述方式,式(3)和式(4)的摩擦接觸條件還可以統(tǒng)一表述為式中:g為接觸滑動勢函數(shù);參變量變分原理求解摩擦接觸問題時,文獻[3]的作法是首先引入懲罰函數(shù),將接觸條件(5)轉(zhuǎn)化為如下形式:式中本文給出摩擦接觸條件的另一種表述形式:不難證明,只需E由式(7)中的第一式可得,式(7)的意義在于它提供了一個可實際操作的迭代格式:聯(lián)系數(shù)學(xué)規(guī)劃中的增廣Lagrange乘子法,迭代格式(8)中關(guān)于在實際計算過程中,隨著迭代過程的進行,當(dāng)||p2應(yīng)用參變量變分原理求解接觸問題式(8)給出的接觸條件,同時適用于二維和三維摩擦接觸問題.為了說明簡單,下面僅以平面彈性摩擦接觸問題為例,展示接觸條件(8)在參變量變分原理解摩擦接觸問題中的應(yīng)用.2.1擴大和開發(fā)lagranga參與變量的最小勢能原理平面彈性接觸力學(xué)邊值問題在區(qū)域Ω=Ω對于給定的其中上述參變量變分原理的策略就是作系統(tǒng)能量指標(biāo)泛函Π2.2增廣lagrange線性互補算法對兩接觸體Ω=Ω其中式中:其中因此,有限元離散后,平面彈性接觸問題的增廣Lagrange參變量最小勢能原理可轉(zhuǎn)化為由式(10)和(11)組成的參數(shù)二次規(guī)劃問題,經(jīng)過一系列的推導(dǎo),可將其進一步轉(zhuǎn)化為下列線性互補問題:若令M=U-CK這是一個標(biāo)準(zhǔn)的線性互補問題,但它包含了3類未知變量:據(jù)此,給出如下摩擦接觸問題的增廣Lagrange線性互補算法:(1)初始化,設(shè)定接觸剛度矩陣(2)確定(3)由式(14)得p3使用示例3.1接觸條件的驗證如圖1所示,一個截面為圓形的彈性柱體同剛性基礎(chǔ)的接觸,這是一個經(jīng)典的Hertz接觸問題.該問題可以模型化為平面應(yīng)變問題:力F=1.528,8,kN,彈性模量E=19.60,MPa,泊松比ν=0.3,截面半徑R=8,cm,并取1/4結(jié)構(gòu)進行分析.有限元模型中1/4柱體剖分為225個平面四邊形四節(jié)點等參元,接觸邊界劃分為15個平面點接觸單元.計算過程中,設(shè)定算法的迭代終止條件為首先考證算法的有效性,設(shè)定接觸剛度E前文指出,罰因子的選取對于算法的精度不會有太大影響,但會影響算法的收斂速度.下面的計算經(jīng)驗表明了這一觀點.以摩擦因數(shù)μ=0.4的問題為例,分別選取E從計算量的角度考慮,本文算法要求多次求解線性互補問題(13),其中迭代的第一步所求解的互補問題與文獻[3]中所求解的互補問題相同.顯然,本文算法會增加計算量.為了考證計算量的增加幅度,對摩擦因數(shù)μ=0.4,懲罰因子選為E3.2上部梁的最大撓度懸臂梁接觸問題結(jié)果三種工況均迭代2次即收斂.結(jié)果比較:文獻[13]中,無摩擦?xí)r,位于上部的梁的最大撓度6.717,mm,本文算法結(jié)果為6.717,mm;文獻[13]中,有摩擦情況(摩擦因數(shù)μ=0.2)時,位于上部的梁的最大撓度為6.550,mm,本文算法結(jié)果為6.540,mm.4增廣lagrange線性互補算法本文通過將增廣Lagrange乘子法的思想引入?yún)⒆兞孔兎衷碇?構(gòu)造了求解摩擦接觸問題的參變量二次規(guī)劃分析的增廣Lagrange線性互補算法.算法的顯著優(yōu)點是在不需要過大的懲罰因子就能獲得高精度的