機(jī)器人動(dòng)力學(xué)第1頁(yè)，課件共41頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第五章、機(jī)器人動(dòng)力學(xué)機(jī)器人動(dòng)力學(xué)是研究機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)和作用力之間的關(guān)系。機(jī)器人動(dòng)力學(xué)的用途：機(jī)器人的最優(yōu)控制；優(yōu)化性能指標(biāo)和動(dòng)態(tài)性能、調(diào)整伺服增益；設(shè)計(jì)機(jī)器人：算出實(shí)現(xiàn)預(yù)定運(yùn)動(dòng)所需的力/力矩；機(jī)器人的仿真：根據(jù)連桿質(zhì)量、負(fù)載、傳動(dòng)特征的動(dòng)態(tài)性能仿真。第2頁(yè)，課件共41頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月動(dòng)力學(xué)方法很多，如Lagrange、Newton-Euler、Gauss、Kane、Screw、Roberson-Wittenburg。機(jī)器人是一個(gè)具有多輸入和多輸出的復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)，存在嚴(yán)重的非線性，需要非常系統(tǒng)的方法來(lái)處理。動(dòng)力學(xué)的原問(wèn)題：給定力/力矩，求解機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)；是非線性的微分方程組，求解困難。動(dòng)力學(xué)的逆問(wèn)題：已知機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)，計(jì)算相應(yīng)的力/力矩，即實(shí)現(xiàn)預(yù)定運(yùn)動(dòng)所需施加的力矩；不求解非線性方程組，求解簡(jiǎn)單。第3頁(yè)，課件共41頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月5.1Lagrange動(dòng)力學(xué)方法Lagrange法：能以最簡(jiǎn)單的形式求得非常復(fù)雜的系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程，而且具有顯式結(jié)構(gòu)。Lagrange函數(shù)L定義：任何機(jī)械系統(tǒng)的動(dòng)能和勢(shì)能之差動(dòng)能和勢(shì)能可以用任意選取的坐標(biāo)系來(lái)表示，不局限于笛卡兒坐標(biāo)則該機(jī)械系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程為：（5-1）假設(shè)機(jī)器人的廣義坐標(biāo)為第4頁(yè)，課件共41頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月廣義速度將代入到（5-1）式中：（5-2）第5頁(yè)，課件共41頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例：圖示R-P機(jī)器人，求其動(dòng)力學(xué)方程。1、質(zhì)心的位置和速度為了寫出連桿1和連桿2（質(zhì)量和）的動(dòng)能和勢(shì)能，需要知道它們的質(zhì)心在共同的笛卡兒坐標(biāo)系中的位置和速度。質(zhì)心的位置是r

XY1r速度是速度的模方是

笛卡兒Cartesian(Latin)[ka:’ti:zj?n]Descartes[dei’ka:t]:法國(guó)哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家，1596-1650，將笛卡爾坐標(biāo)體系公式化而被認(rèn)為是解析幾何之父。第6頁(yè)，課件共41頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月質(zhì)心的位置是速度是速度的模方是2、機(jī)器人的動(dòng)能第7頁(yè)，課件共41頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月4、機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)方程根據(jù)式5-2，分別計(jì)算關(guān)節(jié)1和關(guān)節(jié)2上的力/力矩3、機(jī)器人的勢(shì)能第8頁(yè)，課件共41頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月關(guān)節(jié)1上的作用力第9頁(yè)，課件共41頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月關(guān)節(jié)2上的作用力該R-P機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)方程為：該方程表示關(guān)節(jié)上的作用力與各連桿運(yùn)動(dòng)之間的關(guān)系加速度部分速度部分位置部分第10頁(yè)，課件共41頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月4、Lagrange動(dòng)力學(xué)方程的一般形式第11頁(yè)，課件共41頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月慣性力項(xiàng)向心力項(xiàng)哥式力項(xiàng)重力項(xiàng)對(duì)照可得：第12頁(yè)，課件共41頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月有效慣量對(duì)于移動(dòng)關(guān)節(jié)是質(zhì)量，對(duì)于轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)是慣性矩機(jī)器人的有效慣性量和耦合慣性量，隨機(jī)器人的形態(tài)變化而變化，跟負(fù)載、機(jī)器人是自由狀態(tài)/鎖死狀態(tài)有關(guān)，變換范圍大，對(duì)機(jī)器人的控制影響巨大。對(duì)于一個(gè)機(jī)器人的控制而言，需要計(jì)算出各個(gè)有效慣量、耦合慣量與機(jī)器人位置形態(tài)之間的關(guān)系。第13頁(yè)，課件共41頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月假設(shè)R-P機(jī)器人的實(shí)際參數(shù)為：r

XY1r例:第14頁(yè)，課件共41頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月重力負(fù)載變化極大，在垂直狀態(tài)是零，在水平時(shí)是最大（196）對(duì)機(jī)器人控制影響很大，在實(shí)際中采用平衡的方法或前饋補(bǔ)償?shù)姆椒āY第15頁(yè)，課件共41頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月Lagrange動(dòng)力學(xué)方法的基本步驟：1、計(jì)算各連桿的質(zhì)心的位置和速度；2、計(jì)算機(jī)器人的總動(dòng)能；3、計(jì)算機(jī)器人的總勢(shì)能；4、構(gòu)造Lagrange函數(shù)L；5、推導(dǎo)動(dòng)力學(xué)方程。第16頁(yè)，課件共41頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月5.2慣性矩陣、慣性積和慣性張量在R-P機(jī)器人的例子中假設(shè)各連桿的質(zhì)量集中在一點(diǎn)，實(shí)際上各連桿的質(zhì)量是均勻分布的，對(duì)于這種情況存在幾個(gè)特殊的公式。XYZlwh1、圖示均質(zhì)剛體，繞X、Y、Z軸的慣性矩陣定義為：{A}2、慣性積（混合矩）定義為：第17頁(yè)，課件共41頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月3、對(duì)于給定的坐標(biāo)系{A}，慣性張量定義為慣性張量跟坐標(biāo)系的選取有關(guān)，如果選取的坐標(biāo)系使各慣性積為零，則此坐標(biāo)系下的慣性張量是對(duì)角型的，此坐標(biāo)系的各軸叫慣性主軸，質(zhì)量矩叫主慣性矩。相對(duì)于某一坐標(biāo)系的質(zhì)量分布的二階矩陣，表示物體的質(zhì)量分布剛體質(zhì)量和分布的一階矩陣定義為：第18頁(yè)，課件共41頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月4、偽慣性矩陣定義為質(zhì)量分布的一階矩和二階矩的向量組成偽慣性矩陣與慣性張量之間的關(guān)系為：相對(duì)于原點(diǎn)的慣性矩偽慣性矩陣與選取的坐標(biāo)系有關(guān)，如果選取的坐標(biāo)系的原點(diǎn)在剛體的質(zhì)心，且選取坐標(biāo)軸的方向使,則此坐標(biāo)系稱為剛體的主坐標(biāo)系,偽慣性矩陣為對(duì)角型的.第19頁(yè)，課件共41頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例：如圖示坐標(biāo)系，求密度為的均勻長(zhǎng)方體的慣性張量和偽慣性矩陣。XYZlwh{A}解：長(zhǎng)方體的質(zhì)量為質(zhì)心坐標(biāo)為

慣性矩為

第20頁(yè)，課件共41頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月慣性張量為慣性積為第21頁(yè)，課件共41頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月偽慣性矩陣為慣性張量和偽慣性矩陣代表剛體質(zhì)量分布相對(duì)于某一坐標(biāo)系的二階矩和一階矩，具有下列特點(diǎn)：1）所有慣性矩恒為正，慣性積可正可負(fù)；2）當(dāng)坐標(biāo)系方位改變時(shí)，不變；3）慣性張量的特征值和特征矢量分別為剛體相應(yīng)的主慣性矩和慣性主軸。第22頁(yè)，課件共41頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月5.3Newton-Euler動(dòng)力學(xué)方法達(dá)朗貝爾原理：對(duì)于任何物體，外加力和運(yùn)動(dòng)阻力（慣性力）在任何方向上的代數(shù)和為零。將靜力平衡條件用于動(dòng)力學(xué)問(wèn)題。1）、牛頓第二定律（力平衡方程）：連桿i的質(zhì)量連桿i質(zhì)心的線速度作用在連桿i上的外力合矢量1、達(dá)朗貝爾原理一個(gè)剛體的運(yùn)動(dòng)可分解為固定在剛體上的任意一點(diǎn)的移動(dòng)以及該剛體繞這一點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)兩部分,因此達(dá)朗貝爾原理可表示成兩部分:作用在連桿i上的合力等于連桿i的質(zhì)量與質(zhì)心加速度的乘積第23頁(yè)，課件共41頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月作用在連桿i上的合力矩與連桿i質(zhì)心的角加速度、角速度和慣性張量之間的關(guān)系達(dá)朗貝爾原理將靜力平衡條件用于動(dòng)力學(xué)問(wèn)題，既考慮外加驅(qū)動(dòng)力又考慮物體產(chǎn)生加速度的慣性力。2）歐拉方程（力矩平衡方程）：連桿i在坐標(biāo)系{C}中關(guān)于質(zhì)心的慣性張量連桿i的角速度作用在連桿i上的外力矩合矢量角動(dòng)量陀螺力矩第24頁(yè)，課件共41頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2、力和力矩的遞推公式在靜力學(xué)分式中得到了力和力矩的平衡方程式連桿i處于平衡狀態(tài)時(shí)，所受合力為零，力平衡方程為{i＋1}{i}nifimigni+1fi+1-fi+1-ni+1力矩平衡方程為第25頁(yè)，課件共41頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月連桿i在運(yùn)動(dòng)的情況下，作用在i的合力為零，得力平衡式（不考慮重力）：作用在質(zhì)心上的外力矩矢量合為零，得力矩平衡式（不考慮重力）：寫成從末端連桿向內(nèi)迭代的形式：與靜力遞推不同的是考慮了慣性力和力矩i坐標(biāo)系第26頁(yè)，課件共41頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月各關(guān)節(jié)上所需的扭矩等于連桿作用在它相鄰連桿的力矩的Z軸分量對(duì)于移動(dòng)關(guān)節(jié)，關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力為對(duì)于轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)，關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力為操作臂在自由空間運(yùn)動(dòng)時(shí)，末端力的初值選擇為操作臂與外部環(huán)境有接觸時(shí)，末端力的初值選擇為第27頁(yè)，課件共41頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月3、遞推的Newton-Euler動(dòng)力學(xué)算法算法分兩部分：1）外推：從連桿1到n遞推計(jì)算各連桿的速度和加速度；2）內(nèi)推：從連桿n到連桿1遞推計(jì)算各連桿內(nèi)部相互作用的力和力矩及關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力和力矩。1）外推計(jì)算各連桿速度和加速度，i:0→n：轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)i+1移動(dòng)關(guān)節(jié)i+1轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)移動(dòng)關(guān)節(jié)第28頁(yè)，課件共41頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)移動(dòng)關(guān)節(jié)第29頁(yè)，課件共41頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2)向內(nèi)遞推力、力矩,i:n→1：4、考慮重力的動(dòng)力學(xué)算法令即機(jī)器人基座受到的支撐作用相當(dāng)于向上的重力加速度g，這樣處理將各連桿重力的作用都包含在其中了，與各連桿重力的影響完全一樣，因此使計(jì)算簡(jiǎn)便。轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)移動(dòng)關(guān)節(jié)第30頁(yè)，課件共41頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月Newton-Euler動(dòng)力學(xué)算法有兩種用法：1）數(shù)值計(jì)算：已知連桿質(zhì)量、慣性張量、質(zhì)心矢量等2）封閉公式：即用關(guān)節(jié)變量、關(guān)節(jié)變量的速度和加速度表示的關(guān)節(jié)力的封閉形式例：XY

1

2l1l2m1m22R機(jī)械手如圖所示，兩桿質(zhì)量集中在連桿末端。Newton-Euler遞推公式中的運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)參數(shù)分別為：兩桿質(zhì)心矢徑：相對(duì)質(zhì)心的慣性張量：末端執(zhí)行器的作用力：基座的運(yùn)動(dòng)（靜止）：重力作用：可比較重力和慣性力的影響大小、向心力和哥氏力的影響第31頁(yè)，課件共41頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月連桿之間的旋轉(zhuǎn)矩陣為：1）外推計(jì)算速度和加速度：第32頁(yè)，課件共41頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月連桿1：第33頁(yè)，課件共41頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月連桿2：第34頁(yè)，課件共41頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2）內(nèi)推計(jì)算力和力矩：連桿2：連桿1：第35頁(yè)，課件共41頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月兩個(gè)關(guān)節(jié)的驅(qū)動(dòng)力矩為：以關(guān)節(jié)位置、速度和加速度為變量的關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力矩表達(dá)式，可以看出該2R機(jī)器人的封閉形式的動(dòng)力學(xué)方程是比較復(fù)雜的，推論可知6自由度機(jī)器人的封閉形式的動(dòng)力學(xué)方程會(huì)更復(fù)雜。第36頁(yè)，課件共41頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月5、不同空間的動(dòng)力學(xué)方程形式前面推導(dǎo)的2R平面機(jī)械手的動(dòng)力學(xué)方程可寫成質(zhì)量矩陣n×n對(duì)稱陣離心力和哥氏力,n×1重力,n×1狀態(tài)方程關(guān)節(jié)空間的動(dòng)力學(xué)方程對(duì)于2R平面機(jī)械手，其質(zhì)量矩陣D(q)為是的系數(shù)矩陣對(duì)稱和正定的，存在逆與慣性力相關(guān)關(guān)節(jié)空間的動(dòng)力學(xué)方程狀態(tài)量/關(guān)節(jié)變量第37頁(yè)，課件共41頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月離心力：與關(guān)節(jié)速度的平方有關(guān)哥氏力：與兩個(gè)關(guān)節(jié)速度的乘積有關(guān)離心力和哥氏力：重力：形位空間的動(dòng)力學(xué)方程（系數(shù)都是操作臂位形的系數(shù)）哥氏力系數(shù)矩陣離心力力系數(shù)矩陣與速度有關(guān)的項(xiàng)第38頁(yè)，課件共41頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月操作空間動(dòng)力學(xué)方程機(jī)器人關(guān)節(jié)空間與操作空間存在如下關(guān)系：速度關(guān)系：位置關(guān)系：加速度關(guān)系：關(guān)節(jié)空間的動(dòng)力學(xué)方程為：操作空間的動(dòng)力學(xué)方程為：動(dòng)能矩陣/直角坐標(biāo)系的質(zhì)量矩陣直角坐標(biāo)系的離心力和哥氏力直角坐標(biāo)系的重力廣義操作力第39頁(yè)，課件共41頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月廣義操作力矢和關(guān)節(jié)力矢之間的關(guān)系為：將代入，再將F代入上式再與比對(duì)，得：