中考二次函數(shù)的實際應(yīng)用題分析蕪湖薈萃中學(xué)

柯貴青

中考二次函數(shù)的實際應(yīng)用題分析蕪湖薈萃中學(xué)柯貴青2015年安徽中考數(shù)學(xué)試卷依據(jù)《課程標準》，延續(xù)了前兩年平穩(wěn)的特點，風(fēng)格穩(wěn)健、題量穩(wěn)定、貼近生活、難易適中。充分體現(xiàn)了“以穩(wěn)為主，穩(wěn)中求變”的命題指導(dǎo)思想。堅持面向全體學(xué)生，注重在運用中考查四基（基礎(chǔ)知識、基本技能、基本方法、基本活動經(jīng)驗），通過創(chuàng)設(shè)新的情境來考查四基，利用數(shù)學(xué)思維方法和數(shù)學(xué)語言來考查四基等。

整套試卷中“數(shù)與代數(shù)”共13題79分，約占53%，主要涉及第1、2、3、5、6、10、11、13、14、15、16、21、22題；“空間與圖形”共8題57分，約占38%，主要涉及第4、8、9、12、17、18、20、23題；“統(tǒng)計與概率”共2題14分，約占9%，涉及7、19題?？键c知識覆蓋面十分契合2015年安徽數(shù)學(xué)中考考試綱要的要求。2015年安徽中考數(shù)學(xué)試卷依據(jù)《課程標準》，延

安徽中考2015年二次函數(shù)的實際應(yīng)用題和2010年的背景相同，都是水產(chǎn)養(yǎng)殖。

通過分析可以發(fā)現(xiàn)，二次函數(shù)的實際應(yīng)用在近8年幾乎是必考題，有時作為壓軸題出現(xiàn)，分值為10~14分。在解答題中大都以實際生活為背景考查單獨的實際應(yīng)用，或一次、二次函數(shù)、分段函數(shù)相結(jié)合的實際應(yīng)用，或一次、反比例、二次函數(shù)相結(jié)合的實際應(yīng)用。預(yù)計2016年在解答題中還會考查二次函數(shù)的實際應(yīng)用或綜合應(yīng)用。

下面對八年來，安徽中考二次函數(shù)的實際應(yīng)用做簡單的分析。安徽中考2015年二次函數(shù)的實際應(yīng)用題和2010年時間題號知識點分值200821二次函數(shù)的最值12200923分段函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)的最值14201022二次函數(shù)的單調(diào)性，最值10201123平行線性質(zhì)、勾股定理、三角形全等的判定、面積計算、二次函數(shù)的應(yīng)用等14201223二次函數(shù)及其應(yīng)用、范圍問題14201322分段函數(shù)、一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)的應(yīng)用；及最值問題12201422二次函數(shù)的解析式，有條件的二次函數(shù)的最值12201522列代數(shù)式，二次函數(shù)的最值。.12時間題號知識點分值200821二次函數(shù)的最值12200923第21題圖（2008?安徽12分）21.雜技團進行雜技表演，演員從蹺蹺板右端A處彈跳到人梯頂端椅子B處，其身體(看成一點)的路線是拋物線的一部分，如圖：（1）求演員彈跳離地面的最大高度；（2）已知人梯高BC＝3.4米，在一次表演中，人梯到起跳點A的水平距離是4米，問這次表演是否成功？請說明理由。考點：二次函數(shù)的應(yīng)用。

專題：應(yīng)用題分析：將實際問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)值，及函數(shù)最大值問題。比較簡單。第21題圖（2008?安徽12分）21.雜技團進行雜技表演（2008?安徽14分）23·剛回營地的兩個搶險分隊又接到救災(zāi)命令：一分隊立即出發(fā)往30千米的A鎮(zhèn)；二分隊因疲勞可在營地休息a（0≤a≤3）小時再往A鎮(zhèn)參加救災(zāi)。一分隊出發(fā)后得知，唯一通往A鎮(zhèn)的道路在離營地10千米處發(fā)生塌方，塌方地形復(fù)雜，必須由一分隊用1小時打通道路，已知一分隊行進速度為5千米/時，二分隊的行進速度為（4＋a）千米/時⑴若二分隊在營地不休息，問二分隊幾小時能趕到A鎮(zhèn)？⑵若二分隊和一分隊同時趕到A鎮(zhèn)，二分隊應(yīng)在營地休息幾小時

⑶下列圖象中，①②分別描述一分隊和二分隊離A鎮(zhèn)的距離y(千米)和時間x(小時)的函數(shù)關(guān)系，請寫出你認為所有可能合理的代號，

并說明它們的實際意義。（2008?安徽14分）23·剛回營地的兩個搶險分隊又接到救點評：此題不是二次函數(shù)的應(yīng)用題，從表面上看是一元一次方程和一元二次方程應(yīng)用題，實際上是一個分段函數(shù)問題，解決整個問題關(guān)鍵是找清楚塌方前和塌方后時間與路程之間的關(guān)系，只是中間有“在塌方處是否停留”作為分類的標準提高了難度。特別是在第3問中讓大家選擇圖像時，可以說命題人要考查分段函數(shù)意圖得到了充分的體現(xiàn)。本題難度相對較大，綜合性較強，重點考查學(xué)生對所學(xué)數(shù)學(xué)知識的綜合運用，并用方程、分類討論等重要的數(shù)學(xué)思想和方法，它為09年考察分段函數(shù)與二次函數(shù)應(yīng)用題埋下了伏筆。點評：此題不是二次函數(shù)的應(yīng)用題，從表面上看是一元一次方程和一（2009?安徽14分）23．已知某種水果批發(fā)單價與批發(fā)量的函數(shù)關(guān)系如圖（1）所示．（1）請說明圖中①、②兩段函數(shù)圖象的實際意義．（2）寫出批發(fā)該種水果的資金金額w（元）與批發(fā)量m（kg）之間的函數(shù)關(guān)系式；在下圖的坐標系中畫出該函數(shù)圖象；指出金額在什么范圍內(nèi)，以同樣的資金可以批發(fā)到較多數(shù)量的該種水果．（3）經(jīng)調(diào)查，某經(jīng)銷商銷售該種水果的日最高銷量與零售價之間的函數(shù)關(guān)系如圖（2）所示，該經(jīng)銷商擬每日售出60kg以上該種水果，且當日零售價不變，請你幫助該經(jīng)銷商設(shè)計進貨和銷售的方案，使得當日獲得的利潤最大．O60204批發(fā)單價（元）5批發(fā)量（kg）①②第23題圖（1）O6240日最高銷量（kg）80零售價（元）第23題圖（2）48（6，80）（7，40）金額w（元）O批發(fā)量m（kg）302010204060（2009?安徽14分）23．已知某種水果批發(fā)單價與批發(fā)量的點評：如果說08年的中考壓軸題中分段函數(shù)是隱藏在里面，那么09年的二次函數(shù)應(yīng)用壓軸題對分段函數(shù)進行了最全面的考查。由圖像得出解析式然后再由解析式畫圖像，函數(shù)的思想、數(shù)形結(jié)合的思想體現(xiàn)的非常明顯。在解分段函數(shù)時首先要注意自變量的取值范圍，哪些是包含的哪些是不包含的要看清楚。其次分段函數(shù)的關(guān)系式的書寫要有規(guī)范，如

，

分段函數(shù)題是08，09年安徽省中考題的熱點，它也是與高中知識聯(lián)系最緊密的知識點。點評：如果說08年的中考壓軸題中分段函數(shù)是隱藏在里面，那么0（2010?安徽10分）22.春節(jié)期間某水庫養(yǎng)殖場為適應(yīng)市場需求，連續(xù)用20天時間，采用每天降低水位以減少捕撈成本的辦法，對水庫中某種鮮魚進行捕撈、銷售。

九（1）班數(shù)學(xué)建模興趣小組根據(jù)調(diào)查，整理出第x天（

且x為整數(shù)）的捕撈與銷售的相關(guān)信息如下：⑴在此期間該養(yǎng)殖場每天的捕撈量與前一末的捕撈量相比是如何變化的？⑵假定該養(yǎng)殖場每天捕撈和銷售的鮮魚沒有損失，且能在當天全部售出，求第x天的收入y（元）與x（天）之間的函數(shù)關(guān)系式？（當天收入＝日銷售額—日捕撈成本）

試說明⑵中的函數(shù)y隨x的變化情況，并指出在第幾天

取得最大值，最大值是多少？（2010?安徽10分）22.春節(jié)期間某水庫養(yǎng)殖場為適應(yīng)市場點評：此題考查二次函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用，要運用圖表中的信息，將實際問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問題，從而解決實際問題。因為09年的中考題比較難，所以10年的中考題從總體難度上要小一些，二次函數(shù)的應(yīng)用題難度也降低了。點評：此題考查二次函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用，要運用圖表中的信息，將解答：（1）該養(yǎng)殖場每天的捕撈量與前一天減少10kg；（2）由題意，得y=（15+)（950﹣10x）=﹣2x2+40x+14250（3）∵﹣2＜0，y=﹣2x2+40x+14250=﹣2（x﹣10）2+14450，又∵1≤x≤20且x為整數(shù)，∴當1≤x≤10時，y隨x的增大而增大；當10≤x≤20時，y隨x的增大而減??；當x=10時即在第10天，y取得最大值，最大值為14450．y=（15+）（950﹣10x）=

-（x+75）（2x-190）∵﹣2＜0，

對稱軸x=10∴當1≤x≤10時，y隨x的增大而增大；當10≤x≤20時，y隨x的增大而減??；當x=10時即在第10天，y取得最大值，最大值為14450解答：（1）該養(yǎng)殖場每天的捕撈量與前一天減少10kg；y=（（2011?安徽14分）23.如圖，正方形ABCD的四個頂點分別在四條平行線l1、l2、l3、l4上，這四條直線中相鄰兩條之間的距離依次為h1、h2、h3（h1＞0，h2＞0，h3＞0）.(1)求證h1=h3；(2)設(shè)正方形ABCD的面積為S.求證S=（h2+h1）2＋h12(3)若

當h1變化時，說明正方形ABCD的面積為S隨h1的變化情況考點：平行線性質(zhì)、勾股定理、三角形全等的判定、二次函數(shù)的應(yīng)用、面積計算等。點評：本題是2011年中考數(shù)學(xué)壓軸題，其解法是多樣的。從不同角度對學(xué)生進行考查，是一道二次函數(shù)的綜合應(yīng)用題。全面考查了學(xué)生分析、思考、閱讀、理解等綜合能力，題型不復(fù)雜，但所涉及的知識面廣。第（3）還考查了二次函數(shù)的性質(zhì)（增減性），同時對學(xué)生思維的嚴密性有較高的要求，學(xué)生得高分比較困難，屬于較難題。（2011?安徽14分）23.如圖，正方形ABCD的四個頂點（2012?安徽14分）23．如圖，排球運動員站在點O處練習(xí)發(fā)球，將球從O點正上方2m的A處發(fā)出，把球看成點，其運行的高度y（m）與運行的水平距離x（m）滿足關(guān)系式y(tǒng)=a（x﹣6）2+h．已知球網(wǎng)與O點的水平距離為9m，高度為2.43m，球場的邊界距O點的水平距離為18m．（1）當h=2.6時，求y與x的關(guān)系式（不要求寫出自變量x的取值范圍）（2）當h=2.6時，球能否越過球網(wǎng)？球會不會出界？請說明理由（3）若球一定能越過球網(wǎng)，又不出邊界，求h的取值范圍．

點評：此題是中考壓軸題，主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用題，求范圍的問題，可以利用臨界點法求出自變量的值，再根據(jù)題意確定范圍，對學(xué)生的運算能力有較高要求。第（3）題解法多樣，對學(xué)生的思維深度和廣度的考查較全面，梯度明顯，區(qū)分度較強，起到了壓軸的作用。此題入手容易，做全對不易。（2012?安徽14分）23．如圖，排球運動員站在點O處練習(xí)（2013?安徽12分）22．某大學(xué)生利用暑假40天社會實踐參與了一家網(wǎng)店經(jīng)營，了解到一種成本為20元/件的新型商品在第x天銷售的相關(guān)信息如下表所示。（1）請計算第幾天該商品的銷售單價為35元/件？（2）求該網(wǎng)店第x天獲得的利潤y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式（3）這40天中該網(wǎng)店第幾天獲得的利潤最大？最大的利潤是多少？銷售量p（件）P=50—x銷售單價q（元/件）當1≤x≤20時，q=30+

x；當21≤x≤40時，q=20+

點評：本題主要考查二次函數(shù)的應(yīng)用的知識點，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握分段函數(shù)的表示．

二次函數(shù)的性質(zhì)和反比例函數(shù)的性質(zhì)以及最值的求法。（2013?安徽12分）22．某大學(xué)生利用暑假40天社會實踐（2014?安徽12分）22．若兩個二次函數(shù)圖象的頂點、開口方向都相同，則稱這兩個二次函數(shù)為“同簇二次函數(shù)”。（1）請寫出兩個為“同簇二次函數(shù)”的函數(shù)；（2）已知關(guān)于x的二次函數(shù)y1=2x2﹣4mx+2m2+1和y2=ax2+bx+5，其中y1的圖象經(jīng)過點A（1，1）若y1+y2與y1為“同簇二次函數(shù)”，求函數(shù)y2的表達式，并求出當0≤x≤3時，y2的最大值。點評：所謂新定義試題是指在試題中出現(xiàn)新的概念，讓學(xué)生通過認識新的概念，分析概念從而去解決問題的試題?？梢赃@么說，新定義試題的出現(xiàn)首先來源于安徽省中考，03年的安徽中考就已經(jīng)出現(xiàn)了。同時本題又考查了求二次函數(shù)表達式以及二次函數(shù)一般式與頂點式之間相互轉(zhuǎn)化?？疾榱硕魏瘮?shù)的性質(zhì)（開口方向、增減性），以及分類討論的思想，考查了閱讀理解能力。對新定義的正確理解和分類討論是解決第二小題的關(guān)鍵。（2014?安徽12分）22．若兩個二次函數(shù)圖象的頂點、開口（2015?安徽,第22題12分）為了節(jié)省材料，某水產(chǎn)養(yǎng)殖戶利用水庫的岸堤（岸堤足夠長）為一邊，用總長為80m的圍網(wǎng)在水庫中圍成了如圖所示的①②③三塊矩形區(qū)域，而且這三塊矩形區(qū)域的面積相等．設(shè)BC的長度為xm，矩形區(qū)域ABCD的面積為ym2（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并注明自變量x的取值范圍；（2）x為何值時，y有最大值？

最大值是多少？點評：本題考查二次函數(shù)的實際應(yīng)用，難度不大。能夠通過題意列代數(shù)式，找到

y與x之間的函數(shù)關(guān)系式是解本題的關(guān)鍵。（2015?安徽,第22題12分）為了節(jié)省材料，某水產(chǎn)養(yǎng)殖中考預(yù)測題1·大學(xué)畢業(yè)生小王響應(yīng)國家“自主創(chuàng)業(yè)”的號召，利用銀行小額無息貸款開辦了一家飾品店。該店購進一種今年新上市的飾品進行銷售，飾品的進價為每件40元，售價為每件60元，每月可賣出300件．市場調(diào)查反映：調(diào)整價格時，售價每漲1元每月要少賣10件；售價每下降1元每月要多賣20件。為了獲得更大的利潤，現(xiàn)將飾品售價調(diào)整為60+x（元/件）（x＞0即售價上漲，x＜0即售價下降），每月飾品銷量為y（件），月利潤為w（元）（1）直接寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）如何確定銷售價格才能使月利潤最大？求最大月利潤；（3）為了使每月利潤不少于6000元應(yīng)如何控制銷售價格？點評：此題背景是當下比較流行的自主創(chuàng)業(yè)，又是學(xué)生比較熟悉的二次函數(shù)應(yīng)用題。它源于課本，略高于課本。主要考查二次函數(shù)的解析式（用分段函數(shù)表示）及其應(yīng)用，用配方法求二次函數(shù)最值等知識。利用函數(shù)圖象得出x的取值范圍是解第三題的關(guān)鍵,它體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想。中考預(yù)測題點評：此題背景是當下比較流行的自主創(chuàng)業(yè)，又是學(xué)生比解：（1）由題意可得：y=

（2）由題意可得：w=即w=當銷售價格為65元時，

最大利潤為6250元；

（3）由題意w≥6000，如圖，令w=6000，

即6000=﹣10（x﹣5）2+6250，6000=﹣20（x+）2+6125

解得：x1=﹣5，x2=0，x3=10，

﹣5≤x≤10，

故將銷售價格控制在55元到70元之間（含55元和70元）才能使每月利潤不少于6000元．解：（1）由題意可得：y=

2·如圖，隧道的截面由拋物線和長方形構(gòu)成，長方形的長是12m，寬是4m．按照圖中所示的直角坐標系，拋物線可以用y=﹣

x2+bx+c表示，且拋物線上的點C到墻面OB的水平距離為3m，到地面OA的距離為m。（1）求該拋物線的函數(shù)關(guān)系式，并計算拱頂D到地面OA的距離（2）一輛貨運汽車載一長方體集裝箱后高為6m，寬為4m，如果隧道內(nèi)設(shè)雙向行車道，那么這輛貨車能否安全通過？（3）在拋物線型拱壁上需要安裝兩排燈，使它們離地面的高度相等，如果燈離地面的高度不超過8m，那么兩排燈的水平距離最小是多少米？點評：本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用：構(gòu)建二次函數(shù)模型解決實際問題，利用二次函數(shù)解決拋物線形的隧道、大橋和拱門等實際問題時，要恰當?shù)匕堰@些實際問題中的數(shù)據(jù)落實到平面直角坐標系中的拋物線上，從而確定拋物線的解析式，通過解析式可解決一些測量問題或其他問題。2·如圖，隧道的截面由拋物線和長方形構(gòu)成，長方形的長點評：本題是二次函數(shù)的綜合題型，知識點有：利用交點式求出拋物線的解析式；分割求三角形面積，得出S的表達式，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出最值?！鰽CD與△BOC相似，且△BOC為直角三角形，所以需要分類討論，避免漏解．3.二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象與x軸的交點為A（﹣3，0）、B（1，0）兩點，與y軸交于點C（0，﹣3m）（其中m＞0），頂點為D．（1）求該二次函數(shù)的解析式（用含m的代數(shù)式表示）（2）如圖①，當m=2時，點P為第三象限內(nèi)的拋物線上的一個動點，設(shè)△APC的面積為S，試求出S與點P的橫坐標x之間的函數(shù)關(guān)系式及S的最大值；（3）如圖②，當m取何值時，以A、D、C為頂點的三角形與△BOC相似？點評：本題是